21.2平行四边形 暑期练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，构建从单一知识点到综合推理的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质（对边、对角、对角线）、判定|单选直接考查概念，填空9-10题强化性质简单应用| |中档|性质应用（距离、面积）、坐标系中判定|单选5-7题结合平行线距离，填空11-12题渗透模型意识| |提升|综合推理、动态几何|解答题含尺规作图（15题）、动点问题（18题），发展创新意识与推理能力|

21.2平行四边形 一、单选题 1．如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（     ） A． B． C． D． 2．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，且E是线段的中点，若，，则的面积为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 4．下列条件中，不能判断四边形 是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线，，，则的高是（     ） A． B． C． D． 7．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 9．如图，在中，与交于点O，．若为的中点，，，则线段的长为_____． 10．如图，在中，，，与的距离为____________． 11．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 12．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成四边形．转动其中一张纸条，则线段与的数量关系为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 三、解答题 14．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 15．如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是平行四边形． 证明：平分， ． 平分， ∴ ． ∵四边形为平行四边形， ∴ ，，． ，． ，． ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形（ ．）（填推理的依据）． 16．如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，连接、、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 17．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 18．如图，在平行四边形中，平分 ，交 于点E，平分，交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若 ，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿 和 各边运动，点P沿 运动，点Q沿 运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，则t为何值时，四边形 是平行四边形． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2平行四边形 一、单选题 1．如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 是等边三角形，且周长为 ， ， 分别是边的中点 ， 是的中位线 ， ． 2．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，平分，且E是线段的中点，若，，则的面积为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】先由平行四边形的性质得到，，，，然后结合角平分线和平行线得到，利用勾股定理即可得到，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴的面积为． 4．下列条件中，不能判断四边形 是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．若 ，，该四边形可能是等腰梯形，不能推出四边形 是平行四边形，故本选项符合题意； B．由， ，即一组对边平行且相等，则四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意； C． 由可得，结合可得，即，根据两组对边分别平行可得四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵，，，，∴，两组对边分别平行， 四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意． 5．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，即可得出结果. 【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离， 该线段即为点到直线的垂线段， 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 该距离应为中的最小值， ， ， 直线与直线之间的距离是. 6．如图，已知直线，，，则的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的高是． 7．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到四边形，四边形为平行四边形，然后求出，，，最后由求解． 【详解】解：∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知， ∵，， ∴，， ∴． 8．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 二、填空题 9．如图，在中，与交于点O，．若为的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得到的长，则可由勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在中，与交于点O， ∴， ∵， ∴； ∵为的中点，O为的中点， ∴是的中位线， ∴． 10．如图，在中，，，与的距离为____________． 【答案】1 【分析】作，根据平行四边形的性质，可得，再根据，可得，最后根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：过点作，交于点， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，，即， ， 则与的距离为1． 11．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 12．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成四边形．转动其中一张纸条，则线段与的数量关系为________． 【答案】 【分析】由纸条对边平行可得，，根据平行四边形的判定定理可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】解：由题意可知，两张纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 【答案】2 【分析】在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，，根据长方形得到，，，即可证明四边形是平行四边形，因此，根据点D与点关于y轴对称得到，，因此，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点D与点关于y轴对称，且点D在x轴上， ∴点在x轴上，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． 三、解答题 14．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得． 15．如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是平行四边形． 证明：平分， ． 平分， ∴ ． ∵四边形为平行四边形， ∴ ，，． ，． ，． ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)解：所求图形如图所示； (2)；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义和平行四边形的性质得出，，得出，，根据平行四边形的性质得到，进而，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ． 平分， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，，． ，． ，． ，． ． ． ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 16．如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，连接、、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，． ，， ， ， 四边形为平行四边形； (2) 【分析】（1）利用平行四边形性质和垂直的定义得到，并证明，进而得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）利用平行四边形性质得到，，利用勾股定理算出，即可得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， 四边形为平行四边形，， ，， ，， ， ． 17．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 18．如图，在平行四边形中，平分 ，交 于点E，平分，交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若 ，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿 和 各边运动，点P沿 运动，点Q沿 运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，则t为何值时，四边形 是平行四边形． 【答案】(1)证明：∵平分 ，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； (2)t的值为或 【分析】（1）先推导出，， 再根据平行四边形的性质，得到，，继而推导出，则四边形为平行四边形，即可解答； （2）证明、 为边长为1的等边三角形， 则①当点P在上，点Q在 上时，可得 ；②当点P在上，点Q在上时，可得 ，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴为边长为1的等边三角形，同理 也为边长为1的等边三角形． ①当点P在上，点Q在 上时，如图． 当 时四边形 为平行四边形， ∵ ， ， ∴ ， ∴； 　　　 ②当点P在上，点Q在上时，如图． 当 时， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 同理可证： ， ∴ ， ∴此时四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴， 综上所述，t的值为或． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $