初高中数学衔接-函数的性质

**基本信息** 聚焦函数单调性与奇偶性，通过定义对比、易误点提示及阶梯式例题，构建从概念理解到综合应用的方法体系，强化初升高知识衔接的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性|例1-7|定义法证明（作差变形定号）、单调性解不等式、最值求解（结合单调区间）|从定义（增/减函数对比）到单调区间，通过定义变形深化理解，易误点强调定义域优先| |奇偶性|例8-13|定义判断（定义域对称性+f(-x)关系）、奇偶性求解析式、图象补全（对称性）|从定义（奇/偶函数对比）到图象特征，拓展至对称中心推广，形成概念-性质-应用链条|

初高中数学衔接内容 -函数的性质 1.单调性与最值 2.奇偶性 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. (3)定义变形 若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. ②<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. (4)谨防四个易误点 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. ②求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. ③一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 一、函数的单调性 例1、函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f 的x的取值范围是　　　　.  例2、已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 例3 根据定义，研究函数（）的单调性. 例4 证明函数在区间上单调递增. 例5 根据定义证明函数在区间上单调递增. 例6 已知函数（），求函数的最大值和最小值. 例7已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 二、函数的奇偶性 例8 已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 例9 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+b，则f(-1)=　　　　　　.  例10 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-x，则f(x)=　　　　.  例11 设奇函数f(x)满足f(1)=0，且对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则不等式xf(x)<0的解集为(　　) A.(-1，0)∪(1，+∞) B.(-∞，-1)∪(1，+∞) C.(-2，-1) D.(-2，-1)∪(0，1) 例12 判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）； （3）；（4）. 例13 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件（等价的意思）是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 求函数图象的对称中心. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 初高中数学衔接内容 -函数的性质 1.单调性与最值 2.奇偶性 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. (3)定义变形 若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. ②<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. (4)谨防四个易误点 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. ②求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. ③一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 一、函数的单调性 例1、函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f 的x的取值范围是　　　　.  【答案】　 【详解】∵f(x)的定义域是[0，+∞)，∴2x-1≥0，即x≥， 又∵f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，∴2x-1<，即x<， 则x的取值范围为. 例2、已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 【答案】　 【详解】　不妨令x1<x2，∴x1-x2<0， ∵>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2， 令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)=f(x)+x是增函数. 例3 根据定义，研究函数（）的单调性. 【详解】函数（）的定义域是R.，，且，则 . 由，得.所以 ①当时，.于是，即. 这时，是增函数. ②当时，.于是，即. 这时，是减函数. 例4 证明函数在区间上单调递增. 【详解】证明：，且， 则. ，. 又，. ，即. ∴函数在区间上单递增. 例5 根据定义证明函数在区间上单调递增. 【详解】证明：，，且，有 . 由，，得，. 所以，. 又由，得. 于是， 即. 所以，函数在区间上单调递增. 例6 已知函数（），求函数的最大值和最小值. 【详解】，，且，则 . 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减 因此，函在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4. 例7已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【详解】在上单调递增 任取，则. 在上单调递减，. 是偶函数，. ，故在上单调递增. 二、函数的奇偶性 例8 已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示. 例9 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+b，则f(-1)=　　　　　　.  【答案】　 【详解】　f(x)是奇函数，则f(0)=b=0，即当x≥0时，f(x)=2x，所以f(1)=2，从而f(-1)=-f(1)=-2. 例10 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-x，则f(x)=　　　　.  【答案】　　 【详解】　设x<0，则-x>0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x， 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，则当x<0时，f(x)=-f(-x)=-x2-x. 又f(0)=0，满足f(x)=x2-x，所以f(x)= 例11 设奇函数f(x)满足f(1)=0，且对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则不等式xf(x)<0的解集为(　　) A.(-1，0)∪(1，+∞) B.(-∞，-1)∪(1，+∞) C.(-2，-1) D.(-2，-1)∪(0，1) 【答案】　 【详解】因为对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0， 则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，又因为函数f(x)为奇函数， 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，因为f(1)=0，则有f(-1)=0， 由xf(x)<0可得，当x>0时，不等式可化为f(x)<0=f(1)，解得x>1； 当x<0时，不等式可化为f(x)>0=f(-1)，解得x<-1；当x=0时，xf(x)=0. 综上，原不等式的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞). 例12 判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）； （3）；（4）. 【详解】（1）函数的定义域为R. 因为，都有，且， 所以，函数偶函数 （2）函数的定义域为R. 因为，都有，且， 所以，函数为奇函数. （3）函数的定义域为. 因为，都有，且，所以，函数奇函数. （4）函数的定义域为. 因为，都有，且， 所以，函数为偶函数. 例13 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件（等价的意思）是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 求函数图象的对称中心. 【分析】将函数的解析式经过适当的变形，得出，构造函数，利用奇偶性的定义证明为奇函数，根据题设条件即可得出函数图象的对称中心； 【详解】（1）. 设，则. 为奇函数. 的图象关于点对称. 即的图象的对称中心是点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $