精品解析：云南省昆明市第十中学教育集团2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷

昆明市第十中学教育集团初二年级下学期数学期末试卷 一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，，因此选项A不符合题意； B．是最简二次根式，因此选项B符合题意； C．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，因此选项C不符合题意； D．，被开方数中含有能开得尽方的因数，因此选项D不符合题意． 故选：B． 2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两条较短边的平方和是否等于最长边的平方来判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A．，故不能组成直角三角形． B．，故能组成直角三角形． C．，故不能组成直角三角形． D．，故不能组成直角三角形． 故选：B． 3. 甲、乙两名滑雪运动员在“雪如意”滑雪中心进行了相同次数的滑雪练习，下列关于他们滑雪成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲成绩较好且发挥更稳定的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差判断稳定性，根据平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定， ∴能说明甲滑雪运动员成绩较好且发挥更稳定的是，且； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 6. 如果一个正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数表达式，设正比例函数表达式为，由正比例函数的图象经过点，则，解出k的值即可得出答案． 【详解】解：设正比例函数表达式为， ∵正比例函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴正比例函数表达式为， 故选：A． 7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴判断a、b、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、化简绝对值、数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 8. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 9. 在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计量．熟知中位数的定义是解答的关键． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩 ∵平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程度，均不符合题意， ∴符合题意的统计量是中位数， 故选：C． 10. 如图，长方形放在数轴上，，，以A为圆心，长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴P点表示的数为， 故选：C． 11. 为了落实“双减”政策，某学校对学生学期各学科的学业成绩规定如下：平时作业成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若小颖数学学科的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为80分，90分，92分，则小颖这学期数学学科的学业成绩为（ ） A. 92分 B. 90分 C. 89分 D. 85分 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义进行求解即可． 【详解】解：分， ∴小颖这学期数学学科的学业成绩为89分， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解题的关键． 12. 如图，在中，于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 由于点，得，求得，由平行四边形的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】于点， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：B． 13. 如图所示是甲、乙两人射击成绩的箱线图，下面说法正确的是（ ） A. 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差 B. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数 D. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据箱线图读取甲、乙的中位数、极差及数据分布情况，结合方差、平均数、众数的意义进行判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲的中位数为，乙的中位数为， ， 甲射击成绩的中位数小于乙射击成绩的中位数，故B错误； 观察图形可知，乙的数据整体分布位置高于甲， 乙射击成绩的平均数大于甲射击成绩的平均数，故C错误； 箱线图无法直接确定数据的众数，故D错误； 甲的极差为，乙的极差为，且甲的数据分布范围更广，离散程度更大， 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差，故A正确． 14. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意； 、把代入得，， ∴， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意； 、将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小， 若，则，该选项错误，不合题意； 故选：． 15. 如图，在矩形中，．对角线相交于点O，过点O作，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理，结合线段垂直平分线的性质，通过设未知数建立方程来求解． 【详解】解：在矩形中，，，根据勾股定理可得： ． ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线，故． 设，则． 在中，根据勾股定理，可得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到，再通过勾股定理建立方程求解． 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0． 17. 如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是________． 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．由三角形的中位线得，即可求解． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：20米． 18. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【解析】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 19. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值． 方程的解即为当时方程的解，而一次函数的图象与y轴交于点，则当时，，即可求解． 【详解】解：方程的解即为当时方程的解， ∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴当时，， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分62分） 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，在中，是对角线，点E、F分别在、上，与相交于点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ， ，根据折线统计图，直观判断 （填“”“”或“”）； （2）若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由． 【答案】（1）7.5，9，< （2）万人 （3）我认为甲款AI软件使用效果更好，理由：甲的信息识别准确度平均数高于乙，且甲的方差更小，得分更稳定，识别准确度表现更好，因此使用效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据统计图中信息，以及中位数，众数，方差的定义求解，即可解题； （2）用万乘以甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数所占比，即可解题； （3）根据平均数，方差作决策，即可解题． 【小问1详解】 解：乙款总共随机抽取20名，其中根据条形统计图可知，信息处理速度得分按从小到大的顺序排列后第位的得分是分和分， ， 由条形统计图可知，， 由折线统计图可知，甲的信息识别准确度得分波动程度更小，则； 【小问2详解】 解：由信息识别准确度图可知，抽取的20名甲使用者中，信息识别准确度得分超过7分的有16、17、18、19、20号，共5人； ∴万人． 【小问3详解】 略 23. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 24. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服套（为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求与的函数关系式； （2）该服装店计划投入不超过2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）200套，15000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，正确列出等量关系及求出自变量的取值范围是解此题的关键． （1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）购进A款的数量+（B款的售价B款的进价）购进B款的数量代入列关系式，化简即可． （2）根据总成本列不等式即可求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性确定其最值问题． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ； 【小问2详解】 由题意，得， ∴， ∴至少要购进A款夏装200套， 又， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，． ∴当服装店售完全部的A，B两款夏装时，获得最大利润是15000元． 25. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵在矩形中，， ∴在中，． 26. 如表是一次函数（k，b为常数，）中y与x的几组对应值． x 0 1 y 3 m （1）求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； （2）已知点A的坐标为，点B的坐标为，问：x轴上是否存在点P使得的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）设函数图象与x轴交于点C，求 ，设，则，根据即可求解． 【小问1详解】 解：将，，以及，代入， 得：， 解得， 一次函数的表达式为， 将代入， 得：． 【小问2详解】 解：存在，点P的坐标为或． 如图，设函数图象与x轴交于点C， 令，得， ∴它与x轴的交点坐标 ， 设，则， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 27. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE、BE． （1）如图1，若∠CDE＝20°，则∠ABE的度数为______； （2）如图2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝4，若DE平分∠BDC，求△BDE的面积； （3）如图3，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若EF＝BF，AF＝22，求CE的长． 【答案】（1）70° （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明△ADE≌△ABE，根据全等三角形对应角相等的性质，求出∠ADE的度数即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理，求出AC、BD和AO的长度，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可求出∠ADE和∠AED的度数，易证AD=AE，根据OE=AE-AO即可求出三角形的高，最后用三角形的面积公式即可求出面积； （3）过点E作EG⊥AB，垂足为点G，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，证明△EFB为等边三角形，设BG=FG=x，则BE=2x，易证△AEG和△CEH为等腰直角三角形，根据AG=EG求出x的值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，∠ABC=90°， 在△ADE和△ABE中， AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴∠ADE=∠ABE， ∵∠CDE＝20°， ∴∠ABE=∠ABC-∠CDE=70°， ∴∠ADE=70°， 故答案为：70°． 【小问2详解】 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD=4，∠ADC=90°，∠ODC=∠ADO=∠DAE=45°， 在Rt△ADC中，根据勾股定理可得：， ∴BD=AC=，AO=AC=， ∵DE平分∠BDC， ∴∠ODE=∠BDC =22.5°， ∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=67.5°， 在△ADE中，∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=67.5°， ∴∠ADE=∠AED，则：AD=AE=4， ∵AE=4，AO=， ∴OE=AE-OA=4-， ∵AC⊥BD， ∴． 【小问3详解】 过点E作EG⊥AB，垂足为点G，过点E作EH⊥BC，垂足为点H， ∵EF⊥DE，四边形ABCD为正方形， ∴∠DAF=90°，∠DEF=90°， ∴在四边形AFED中，∠AFE+∠ADE=180°， ∵∠AFE+∠EFB=180°， ∴∠ADE=∠EFB， 由（1）可知，∠ADE=∠ABE， ∴∠ABE=∠EFB，则EF=EB， ∵EF=BF， ∴△EFB为等边三角形， ∴∠BEG=30°，则BE=2BG， 设BG=FG=x，则BE=2x， 根据勾股定理得：， ∵∠EAG=45°，EG⊥AB， ∴△AGE为等腰直角三角形，则AG=EG， 22+x=，解得：x=2， ∵∠HBG=90°，∠EGB=90°，∠EHB=90°， ∴四边形EGBH为矩形， ∴EH=BG=2， ∵∠ECH=45°，EH⊥BC， ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴CH=EH=2， 根据勾股定理得：CE= 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第十中学教育集团初二年级下学期数学期末试卷 一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 甲、乙两名滑雪运动员在“雪如意”滑雪中心进行了相同次数的滑雪练习，下列关于他们滑雪成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲成绩较好且发挥更稳定的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 6. 如果一个正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 9. 在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 10. 如图，长方形放在数轴上，，，以A为圆心，长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为（ ） A. B. C. D. 11. 为了落实“双减”政策，某学校对学生学期各学科的学业成绩规定如下：平时作业成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若小颖数学学科的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为80分，90分，92分，则小颖这学期数学学科的学业成绩为（ ） A. 92分 B. 90分 C. 89分 D. 85分 12. 如图，在中，于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 13. 如图所示是甲、乙两人射击成绩的箱线图，下面说法正确的是（ ） A. 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差 B. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数 D. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 14. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 15. 如图，在矩形中，．对角线相交于点O，过点O作，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 16. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 17. 如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是________． 18. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 19. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为_____． 三．解答题（共8小题，满分62分） 20. 计算： （1）； （2） 21. 如图，在中，是对角线，点E、F分别在、上，与相交于点，且，求证：． 22. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ， ，根据折线统计图，直观判断 （填“”“”或“”）； （2）若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由． 23. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 24. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服套（为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求与的函数关系式； （2）该服装店计划投入不超过2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ 25. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求线段的长度． 26. 如表是一次函数（k，b为常数，）中y与x的几组对应值． x 0 1 y 3 m （1）求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； （2）已知点A的坐标为，点B的坐标为，问：x轴上是否存在点P使得的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE、BE． （1）如图1，若∠CDE＝20°，则∠ABE的度数为______； （2）如图2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝4，若DE平分∠BDC，求△BDE的面积； （3）如图3，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若EF＝BF，AF＝22，求CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $