精品解析：安徽省亳州市涡阳县 部分校2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级数学期末素质测评 （满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. （a是有理数） 2. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 3. 若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若关于的不等式组的整数解只有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式有意义，则不能取的值是（ ） A. B. 比小的数 C. D. 比小的数 7. 为了响应组织部开展的“百万消费助农”活动，小明的妈妈在“河南消费惠农网”花了120元钱购买了一批拖鞋，在“豫扶网”她发现同类的拖鞋单价每双少了5元，于是又花了100元钱购买了一批同类的鞋子，且比上次还多买了两双．并把购买的鞋子全部赠给敬老院．若设第一批鞋子每双x元，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 如果是多项式的一个因式，那么m的值为（ ） A. 8 B. C. 2 D. 10. 如图，点A是直线m外一定点，点B，C是直线m上的两定点，点P是直线m上一动点，已知AB=6cm，BC=10cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA=8cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果和互为相反数，那么立方根是_____． 12. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为______． 13. 已知一个分式可以进行这样的变形：，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为________． 14. 甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2． （1）与的大小关系：______．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数有且仅有5个，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，后求值：，其中的值从，，，中选一个合适的数． 18. 如图，在中，平分于点交于点F．若，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 阅读材料： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式： （1）x2-3x-4； （2）x2-7x+12． 20. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，进价和售价如表所示，请根据表格信息下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 80 50 （1）该商店购进A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各购进了多少个？ （2）经过几天销售后商店发现销量较好，于是又用5400元钱购进这两种头盔若干个，要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元，则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个？ 六、（本题满分12分） 21. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为______． （2）任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：其中x是整数，且求的相反数． 七、（本题满分12分） 22. 阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴， 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值： （2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，，分别以为边长作正方形和正方形． ①______，______（用含x的代数式表示）； ②若长方形的面积为24，则阴影部分的面积为______． 八、（本题满分14分） 23. 已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． （1）如下图，若，，求的度数； （2）如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末素质测评 （满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. （a是有理数） 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，是有理数；故A不符合题意； 是无理数，故B符合题意； 是有理数，故C不符合题意； （a是有理数）是有理数，故D不符合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】C 【解析】 【分析】由，再结合数轴即可求解． 【详解】∵， ∴观察数轴，点P符合要求， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键． 3. 若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，结合，得到，判断选择即可．本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选A． 4. 若关于的不等式组的整数解只有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组可得不等式组的解集为再根据不等式组的整数解有3个，可得a的取值范围． 【详解】解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 关于的不等式组的整数解只有3个， 故选A 【点睛】本题考查的是根据不等式组的整数解的个数求解参数的取值范围，难点与易错点是参数取等于号时，可以采用检验的方法进行确定． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则． 6. 若分式有意义，则不能取的值是（ ） A. B. 比小的数 C. D. 比小的数 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案． 【详解】解：分式有意义， ． ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键． 7. 为了响应组织部开展的“百万消费助农”活动，小明的妈妈在“河南消费惠农网”花了120元钱购买了一批拖鞋，在“豫扶网”她发现同类的拖鞋单价每双少了5元，于是又花了100元钱购买了一批同类的鞋子，且比上次还多买了两双．并把购买的鞋子全部赠给敬老院．若设第一批鞋子每双x元，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第一批鞋子每双x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解∶ 设第一批鞋子每双x元，根据题意得∶ ． 故选∶D 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 8. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判断． 【详解】解：，，故A选项不符合题意； ，，故B选项符合题意； 由，不能判断，故C选项不符合题意； ，，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力． 9. 如果是多项式的一个因式，那么m的值为（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【详解】解：解：设==， 则， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键． 10. 如图，点A是直线m外一定点，点B，C是直线m上的两定点，点P是直线m上一动点，已知AB=6cm，BC=10cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA=8cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，过A点作AH⊥BC于H，如图，利用面积法求出AH=4.8cm，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接AC，过A点作AH⊥BC于H，如图， ∵AC⊥AB，AH⊥BC， ∴AH•BC=AC•AB， ∴AH==4.8（cm）， ∴当点P运动到H点时，线段PA的值最小，最小值为4.8cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短的问题．掌握利用面积法求高的方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果和互为相反数，那么立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相反数的性质和算术平方根的非负性列出关于x、y的二元一次方程组，求得x、y，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意得： 解得 所以立方根是． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性以及二元一次方程组的解法等知识点，根据相反数的性质和二次根式的非负性列出关于x、y的二元一次方程组成为解答本题的关键． 12. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 13. 已知一个分式可以进行这样的变形：，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为________． 【答案】0或2##2或0 【解析】 【分析】利用题目给出例子的解题思路，化简分式，分情况讨论出x的值即可． 【详解】解：， 若原式的值为整数， 则x-1=±1， 即x=0或x=2． 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查对新定义的理解以及分式的基本性质，关键要读懂新定义，能灵活运用分式的基本性质． 14. 甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2． （1）与的大小关系：______．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数有且仅有5个，则的值为______． 【答案】 ①. > ②. 1010 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数n有且只有5个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】解：（1）∵ ， ， ∴ ， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） ， ∵的整数n有且只有5个， ∴这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 故答案为：1010． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根定义及性质、立方根定义与去绝对值运算法则综合求解即可； （2）根据平方根定义将两个一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 或． 【点睛】本题考查有理数混合运算以及解方程，涉及到算术平方根的定义与性质、立方根的定义、去绝对值运算及利用平方根定义解方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 16. 解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，后求值：，其中的值从，，，中选一个合适的数． 【答案】，2 【解析】 【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从，，，中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ，， ， 可以或， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，明确分式混合运算的运算法则和运算顺序是解此题的关键． 18. 如图，在中，平分于点交于点F．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、垂线以及三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的定义是解题关键． 根据题意易得，再根据求解，即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 阅读材料： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式： （1）x2-3x-4； （2）x2-7x+12． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式； （2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式． 【小问1详解】 解：x2−3x−4 =x2+(1-4)x+1×(−4) =(x+1)(x−4)； 【小问2详解】 解：x2−7x+12 =x2+(−3−4)x+(−3)×(−4) =(x−3)(x−4)． 【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． 20. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，进价和售价如表所示，请根据表格信息下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 80 50 （1）该商店购进A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各购进了多少个？ （2）经过几天销售后商店发现销量较好，于是又用5400元钱购进这两种头盔若干个，要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元，则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个？ 【答案】（1）A种头盔购进30个，B种头盔购进70个 （2）第二次该商店至少批发70个A种头盔 【解析】 【分析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔个．根据题意列出一元一次不等式，则可得解． 【小问1详解】 设A种头盔购进个，种头盔购进个． 根据题意，得， 解得， 答：A种头盔购进30个，种头盔购进70个． 【小问2详解】 设第二次购进A种头盔个，则购进种头盔个． 由题意，得， 解得， 答：第二次该商店至少批发70个A种头盔． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组和不等式的知识解答． 六、（本题满分12分） 21. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为______． （2）任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的小数部分为． 【小问2详解】 解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 七、（本题满分12分） 22. 阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴， 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值： （2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，，分别以为边长作正方形和正方形． ①______，______（用含x的代数式表示）； ②若长方形的面积为24，则阴影部分的面积为______． 【答案】（1）的值为29 （2）①；②阴影部分的面积为20 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）①利用线段的和差关系，进行计算即可解答； ②设，从而可得，再根据长方形的面积，可得，从而可得，然后根据阴影部分的面积=正方形的面积-正方形的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：设， 的值为29； 【小问2详解】 ①由题意得：， 故答案为：； ②设， ∴， ∴长方形的面积， 解得：， ∴阴影部分的面积=正方形的面积-正方形的面积， ∴阴影部分的面积= ∴阴影部分的面积为20． 八、（本题满分14分） 23. 已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． （1）如下图，若，，求的度数； （2）如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 【答案】（1） （2）①， 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差，对顶角相等． （1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质得到，，两式消去，即可解答； ②过作，则，因此，，结合对顶角相等与角的和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $