第二十一章 四边形（暑假巩固作业01）2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学第二十一章四边形暑假巩固单元卷，以基础巩固与能力提升为目标，融入扎染工艺、科技节活动等文化与生活情境，覆盖平行四边形、特殊四边形性质判定及综合应用，适配暑假复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|平行四边形判定、正多边形内角外角计算|第3题扎染情境渗透文化传承，第10题菱形与正方形转化考查空间观念| |填空题|6|矩形折叠、正多边形角度规律探究|第16题通过正多边形内角变化培养抽象能力，第14题折叠问题发展几何直观| |解答题|8|特殊四边形证明、网格作图、黄金矩形应用|第19题网格作图提升动手操作能力，第24题黄金矩形综合应用发展应用意识与推理能力|

第二十一章 四边形（暑假巩固作业01） 一、选择题 1．满足下列条件的四边形是平行四边形的是（     ） A．对角线相等的四边形 B．一组对边平行的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．一组对角相等的四边形 2．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．扎染是民间传统而独特的染色工艺，是指将织物部分扎起来使之不能着色的一种染色方法，是我国传统的手工染色技术之一．佩佩在黄娥古镇研学时学习扎染技术，得到一个外角均是30°的正多边形图案，这个正多边形的边数为（     ） A．18 B．12 C．10 D．6 4．如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，在中，，平行四边形的顶点E在边上，连接、．添加一个条件，可以使四边形成为菱形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 8．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A．10 B．20 C．24 D．34 10．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点．则________．（正多边形的各个内角相等） 12．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，请添加一个条件____________，使四边形是平行四边形． 13．如图，在矩形中，．分别以、为圆心，长为半径画弧，交、于点、．连接，，若，则的值等于_________． 14．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 15．如图，中，，，，，则平行四边形的面积 ________． 16．如图所示为一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，设，根据的变化规律，请探究与正多边形边数n的关系，并用含n（n为正整数，）的式子表示，则______． 三、解答题 17．如图，C是的中点，，连接．求证：四边形是平行四边形． 18．如图，在中，点在对角线上，连接，使得．求证：．    19．图①②③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，均在格点（小正方形的顶点）上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画一个以为对角线的矩形； (2)在图②中，画一个以为对角线的平行四边形，使其面积为4； (3)在图③中，画一个以为边的正方形． 20．如图，四边形是矩形，是对角线和的交点，分别过点，作，，交点为． (1)补全图形，并证明：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 21．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 22．如图，在正方形和正方形中，点D在边上，，H是的中点，求的长．（保留根号） 23．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 24．着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (2)求黄金矩形的长； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第二十一章 四边形（暑假巩固作业01） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B D B C D 1．C 【详解】解：A、∵对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，∴A错误； B、∵一组对边平行的四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，∴B错误； C、∵平行四边形的判定定理明确：对角线互相平分的四边形是平行四边形，满足判定条件，∴C正确； D、∵一组对角相等的四边形不满足平行四边形的判定要求，不一定是平行四边形，∴D错误． 2．A 【详解】∵正多边形的一个内角为， ∴该正多边形的一个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为． 3．B 【分析】任意多边形的外角和恒为，用外角和除以单个外角的度数即可求出正多边形的边数. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角均为， ∴这个正多边形的边数为 . 4．B 【分析】根据三角形中位线的性质求出，，，然后利用周长公式求解． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴的周长为． 5．C 【分析】根据平行四边形的性质，推导与的位置和数量关系，再根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形逐一验证即可． 【详解】在中，四边形是平行四边形， ∴（即），且； 选项A：若，则，不能判定为菱形，不符合题意； 选项B：若，则，不能判定为菱形，不符合题意； 选项C：若，由得， ∴ 在中，，， ∴， ∴，即； ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形，符合题意； 选项D：若，由平行四边形得， ∴，仅能说明是等腰直角三角形，不能推出是菱形，不符合题意． 6．B 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 7．D 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 8．B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 9．C 【分析】根据菱形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，由此求出菱形的周长为． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 10．D 【分析】如图1中连接，如图2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形得到的长，再根据菱形的性质与勾股定理即可求解． 【详解】解∶如图1中连接，如图2中，连接． 在图2中， ∵四边形是正方形， ， ，， ， 在图1中，∵四边形是菱形，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴． 11．/75度 【详解】解：由题意，， ∴. 12．（答案不唯一） 【分析】已知对角线被点平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只需补充另一条对角线也被点平分即可． 【详解】解：添加条件：， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：（答案不唯一） 13．/ 【分析】连接，．根据矩形性质和作图可得，进而证明四边形是平行四边形，结合判定其为菱形，利用菱形性质和勾股定理建立与的数量关系． 【详解】解：连接，． ∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 15．/ 【分析】根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理列式计算求得，从而求出，再利用平行四边形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 16． 【分析】分别计算正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的度数，观察数值与边数的关系，结合正多边形内角公式和等腰三角形性质推导通项公式． 【详解】解：当时，为正三角形，； 当时，四边形为正方形，，，； 当时，正五边形中，，； 当时，正六边形中，，； 由此可知，对于正边形，，为正边形的一个内角． 根据多边形内角和公式，． ∴． 17．证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴且． ∵C是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】先利用已知的且，判断四边形是平行四边形，等量代换得到，结合与平行，证明四边形是平行四边形． 【详解】略． 18．证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 19．(1)如图①所示： (2)如图②所示： (3)如图③所示 【分析】（1）根据题意画出一个以为对角线的矩形即可； （2）画一个以为对角线，底边长为2，高为2的平行四边形即可； （3）根据题意画出一个以为边的正方形即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：略 20．(1)解：补全图形，如下图所示： 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据题意补全图形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据矩形的性质可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； （2）根据矩形的性质可得，再根据菱形的性质可得：菱形的面积为． 【详解】（1）略 （2）解：矩形中，， 矩形的面积为， ， 菱形的面积为． 21．(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 22． 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴， ， ， ∴． ∴是直角三角形． 由勾股定理得． ∵是的中点， ∴． 23．见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 24．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用分母有理化，进行化简即可； （2）根据黄金矩形的定义，进行求解即可； （3）求出新的矩形的宽与长的比，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， 黄金矩形的长为． （3）证明：由裁剪可知：； 由（2）可知：， ， ， ∴矩形是黄金矩形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $