广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 涵盖函数、几何、统计等模块，融入足球社团调查、《九章算术》“刍童”等情境，注重数学思维与现实应用的结合，体现数据分析、逻辑推理与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计、集合、函数单调性、椭圆离心率|基础概念辨析，如样本平均数计算| |多选题|3/18|导数图像、函数性质、立体几何|结合图像分析极值与单调性，如导函数图像判断题| |填空题|3/15|命题否定、函数解析式、三次函数对称中心|创新设问，如三次函数对称中心探究| |解答题|5/77|统计案例、立体几何、数列、函数导数、抛物线|统计题结合独立性检验与分层抽样，考察数据意识；抛物线题探究圆过定点，体现逻辑推理|

2025-2026学年第二学期期末考试高二数学答题卡 班级 姓名 试室号 座位号 注意事项： 1. 答题前，认真核对条形码上的姓名、考试号，并在贴条 形码区粘贴考生条形码。 2. 选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净。笔 贴条形码区 答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得 超出答题框。 3. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 选择题填涂说明： 试卷类型 考生 缺考标记 A☐ 正确填涂：■ 错误填涂：H☑灯 禁填 ▣ B☐ 客观题答题区 单选题 多选题 5 9 2 6 10 11 4 8 主观题答题区 12. 13. 14. 15.(13分) 第1页共 16.(15分) A C 17.(15分) 2页 18.(17分) 第2面共2面 第2页共 19.(17分) 理科数学答题卡 2页盐田高级中学高二数学期末考试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 C 0 B BC ACD ACD 1.C 【详解】样本数据2,8,14,16,20的平均数为2+8+14+16+20=60=12. 5 5 2.C 【详解】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,所以Cu4={2,4,6,7,8,CuA中的元素个数为5， 3.A 【详解】由幂函数的性质可知，当0<a<1时，函数f(x)=xa+b在(0，+∞)上单调递增； 若函数f(x)=xa+b在(0，+∞)上单调递增，则a>0,不能推出0<a<1. 所以“0<a<1”是“函数f(x)=xa+b在(0+∞)上单调递增”的充分不必要条件 4.D 【详解】若f(x)为R上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当x>1时，指数函数y=a*单调递增，因此a>1; 当x≤1时，一次函数y=(4-)x+2单调递增，因此斜率4-？>0，解得a<8; 在分段点x=1处，左端函数值不大于右端函数值， 即(4-)×1+2≤a,整理得6≤弘，解得a≥4； 取三个不等式解集的交集，可得4≤a<8,即a的取值范围为[4,8). 5.C【详解】由题意， 由题意及图得，函数y=f(x)为奇函数，且当x=1时，f(x)<0, 对A选项，当x=1时，1+sinT=1+0=1>0,与图象不符，故A错误； 对B选项，当x=1时，1-sinn=1-0=1>0,与图象不符，故B错误； 对D选项，当x=1时，1×sinT=1×0=0,与图象不符，故D错误； 对C选项，在g(x)=-x+sinπx中， g(-x)=-(-x)+sin(-nx)=x一sinnx=-g(x),即该函数为奇函数， g(1)=-1+sinn=-1+0=-1<0,与图象相符，故C正确. 6.A【详解】设数列{an的公差为d, 因为{an}是等差数列，所以a1+a3=2a7, 由a1+3a7+a1s=16,可得5a,=16,解得a,=5 答案第1页，共8页 所以3a)-a1s=3(a1+8d-(a1+12d=2a1+12d=2(a1+6d=2a,=号 7.B 【详解】已知函数f(x)=e+m-nx+m≥0对x>0恒成立， 则e+m+x+m≥nx+x=enx+nx, 令g()=e+t,求导得g(t)=et+1>0,g(t)=et+t单调递增， ∴g(x+m)≥gnx),由单调性得x+m≥nx,即m≥nx-x,x>0, 令h(x)=lnx-x,求导得h(x)=-1=, 当0<x<1时，h(x)>0,h(x)单调递增；当x>1时，h(x)<0,h(x)单调递减； h(x)在x=1处取得极大值：h(1)=ln1-1=-1, 要使m≥lnx-x恒成立，只需满足m≥h(x)ma=-1,“m的取值范围是[-1，+∞)， 8.A【详解】如图，连接PF1,QF1, 线段F1F2是圆O的直径，所以PF1⊥PF2, 设1PFzl=2lQF2l=2t,所以PF1l=2a-2t,IQFl=2a-t, 在直角三角形PF1Q中，(2a-2t)2+(3t)2=(2a-t)2,整理得t=, 在直角三角形PF1F2中，(2a-2t)2+(2t)2=(2c)2, a2-2ag+2号=c2,得后-易即e=- 9.BC【详解】观察导函数f'(x)的图象，当x<-3或x>-1时，f'(x)≥0，当且仅当x=1时取等号， 当-3<x<-1时，f′(x)<0,因此函数f(x)在(-∞，-3)，(-1，+∞)上单调递增，在[-3，-1]上单 调递减，所以x=一3是f(x)的极大值点， 但f'(x)在x=1两侧符号不变，所以x=1不是f(x)的极值点，所以A错误，B正确； f(x)的单调减区间是[-3，-1]，所以C正确； 函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以f(O)<f(1),所以D错误. 10,Am【详解】)=g+g(m-列一{n≥90解得0<x<, 即f(x)的定义域为(0，π)，A选项正确， f(x)=Igx+lg(n-x)=lg[x(n-x)],t=x(nx),y=lgt. 二次函数t=x(n一x)的图象的对称轴为直线x= 又~f(x)的定义域为(0，m),“y=fx)的图象关于直线x=对称.C选项正确， 答案第2页，共8页 由复合函数单调性法则知，f(x)在(0，)上单调递增，在？，π)上单调递减，B选项错误。 当x=2时，t有最大值，“f(x)mx=g2+lg（n-)=2g2,D选项正确。 11.ACD【详解】设上下两底面的中心分别为W,M,A'B'的中点为S,C′B′的中点为G, 由题意NM⊥面ABCD,设P,Q分别为AB,BC的中点，则MP⊥MQ, 而PM,QMc面ABCD,所以NM⊥PM,NM L QM,所以MP,MQ,MN两两垂直， 所以以点M为原点，MP,MQ,MN所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所 示： 对于A,因为AB=2A'B′=6，BC=2B'C=8, 过点S作SE1MP于点E,则SE=MN=2,PE=PM-ME=BC-B'C′=4-2=2， 所以SP=V4+4=2V2, 同理过点c作GF1MQ于点R,则GF=MN=2,QF=QM-FM=BA-B'A'=3-号 所以cQ-2+4=》 所以侧面面积之和为2×}×(3+6)×22+2×(4+8)×到引=182+30， 而上下底面之和为3×4+6×8=60， 所以该“刍童”的表面积为(18V2+30)+60=90+18√2，故A正确： 对于B,由题意知四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=8, MA=MB=克AC=×V6+8=5,但MA+MB2≠AB2,这表明了BD与AC不垂直， 21 所以BD不垂直平面ACC'A'（否则由线面垂直的性质得BD1AC,导出矛盾)，故B错误； 对于C,由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线MN上，不妨设它为0(0,0，z), 而AB=2A'B′=6，BC=2B‘C'=8,所以A(4,-3,0),B′(2,2,2， 由0A=0B',即o=0B得，16+9+z2=4++z-22, 解得z=-器所以该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为器故C正确； 答案第3页，共8页 对于D,因为AB=2A'B′=6，BC=2B′C=8, 所以4(4，-3,0)，A(2,-22AA=（-2,-22, 又NM1平面ABCD,故取平面ABCD的法向量为元=(0,0,1)， 不妨设该“刍童”侧棱A'A与平面ABCD所成角为0， 凤则该“乌童”侧搜A'A与平面ACD所成角的正弦值为sin0=cos亿AM-巨H 2 =44 AA'1x4+?+4 41 故D正确。 12.x∈(0，+∞)，x2≥1【详解】命题p:“]x∈(0，+∞)，x2<1”, 则p:“Vx∈(0，+∞)，x2≥1”. 13.f)=,x≥0【详解】设t=V2x+1,那么t≥0，x=”号，则 f©=2+1=生，t≥0，所以f=生，x≥0. 14. (1,) 2 【详解】（1)“g()=x3-x2+3x+1,则g'()=x2-2x+3,g°()=2x-2, 由g°()=2x-2=0,可得x=1,且g(山)=9 故函数g(x)=x3-x2+3x+1的对称中心为(1,9)： (2)h(x)的图象在点A、点C处的切线总平行， 所以，点A、C关于h(x)的对称中心对称，故点B为函数h(x)的对称中心， 又因为直线kx-y-k+1=0(k∈R)恒过定点(1,1)， 所以，函数h(x)的对称中心为(1,1)，即点B(1,1), 因为h(x)=ax3+bx2+3则h()=3ax2+2bx,h'()=6ax+2b, 所以， 0a解用即h的之±hG=228 h”(1)=6a+2b=0 所以，函数(x)在x=xo处的切线方程为y-(传x8-x号+)=(x号-2x0)x-xo), 即y=(x6-2x0)x-x0)+x8-x号+3 将点(-1，)》代入切线方程得(6-2x)(-1-x0)+-号+号京整理得8-30-2=0， 即(x0+1)2(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2. 故过点(b,a的函数h(x)的图象的切线有2条 答案第4页，共8页 15.【详解】(1)零假设为H0:喜欢足球与性别之间无关联..1分 根据列联表，由X2-aCo得， n(ad-bc)2 X2-80x30x20-20x10 40x40×50×30 ≈5.333>3.841=x0.05...4分 根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立，.5分 即认为喜欢足球与性别之间有关联.6分 (2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则X的可能取值为1,2,3…7分 且Px=)-警-品 P(X=2)= CC 15 PK=3)-警-点0 则X的分布列为 2 3 3 15 5 28 28 14 则EW=1×8+2×2号+3×各=8=}13分 16.(1)证明：在三棱柱中，BB1=CC1=2, 在△ABB1中，AB=1,A1B=V5,BB1=2,即(W5)=12+22 所以A1B2=AB+BB12,故BB1⊥AB.3分 又平面ABBA1⊥平面ABC, 平面ABBA1∩平面ABC=AB,BB1C平面ABB1A1 所以BB1⊥平面ABC.7分 (2)因为AB 1 BC,所以BC,BA,BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系， 如图所示..8分 由题意，得B(0,0,0),C(2,0,0),A1(0,1,2),C1(2,0,2), 且D为A1B的中点，即D(0,2,1….10分 则BC=(2,0,0),BA=(0,1,2),DC=(2,-1， 设平面A1BC的法向量为元=(x,y,Z),则 元.BC=2x=0 元.BA=y+2z=0 答案第5页，共8页 令z=-1,则y=2,x=0,所以元=(0,2，-1)..13分 设CD与平面A1BC所成角为9，则si血0=DC=2 biHpGil 10514分 4V105 所以C1D与平面A1BC所成角的正弦值 105 2..15分 17.(1)证明：当n≥2且neN*时，由已知Sm=na-n(n-1),得Sm-1=(n-1)a-1-(n-1)(-2)· 两式相减得a=Sm-Sm-1=na-n(n-1)-(n-1)an-1+(n-1)(n-2), 整理得(m-1)a-(n-1)a-1=2(n-1),因为n≥2时n-1≠0，两边同除以n-1 得a-a-1=2,又a1=2,故{an是首项为2、公差为2的等差数列.3分 则其通项公式为a,=2+2(n-1)=2n,n∈N*.4分 2)由(W得6：=a=a=日古) ..6分 其前n项和为工n=[1-)+(分++（片本】 =1-)=2n其中neN9分 (3)由等差数列的前n项和公式得Sm=a-m2+20=n(n+1)..10分 2 代入目标式，得气，因为neN, 2n 分子分母同除以n得=？ 5+4n+1l2分 由基本不等式，n+≥2，n号=4，当且仅当n=即n=2时取等号， 因此m125,故经号 2 即，”4的最大值为行，n=2时取得最大值…15分 18.(1)f(x)=alnx-x2+1 求导得f'()=g-2x(x>01分 因为在x=1处的切线方程为4x-y+b=0, 所以，f'(1)=a-2=4,得a=6,...3分 因为f(1)=0,故4-f(1)+b=0,得b=-4..5分 (2)f)=-2x=2(x>0) 当a≤0时，f'(x)<0在(0，+∞)恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上是减函数..7分 当a>0时，f)=0,x=层或x=-层（舍去），令f'()>0→>x>0, 答案第6页，共8页 f国<0→x>层 故F在(0，月上是增函数，在（层+∞上是减函数9分 综上当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上是减函数 当a>0时，fx)在(0，月上是增函数，在（层+∞上是减函数…10分 (3)由(2)知，若a<0,f(x)在(0，+∞)上是减函数， (4)不妨设x1<x2,则f(x1)>f(x2), If(x)-f(x2)>1x2f(x1)-f(x2)>x2-x1 即f(x)+x1>f(x2)+x212分 只要满足g(x)=f(x)+x在(0+∞)为减函数， g(x)=alnx-x2+1+x,g'(x)=g-2x+1≤0.15分 即a≤2x2-x在(0，+∞)恒成立，a≤(2x2-x)mt血， (2x2-x)h=-8所以a≤-君l7分 19.【详解】(1)由已知可得，抛物线的焦点坐标为F(侵，0)， 根据抛物线的定义，得2+号=3，解得p=2, 所以抛物线的标准方程为y2=4x…4分 (2)(1)由题意，直线的方程为：y=号(x-1), 联立方程组夕-=9c-),得-4Wy-4=0, y2=4x 设A(x1y1),B(x2,y2),则y1+y2=4V3,y1y2=-4.7分 saa克o-,-g=含o1O+-4 =2×1×J(4W3)2-4×(-④)=49分 (ii)以MN为直径的圆过定点，定点坐标为(2,0)或(-6,0)， 依题意可设直线l:x=my+1, 联立)社，消得y2y4=0,4=16m+16>0成立， 则y1+y2=4m,y1y2=-412分 又koA=4=兰=年，loA:y=4x, 令x=-2,则y=-是即M(-2,一》，同理可得N(-2,一》…14分 答案第7页，共8页 设圆上任意一点为Q(x,y),因为MW为直径，所以MQ1NQ, 所以QM·QN=0,即x+22+(+,)(0y+9)=0, 整理可得，G+2)2+y+61t2y+64=(x+2)2+y2-8my-16=0, yiy2 yiyz 令y=0,可得x=2或x=-6, 所以以MN为直径的圆过定点， M 定点坐标为（亿，0）或(-6,0)17分 答案第8页，共8页2025-2026学年第二学期期末考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：郑胜芳审题人：苗春玉 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内， 每小题5分，共40分) 1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为（) A.8 B.9 C.12 D.18 2.已知集合U={xx是小于9的正整数}，A={1,3,5,则CwA中元素个数为（) A.0 B.3 C.5 D.8 3.“0<a<1”是“函数f(x)=xa+b在(0，+∞)上单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ax, x>1 4.若f={(4-)x+2, x≤1 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（). A.(0,8) B.(0,8] C.(1,8) D.[4,8) 5.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() A.x+sin x B.x-sinnx C.-x+sin nx D.X·sin n x 6.在等差数列{an}中，a1+3a7+a13=16,则3ag-a13的值为（) A号 B.12 C.24 D.48 7.已知函数f(x)=ex+m-lnx+m,m∈R,若f(x)≥0恒成立，则m的取值范围为（） A.(-1,+∞)B.[-1,+∞) 0.（-∞，-1 D.(-∞，-1) 8.设R1,F,分别是椭圆三+若-1的左、右焦点，圆2+y=2-b2与椭圆C在第一-象限内的交点 为P,延长PF2与椭圆C交于点Q,若|PF2引=2QF2l,则椭圆C的离心率为（) A.9 B. c.9 0.青 试卷第1页，共4页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分) 9.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是（) A.x=1是f(x)的极值点 B.x=-3是f(x)的极大值点 (x) C.f(x)的单调递减区间是[-3，-1] D.f(0)>f(1) 10.已知函数f(x)=gx+lg(n-x),则（) A.f(x)的定义域为(O,n) B.f(x)在(0，π)单调递减 C.y=f)的图像关于直线x=对称 D.f(x)有最大值 11.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台ABCD一A'B'C‘D'是一个侧棱相 等、高为2的“刍童”，其中AB=2A'B′=6，BC=2B‘C=8,则（) A.该“刍童”的表面积为90+18V2 B.该“刍童”中BD1平面ACC′A C.该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为碧 D.该“刍童”侧棱A'A与平面ABCD所成角的正弦值为W④ 41 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知命题p:“x∈(0，+∞)，x2<1”,则p: 13.已知f(V2x+工=x+1,则函数f(x)的解析式为 14.设y=f”(x)是y=f'(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+ cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(xo,f(xo),其中xo满足f”(xo)=0. (1)函数g(x)=5x3-x2+3x+1的对称中心为一 (2)现已知当直线kx-y-k+1=0(kER)和h(x)=ax3+bx2+的图象交于A(x1y1)、B(x2,y2)、 C(x3,y3)(x1<x2<x3)三点时，h(x)的图象在点A、点C处的切线总平行，则过点(b,a)可作h(x)的 条切线. 试卷第2页，共4页 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.(本小题满分3分)某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查， 得到如下列联表： 足球 合 性别 喜欢 不喜欢 计 男生 30 20 50 女生 10 20 30 合计 40 40 80 (1)依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？ (2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3 人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X,求随机变量X的分布列和期望， 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A11平面ABC,AB=1,BC=CC1=2, A B=V5. (1)求证：BB11平面ABC (2)若AB1BC,D为A1B的中点，求C1D与平面A1BC所成角的正弦值. B 试卷第3页，共4页 17.(本小题满分15分)记数列{an}的前n项和为Sm,已知a1=2,Sn=nam-n(n-1). (1)证明：{a}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； 2)记bu=gtD 求数列{bnJ的前n项和Tn; (3)求的最大值. 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=anx-x2+1. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若a<0,且对任意xx2∈(0，+∞)，x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)儿>x1-x2l,求a的取值范围. 19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系x0y中，抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(2,yo)到焦点的距 离为3. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过焦点的直线与抛物线C交于A、B两点， (i)当直线的倾斜角为时，求△A0B的面积； (ii)直线x=-2分别与直线OA,OB交于点M,N,以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定 点坐标；否则，请说明理由 试卷第4页，共4页 盐田高级中学高二数学期末考试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A D C A B A BC ACD ACD 1．C 【详解】样本数据的平均数为. 2．C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 3．A 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4．D 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增，因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 5．C【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 6．A【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 7．B 【详解】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得，单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足，的取值范围是． 8．A【详解】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 9．BC【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在上单调递增，所以，所以D错误. 10．ACD【详解】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 11．ACD【详解】设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为， 由题意面，设分别为的中点，则， 而面，所以，所以两两垂直， 所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 对于A，因为， 过点作于点，则，， 所以， 同理过点作于点，则，， 所以， 所以侧面面积之和为， 而上下底面之和为， 所以该“刍童”的表面积为，故A正确； 对于B，由题意知四边形为矩形，， ，但，这表明了与不垂直， 所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误； 对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为， 而，所以， 由，即得，， 解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又平面，故取平面的法向量为， 不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为， 则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确. 12．，【详解】命题 “，”， 则“，”. 13．，【详解】设，那么，则 ，所以，. 14． 【详解】（1），则，， 由，可得，且， 故函数的对称中心为； （2）的图象在点、点处的切线总平行， 所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心， 又因为直线恒过定点， 所以，函数的对称中心为，即点， 因为，则，， 所以，，解得，即，则. 所以，函数在处的切线方程为， 即， 将点代入切线方程得，整理得， 即，解得或. 故过点的函数的图象的切线有条. 15．【详解】（1）零假设为：喜欢足球与性别之间无关联....1分 根据列联表，由得， ......4分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，...5分 即认为喜欢足球与性别之间有关联....6分 （2）在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为......7分 且 ...... 10 则的分布列为 1 2 3 则......13分 16．(1)证明:在三棱柱中，BB1=CC1=2， 在△A1BB1中，AB=1,A1B=,BB1=2,即()2=12+22, 所以A1B2=AB2+ BB12，故BB1 ⊥ AB......3分 又平面ABB1A1⊥平面ABC， 平面ABB1A1∩平面ABC= AB，BB1 平面ABB1A1 所以BB1 ⊥平面ABC...7分 （2） 因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系， 如图所示......8分 由题意，得，， ， ， 且D为的中点，即 ......10分 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ......13分 设与平面所成角为 ，则......14分 所以与平面所成角的正弦值......15分 17.（1）证明：当且时，由已知 ，得 . 两式相减得 ， 整理得 ， 因为时，两边同除以得 ， 又，故是首项为2、公差为2的等差数列 ......3分 则其通项公式为 ，......4分 （2）由（1）得 ......6分 其前项和为 ,其中......9分 （3）由等差数列的前项和公式得 ...10分 代入目标式，得 ，因为， 分子分母同除以得 ......12分 由基本不等式， ，当且仅当即时取等号， 因此 ，故， 即的最大值为，时取得最大值......15分 18.（1） 求导得......1分 因为在处的切线方程为， 所以，，得 ......3分 因为 ，故,得......5分 （2） 当时，在恒成立，所以在上是减函数....... 7分 当时，或（舍去），令， 令， 故在上是增函数，在上是减函数 ......9分 综上当时，在上是减函数 当时，在上是增函数，在上是减函数 ......10分 （3） 由（2）知，若，在上是减函数， （4） 不妨设，则 即 即......12分 只要满足在为减函数， ，......15分 即在恒成立， ， ，所以 ......17分 19．【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的标准方程为 ......4分 （2）（i）由题意，直线的方程为：， 联立方程组，得， 设，，则， ......7分 ......9分 （ii）以为直径的圆过定点，定点坐标为或， 依题意可设直线， 联立，消得，恒成立， 则，......12分 又，， 令，则，即，同理可得......14分 设圆上任意一点为，因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得，， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点， 定点坐标为或 ......17 分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：郑胜芳 审题人：苗春玉 考试时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1．样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 6．在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 10．已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 11．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（ ） A．该“刍童”的表面积为 B．该“刍童”中平面 C．该“刍童”外接球的球心到平面的距离为 D．该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知命题“，”，则______. 13．已知 ，则函数的解析式为_________. 14．设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足. （1）函数的对称中心为______________； （2）现已知当直线和的图象交于、、 三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．（本小题满分13分）某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表： 性别 足球 合计 喜欢 不喜欢 男生 30 20 50 女生 10 20 30 合计 40 40 80 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？ (2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分）记数列的前项和为，已知，． (1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)求的最大值． 18．（本小题满分17分）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数和的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，且对任意，,都有，求的取值范围． 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 注意事项： 答题前，认真核对条形码上的姓名、考试号,并在贴条形码区粘贴考生条形码。 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框。 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 试卷类型 A B 贴条形码区 考生 禁填 缺考标记 ) ( 20 2 5 -202 6 学年第 二 学期期 末 考试 高 二 数学答题卡 班级 姓名 试室号 座位号      ) 客观题答题区 ( 单选题 1  2  3  4  5  6  7  8  ) ( 多选题 9  10  11  ) 主观题答题区 ( 12 ．_ ________ _ ________ 13 ．_ ________ _ ________ 14 ．_ ________ _ ________ ) ( 15 ．( 13 分) ) ( 16 ．( 15 分) 17 ．( 15 分) ) ( 18 ．( 17 分) ) ( 第 2 面 / 共2面 理 科数学答题卡 ) ( 19 ．( 17 分) ) ( 第3 面 / 共3面 理科综合答题卡 ) ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $