精品解析：山东省济南市槐荫区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是熟悉一元二次方程的定义． 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，按照定义逐一分析即可． 【详解】解：A、中含有两个未知数，是二元一次方程，则A不符合题意， B、不是整式方程，则B不符合题意， C、符合一元二次方程的定义，则C符合题意， D、中，未知数的次数是1，是一元一次方程，则D不符合题意． 故选：C． 2. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种米斗的实物图，如图（2）是它的示意图（不计厚度），则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键．根据米斗的示意图，即可得到米斗的主视图． 【详解】解：几何体的主视图为： 故选：． 3. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（ ） A. （-2，-3） B. （-2，6） C. (1，3） D. （-2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是﹣2+3=1， 故点A′的坐标是（1，3）． 故选C． 5. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 7. 如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 8. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点M为的中点，连接，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，根据菱形的性质和等边三角形的判定方法证明是等边三角形，得出，根据直角三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ∵， 是等边三角形， ， 点M为的中点，， ∴， ， 故选：B． 9. 槐荫黄河生态半程马拉松于年月日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约．小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小刚的平均速度为，根据题意列出分式方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小刚的平均速度为， 由题意得，， 故选：． 10. 如图，在中，，点D在的延长线上，点E为上一点，连接，点M、N分别为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线、勾股定理，平行线的判定等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键．连接，取的中点F，连接，由中位线定理可得的长度，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接， 点M、N、F分别为的中点， 、分别是、的中位线， ，，，， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：x2﹣3x=_____． 【答案】x（x﹣3） 【解析】 【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 考点：因式分解. 12. 若是一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入已知方程，通过解关于a的新方程来求a的值． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 13. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______度． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式进行计算即可．本题考查了求多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为：． 故答案为：1080． 14. 2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【答案】3.6## 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 15. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 【答案】10 【解析】 【分析】由题中的运动规则，分两种情况讨论：当点未到达点时；当点到达点时（点与点重合）；第一种情况，先表示出，的长，再由勾股定理列方程求解；第二种情况，由直角三角形斜边比直角边长判定即可． 【详解】解：动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 同时动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 由于动点到达终点的运动时间比动点到达终点的运动时间短，分两种情况讨论： 当点未到达点时，设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，由勾股定理可得，即， 则， ， 解得或（没有运动，舍去）； 当点到达点时（点与点重合），设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，是斜边、是直角边，则，与矛盾， 此情况不存在使两点相距的值； 综上所述，运动秒后两点相距． 16. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 19. 如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是证明出，即可求解． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别是、、； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别是点，、； （3）的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作旋转图形与中心对称图形； （1）找到三个顶点关于原点的对应点，然后顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转后得到其对应点，然后顺次连接即可； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如上图，即为所求． 【小问3详解】 解：的面积为： ， 故答案为： 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到卡片的概率为_____； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取到相同卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式求解即可； （）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到卡片的结果有种， 抽到卡片的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取到相同卡片的结果有种， ∴． 22. 如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质证明，则可证明，据此可证明结论； （2）连接，交于O，由菱形的性质得到，，，，则可求出，，再根据菱形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接，交于O， 四边形是菱形，， ，，，， ∴， ∴， ，， ． 23. 某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． （1）求这条小道的宽度； （2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【答案】（1）这条小道的宽度为2米 （2）需要56米篱笆 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设这条小道的宽度为米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 【小问1详解】 解：设这条小道的宽度为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：这条小道的宽度为2米． 【小问2详解】 解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米）， 则（米）， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 24. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程的两个根为，，则______；______； （2）一元二次方程的两个根为，，求的值； （3）若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 【答案】（1）6， （2）4 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出方程然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得，， ； 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 25. 四边形为正方形，点E为对角线上的任意一点． （1）如图1，作交于点交于点N，请判断与的数量关系：______； （2）如图2，交的延长线于点M，以为邻边作矩形，请判断矩形是否为正方形，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的最小值． 【答案】（1） （2）矩形是正方形，理由见解析 （3）16 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，利用二次函数的性质确定最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）过E作于G，于H，根据正方形的性质判定四边形为正方形，根据条件证明，即可得出结论； （2）过点E作，，垂足分别为G，H，根据正方形的性质得出，根据正方形的判定定理即可得出结论； （3）设，表示出相关线段的长度，列出，根据二次函数的性质即可得出最值． 【小问1详解】 解：过E作于G，于H， ， 四边形为正方形， ，， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①矩形是正方形，理由如下： 如图，过点E作，，垂足分别为G，H， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形； 【小问3详解】 解：设， ， ， ， 有最小值 26. 如图1，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． （1）求和的值； （2）在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； （3）若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】（1）将分别代入，，即可求解； （2）先根据的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 将点代入， ， 解得； 将点代入， ， 解得； 【小问2详解】 ∵点E的横坐标为m， ，， ， 与y轴的交点， ， ， ， 解得或； 【小问3详解】 解：将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 将代入直线得：，即， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种米斗的实物图，如图（2）是它的示意图（不计厚度），则其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 4. 如图，在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（ ） A. （-2，-3） B. （-2，6） C. (1，3） D. （-2，1） 5. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 8. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点M为的中点，连接，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9. 槐荫黄河生态半程马拉松于年月日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约．小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D在的延长线上，点E为上一点，连接，点M、N分别为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：x2﹣3x=_____． 12. 若是一元二次方程的一个根，则______． 13. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______度． 14. 2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 15. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 16. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简：． 18. 解方程：． 19. 如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别是、、； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别是点，、； （3）的面积为______． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到卡片的概率为_____； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取到相同卡片的概率． 22. 如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为______． 23. 某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． （1）求这条小道的宽度； （2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 24. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程的两个根为，，则______；______； （2）一元二次方程的两个根为，，求的值； （3）若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 25. 四边形为正方形，点E为对角线上的任意一点． （1）如图1，作交于点交于点N，请判断与的数量关系：______； （2）如图2，交的延长线于点M，以为邻边作矩形，请判断矩形是否为正方形，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的最小值． 26. 如图1，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． （1）求和的值； （2）在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； （3）若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $