精品解析：江苏省淮安市淮安区2024-2025学年度第二学期期末学业监测八年级数学试题

2024～2025学年度第二学期期末学业监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 为了解江苏省足球联赛各球队主场观众的平均年龄，下列调查方式合适的是（ ） A. 对所有主场观众进行普查 B. 对月日南京淮安这场比赛的主场观众进行普查 C. 抽取部分球队多场比赛的主场观众进行抽查 D. 对常州所有比赛的主场观众进行普查 2. 下列事件中，属于确定事件的是（ ） A. 随机选取《九章算术》中的一道应用题，其解法用到方程思想 B. 在传统围棋对弈中，执黑棋的一方最终获胜 C. 南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中任意翻开一页，页码是奇数 D. 我国传统二十四节气中，冬至日一定是北半球一年中白昼最短的一天 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别为边、上的点，且，，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 淮安区河下古镇有一副对联，上联为“小大姐，上河下，坐南朝北吃东西”，就这副上联中出现表示动词的字的频率为________（河下为地名）． 10. 二次根式中，x的取值范围是 ___． 11. 在平行四边形中，，则________． 12. 若分式的值为，那么的值是______． 13. 将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，若，则______． 14. 关于的分式方程无解，则的值为________． 15. 如图是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻R增大，则电流I为______． 16. 正方形的边长为，，为边上的一动点，，，的最小值为________． 三、解答题（本大题共11小题，共72分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： （1） （2） 18. 解分式方程：． 19. 先化简，，再从，，中选取一个适当的数代入求值． 20. 已知点，分别是平行四边形的边，上的点，且．求证：． 21. 万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 （1）若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） （2）已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； （3）活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 22. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 23. 平行四边形在网格中，已知是边上的一点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1、图2中，在边上作点使． （2）在图3中，在边上作点使． 24. 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元，该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 26. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 （1）当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 （3）①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末学业监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 为了解江苏省足球联赛各球队主场观众的平均年龄，下列调查方式合适的是（ ） A. 对所有主场观众进行普查 B. 对月日南京淮安这场比赛的主场观众进行普查 C. 抽取部分球队多场比赛的主场观众进行抽查 D. 对常州所有比赛的主场观众进行普查 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、江苏省足球联赛各球队主场观众总数大，普查实施难度高，成本大，A选项的普查方式不合适； B选项仅抽取单场比赛的观众，D选项仅抽取常州地区比赛的观众，样本不具备代表性与广泛性，无法反映江苏省所有球队主场观众的整体年龄情况，故B，D不合适； C选项采用抽样调查，抽取的样本涵盖部分球队的多场比赛，具备代表性，符合实际调查要求，故C方式合适； 故选：C． 2. 下列事件中，属于确定事件的是（ ） A. 随机选取《九章算术》中的一道应用题，其解法用到方程思想 B. 在传统围棋对弈中，执黑棋的一方最终获胜 C. 南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中任意翻开一页，页码是奇数 D. 我国传统二十四节气中，冬至日一定是北半球一年中白昼最短的一天 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、《九章算术》中的题目解法不一定用到方程思想，结果不确定，是随机事件，不符合要求； B、围棋对弈中执黑一方不一定获胜，结果不确定，是随机事件，不符合要求； C、翻开《数书九章》任意一页，页码可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，是随机事件，不符合要求； D、根据常识，我国传统二十四节气中，冬至日一定是北半球一年中白昼最短的一天，该事件一定发生，是必然事件，必然事件属于确定事件，符合要求； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算正确，符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、与不能合并，故计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式，根据最简分式的概念判断即可．一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 5. 若，则的值是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和完全平方公式因式分解，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 6. 若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限，再结合各点横坐标判断所在象限，利用象限内函数的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵函数中， ， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大 ， ∵、的横坐标都小于，两点在第二象限，且 ， ∴ ∵的横坐标大于，点在第四象限 ， ∴ ， 综上可得． 7. 如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由及求出的度数，再利用正方形性质得到及，进而求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ 8. 如图，在中，，，分别为边、上的点，且，，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，利用三角形中位线定理求出、的长及位置关系，进而求出的度数，最后通过构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于点； 、分别为、的中点，  是的中位线，  ，；  、分别为、的中点，  是的中位线， ，； ，， ∴，， ； ， ∴； 在Rt中，，，  ， 由勾股定理得； ； 在Rt中，． 【点睛】 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 淮安区河下古镇有一副对联，上联为“小大姐，上河下，坐南朝北吃东西”，就这副上联中出现表示动词的字的频率为________（河下为地名）． 【答案】 【解析】 【分析】先统计上联中总字数，再统计其中是动词的字的个数，根据频率的定义计算即可得到结果． 【详解】解：上联总字数为，其中表示动词的字为：上、坐、朝、吃，共个； 根据频率的定义：频率，可得所求频率为． 10. 二次根式中，x的取值范围是 ___． 【答案】x≥-3 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可． 【详解】∵是二次根式， ∴x+3≥0, 即x≥-3， 故答案为：x≥-3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键． 11. 在平行四边形中，，则________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可计算求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴． 12. 若分式的值为，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ，， ， ， 又， ， ， 即， 故答案为：． 14. 关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，先将分式方程化为整式方程，分两种情况讨论：整式方程无解，以及整式方程的解为分式方程的增根，分别计算得到的值即可． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 原分式方程无解， ①当整式方程无解时，一次项系数为，即，解得， ②当整式方程的解为分式方程的增根时，可得，即， 将代入，得： 解得， 综上所述：当的值为或时，原分式方程无解． 15. 如图是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻R增大，则电流I为______． 【答案】2A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，直接利用电流是电阻的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．正确得出函数关系式是解题关键． 【详解】解：设，当时，时， 则， 解得：， 故， 若电阻增大，则电流为． 故答案为：． 16. 正方形的边长为，，为边上的一动点，，，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，于点，证明 ，得出 ，，利用勾股定理求解的最小值即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 四边形是正方形，  ， ，  ， ，      在和中     ， ， ， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ，， 在中， 由勾股定理得  ， ∴当时，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共72分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 19. 先化简，，再从，，中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件，即分母不为0，确定可选取的的值，最后代入计算得到结果． 【详解】解：原式 ． ，， 解得，， 因此只能选取． 当时，原式． 20. 已知点，分别是平行四边形的边，上的点，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形即可． 【详解】略 21. 万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 （1）若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） （2）已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； （3）活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的想法不合理． 理由：概率描述的是大量重复试验下随机事件发生的规律，每次抽奖都是相互独立的随机事件，少量试验的结果具有随机性，三次都抽到“谢谢参与”是可能发生的，不能由此说明中奖概率统计有问题． 【解析】 【分析】（1）根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，估计抽中二等奖的概率． （2）利用估计出的二等奖概率计算二等奖人数，再结合一等奖数量计算获得“谢谢参与”的人数． （3）根据概率的意义判断小明的想法，概率反映大量重复试验的规律，少量试验结果具有随机性． 【小问1详解】 解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在附近，因此抽中二等奖的概率约为． 【小问2详解】 解：已知总参与人数为，一等奖共个，抽中二等奖的概率约为．估计中二等奖的人数为． 因此估计获得“谢谢参与”的人数为． 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、菱形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意得，，则有四边形是平行四边形，然后问题可求证； （2）设交于点，由题意易得，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴． ∴是菱形． 【小问2详解】 解：设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴的长为． 23. 平行四边形在网格中，已知是边上的一点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1、图2中，在边上作点使． （2）在图3中，在边上作点使． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，分别取的中点，作直线，再连接，交直线于点，然后连接，延长交于点，最后连接即可； 如图2，先找出的中点，的中点，作直线，再连接，交直线于点，然后连接，延长交于点，最后连接即可； （2）如图3，先取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，再连接，交于点，然后作直线，连接，交直线于点，连接，延长交于点，最后连接即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 24. 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元，该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ 【答案】第一批T恤衫每件的进价为40元，第二件的进价为44元 【解析】 【分析】由题意，设第一批T恤衫每件的进价为x元，则第二件的进价为(x+4)元，然后列出分式方程，解分式方程，再进行检验，即可求出答案． 【详解】解：设第一批T恤衫每件的进价为x元，则第二件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：第一批T恤衫每件的进价为40元，第二件的进价为44元. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，注意解分式方程需要检验． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）； （2） （3）当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 26. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 （1）当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 （3）①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），② （2）或或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用描点法画出函数图像，结合函数性质判断各个说法，找出错误选项； （2）分和两种情况分别解方程，得到所有符合条件的自变量的值； （3）①将方程解的个数问题转化为直线与分段函数图像交点个数问题，画出对应直线临界位置，结合图像确定参数取值范围；②先判断直线过定点，再确定分段函数平移规则，找出分段函数图像上的临界交点，代入直线解析式求出临界值，结合图像得到的取值范围． 【小问1详解】 解：根据表格描点连线画出函数图像略， 由图可得函数最小值为0，没有最大值，故①正确； 当时，，随的增大而增大即当时，随的增大而增大，故②错误； 当时，图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确． 【小问2详解】 解：分两种情况解方程： 当时，令，解得，满足条件； 当时，令，解得或，均满足； 因此自变量的值为或或． 【小问3详解】 解：①∵关于的方程有三个不同的解， ∴直线与分段函数的图象有三个交点， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得． ②直线恒过定点， ∵将函数图像进行平移后得到新函数， ∴平移规律为函数向右平移3个单位长度， ∴点向右平移3个单位得，点向右平移3个单位得， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得，直线与新函数有三个交点时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $