精品解析：山东省济南市槐荫区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2. 中国传统六角宫灯广泛应用于节日装饰、文化主题创作等领域．六角宫灯的主体是一个正六棱柱，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，得到从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：∵从正面看，会看到正六棱柱的三个面，是一行三个相邻的矩形，中间一个还是正方形，即， ∴C正确． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照同分母分式减法法则计算化简即可得到结果． 【详解】 ． 4. 槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行投影的变化规律，明确北半球下午物体影子长度随时间的变化趋势即可求解． 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 平行四边形的对角线相等 B. 菱形的四个内角都是直角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，A错误； 菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，四个内角不都是直角，B错误； 矩形的对角线相等且互相平分，不互相垂直，C错误； 正方形沿对边中点连线，对角线折叠均可与自身重合，绕中心旋转也可与自身重合，故正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，D正确． 6. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键． 根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：A． 7. 如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 是斜边上的中线， ． 8. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项． 【详解】设每个月销量的平均增长率为， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆， 可得方程． 10. 如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质得到，由三角形的内角和为求出的值，得出，由直角三角形的性质得到，即可得到；在直角三角形中，，故与不全等，由三角形的面积公式即可判断． 【详解】解：菱形， 是等边三角形，是等边三角形， ， 分别是的中点， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 是直角三角形， ， 与不全等，故③错误； ， ， ，故④正确； 综上，正确的有3个． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 已知是方程的两根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， 是方程的两根， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 15. 不透明的口袋中装有8个黄球和若干个白球，它们除颜色以外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】设口袋中白球的个数大约为x个，利用大量重复试验中频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率，结合概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球的个数大约为x个， ∵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近， ∴摸到黄球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴估计口袋中白球大约有32个． 16. 将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形对折性质得到为中点，，再由两次折叠的性质得到，设，在中用勾股定理列方程求出，得到；接着根据沿I折叠的性质得到，设，用表示，在中由勾股定理列方程求解，最终得到． 【详解】解：∵矩形中，对折与重合，得是中点， ∴， 沿折叠到上，得； 沿折叠对应点为，得， 设， 对用勾股定理：，代入，，， 得：， 展开解得，即， ∴， 沿折叠到上的，得，， ∴， 设，则，故， 由折叠性质得，在中：  展开化简得， 解得​， 即． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，应用因式分解法是快速求解的关键．将方程左边因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 或， 解得 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得出化简结果，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】解： ， 将代入，原式． 20. 如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证． 【详解】略 21. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选择计算机视觉的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有三场直播，且每一场直播被选择的概率相同， ∴欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 欢欢 乐乐 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选择计算机视觉的结果数有1种， ∴他们同时选择计算机视觉的概率为． 22. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． （1）每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）； （2）若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）每顶头盔应降价8元 【解析】 【分析】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价高于元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； ∵售价为每顶78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量为顶； 【小问2详解】 解：由题意得 ，， 每顶售价高于68元，且， ， 答：每顶头盔应降价8元． 24. 【先导问题】 我们已经学习过完全平方公式：，通过将代数式凑成完全平方式，再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题． 例1因式分解：． 原式． 例2已知，其中，为任意实数，求的最值． ， ， ∴当时，有最小值1． 【提炼模型】 通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方法称为配方法．在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多个非负数的和为0求解未知数． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 【识别、应用模型】 （1）因式分解：________； （2）若，其中为任意实数，求的最值； 【总结提升】 （3）已知、、是的三边长，且，求的周长． 【答案】（1） （2）有最小值 （3）的周长为 【解析】 【分析】（1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解a，b，c，最后计算三角形周长即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∴当时，有最小值． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴、、满足三角形的三边关系， ∴的周长为． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别是、、．点从点出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点从点出发，沿方向在轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）如图2，轴上有一动点，连接和，在、运动过程中，当时，请求出此时的坐标和的最小值． 【答案】（1）； （2）或 （3）的坐标为；最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意即可得出结果； （2）过点作垂足为点，则四边形是矩形，从而可得，，根据动点的速度可知，，则，表示出，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形为矩形，得出，，根据动点的速度可知，，则，列出关于的一元一次方程，求解即可得出的坐标为，，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称的性质可得，，再由，并结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：从出发，速度1，； 从出发，，故． 【小问2详解】 解：由题意得，， 则横坐标：，纵坐标4，即； ， 过作， ， 则四边形是矩形，垂足， ， 在中，，代入： ， ， 解得或， ， 或． 【小问3详解】 解：是竖直线， 由得横坐标相同： 横坐标：，横坐标：， ， 解得，， 横坐标：，纵坐标， ； 此时横坐标，即， 在轴（）上， 作关于轴的对称点， 由轴对称性质：， 故， 当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长度， ，，由两点距离公式： ， 最小值为． 26. 在正方形中，边长为，在射线上取一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转至，连接、． （1）如图1，当点为线段中点时，则________，________； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，交于点，与交于点，猜想线段与具有什么关系，并证明你的结论； （3）当点在射线上时，连接，是的中点，若，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）猜想：，且； 证明：由正方形得：，， 由旋转得，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合勾股定理可求得的长，证明，可得，由旋转的性质结合勾股定理可得的长； （2）利用证明，可得结论； （3）分两种情况讨论点的位置，根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：∵是中点，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，； ∵，，， ∴， ∴， 由旋转得：，； ∴在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形边长，， ∴，即； 由旋转得，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 即， ∴， 在中，， ①若点在线段延长线上，则， 如图，延长至，使，延长至，使，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴； ②若点在线段上， ∵，， ∴与重合，舍去（无法构成），仅保留延长线情况． 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统六角宫灯广泛应用于节日装饰、文化主题创作等领域．六角宫灯的主体是一个正六棱柱，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 平行四边形的对角线相等 B. 菱形的四个内角都是直角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形 6. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 7. 如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 因式分解：______． 12. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影） 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 14. 已知是方程的两根，则________． 15. 不透明的口袋中装有8个黄球和若干个白球，它们除颜色以外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有______个． 16. 将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解___________ 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 21. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 22. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． （1）每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）； （2）若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 24. 【先导问题】 我们已经学习过完全平方公式：，通过将代数式凑成完全平方式，再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题． 例1因式分解：． 原式． 例2已知，其中，为任意实数，求的最值． ， ， ∴当时，有最小值1． 【提炼模型】 通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方法称为配方法．在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多个非负数的和为0求解未知数． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 【识别、应用模型】 （1）因式分解：________； （2）若，其中为任意实数，求的最值； 【总结提升】 （3）已知、、是的三边长，且，求的周长． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别是、、．点从点出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点从点出发，沿方向在轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）如图2，轴上有一动点，连接和，在、运动过程中，当时，请求出此时的坐标和的最小值． 26. 在正方形中，边长为，在射线上取一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转至，连接、． （1）如图1，当点为线段中点时，则________，________； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，交于点，与交于点，猜想线段与具有什么关系，并证明你的结论； （3）当点在射线上时，连接，是的中点，若，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $