云南省昆明市第三中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

云南省昆明三中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①ax2+bx+c＝0；②；③xy﹣x2＝2；④（x+1）（x﹣2）＝x2﹣7；⑤x2+9＝0；⑥（x﹣2）（x+3）＝0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2分）抛物线y＝﹣4x2+3的顶点坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3） 3．（2分）关于x的一元二次方程3x＝﹣5x2+2化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．﹣5，3，﹣2 C．5，3，﹣2 D．﹣5，﹣3，﹣2 4．（2分）下列抛物线中，对称轴是直线x＝﹣1的是（　　） A．y＝x2+4x B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2x2+4x D．y＝﹣2x2+4x 5．（2分）若a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，则2a2﹣12a+2033的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．（2分）关于x一元二次方程x2+kx﹣7＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．6 C．7 D．﹣6 7．（2分）根据表中的对应值，判断方程x2﹣10x﹣15＝0的一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 x2﹣10x﹣15 ﹣1.56 ﹣0.31 0.96 2.25 3.56 A．11.2＜x＜11.3 B．11.3＜x＜11.4 C．11.4＜x＜11.5 D．11.5＜x＜11.6 8．（2分）抛物线y＝﹣﹣1可以由抛物线y＝﹣（　　）得到． A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向不平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 9．（2分）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+5x+k2﹣9＝0常数项为0，则k值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 10．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣3 11．（2分）用配方法解方程x2+4x﹣11＝0时，若将方程变形为（x+m）2＝n，则m+n＝（　　） A．18 B．20 C．19 D．17 12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（　　）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 13．（2分）学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A．1﹣x2＝80% B．（1+x）2＝80% C．1﹣2x＝80% D．（1﹣x）2＝80% 14．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法正确的是（　　） A．b+2a＝0 B．abc＞0 C．2b＜4a+c D．a+b+c＜0 15．（2分）如图是二次函数y＝kx2+b图象，则下列图象可能是一次函数y＝kx+b的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．（2分）若关于x的一元二次方程px2+4px＝0有实数根，则p的取值范围是 　 　 ． 17．（2分）若是关于x的二次函数，则a的值为 　 　 ． 18．（2分）若关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2，若x1x2＝﹣2，则m＝ 　 　 ． 19．（2分）若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）解方程： （1）x2+x﹣12＝0； （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． 21．（6分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求△ABC的面积． 22．（7分）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有a1（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣xn）＝0．其中a1，a2，…，an，an+1为该方程各项系数．当n＝2时，这一性质也称作韦达定理． 设：当n＝2时，有方程， 该方程有两个实数根x1和x2，且a1（x﹣x1）（x﹣x2）＝0， 展开得， 即， 又由题知， 则a1x（x1+x2）＝a1x，a1x1x2＝a3， 故，． 当n＝3，求式子x1x2+x1x3+x2x3和x1x2x3的值（用系数表示）． 23．（7分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标． 25．（8分）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100kg．通过市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40kg．设这种水果每千克的售价降低x元． （1）该水果店每天的销售量是 　 　 kg；（用含x的代数式表示） （2）若该水果店销售这种水果想要每天盈利300元，且每天至少售出230kg，则该水果店应将这种水果每千克的售价降低多少元？ 26．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 27．（12分）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）当c＜0时，求函数y＝﹣2025|ax2+bx+c|﹣1的最大值； （3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值． 云南省昆明三中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C C D A B D B A D 题号 12 13 14 15 答案 A D A C 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①ax2+bx+c＝0；②；③xy﹣x2＝2；④（x+1）（x﹣2）＝x2﹣7；⑤x2+9＝0；⑥（x﹣2）（x+3）＝0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：①ax2+bx+c＝0，只有当a≠0时是一元二次方程，故本小题不符合题意； ②不是整式方程，故本小题不符合题意； ③xy﹣x2＝2中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本小题不符合题意； ④由（x+1）（x﹣2）＝x2﹣7得到x﹣5＝0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本小题不符合题意； ⑤x2+9＝0是一元二次方程，故本小题符合题意； ⑥（x﹣2）（x+3）＝0整理后是一元二次方程，故本小题符合题意； 故⑤⑥符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．（2分）抛物线y＝﹣4x2+3的顶点坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3） 【分析】根据二次函数的顶点式，即可解答． 【解答】解：抛物线y＝﹣4x2+3的顶点坐标是（0，3）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2分）关于x的一元二次方程3x＝﹣5x2+2化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．﹣5，3，﹣2 C．5，3，﹣2 D．﹣5，﹣3，﹣2 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【解答】解：3x＝﹣5x2+2转化为一般形式为：5x2+3x﹣2＝0， 所以一元二次方程3x＝﹣5x2+2化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 4．（2分）下列抛物线中，对称轴是直线x＝﹣1的是（　　） A．y＝x2+4x B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2x2+4x D．y＝﹣2x2+4x 【分析】根据对称轴公式以及顶点坐标公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵a＝1，b＝4， ∴﹣＝﹣＝﹣2， ∴对称轴是直线x＝﹣2， 故A不符合题意； B、对称轴是直线x＝1，故B不符合题意； C、∵a＝2，b＝4， ∴﹣＝﹣＝﹣1， ∴对称轴是直线x＝﹣1， 故C符合题意； D、∵a＝﹣2，b＝4， ∴﹣＝﹣＝1， ∴对称轴是直线x＝1， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2分）若a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，则2a2﹣12a+2033的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据已知易得：a2﹣6a+4＝0，从而可得a2﹣6a＝﹣4，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根， ∴a2﹣6a+4＝0， ∴a2﹣6a＝﹣4， ∴2a2﹣12a+2033＝2（a2﹣6a）+2033＝2×（﹣4）+2033＝﹣8+2033＝2025， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2分）关于x一元二次方程x2+kx﹣7＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．6 C．7 D．﹣6 【分析】利用根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可知：1•m＝﹣7， 解得m＝﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2分）根据表中的对应值，判断方程x2﹣10x﹣15＝0的一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 x2﹣10x﹣15 ﹣1.56 ﹣0.31 0.96 2.25 3.56 A．11.2＜x＜11.3 B．11.3＜x＜11.4 C．11.4＜x＜11.5 D．11.5＜x＜11.6 【分析】根据表格观察当x变化时，ax2+bx+c的值符号变化即可判断方程的解． 【解答】解：由表格可知，当11.3＜x＜11.4时，ax2+bx+c的值符号发生变化，故方程的一个解x得取值为11.3＜x＜11.4， 故选：B． 【点评】此题主要考查一元二次方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法． 8．（2分）抛物线y＝﹣﹣1可以由抛物线y＝﹣（　　）得到． A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向不平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），由此确定平移的步骤． 【解答】解：∵y＝﹣﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1）， ∵抛物线y＝﹣的顶点坐标是（0，0）， ∴平移的方法可以是：将抛物线y＝﹣向左平移1个单位，再向下平移1个单位． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 9．（2分）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+5x+k2﹣9＝0常数项为0，则k值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 【分析】根据一元二次方程的常数项为0得出k2﹣9＝0，即可求出k的值，再根据此方程为一元二次方程得出k﹣3≠0，从而确定k的取值． 【解答】解：根据题意得，k2﹣9＝0， 解得k＝±3， 又∵k﹣3≠0， ∴k≠3， ∴k＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的一般形式及定义是解题的关键． 10．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【分析】先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程ax2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）， 即x＝﹣1或x＝3时，y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 11．（2分）用配方法解方程x2+4x﹣11＝0时，若将方程变形为（x+m）2＝n，则m+n＝（　　） A．18 B．20 C．19 D．17 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可，求出m和n的值，即可求出m+n． 【解答】解：x2+4x﹣11＝0， x2+4x＝11， ∴x2+4x+4＝11+4， （x+2）2＝15， ∴m＝2，n＝15， ∴m+n＝17， 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（　　）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＜﹣2或x＞6时，y＞0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 13．（2分）学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A．1﹣x2＝80% B．（1+x）2＝80% C．1﹣2x＝80% D．（1﹣x）2＝80% 【分析】根据今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：（1﹣x）2＝80%． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法正确的是（　　） A．b+2a＝0 B．abc＞0 C．2b＜4a+c D．a+b+c＜0 【分析】根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，即b+2a＝0，即可判断A；根据抛物线开口判断a＜0，然后根据对称轴判断b＞0，抛物线交y轴于正半轴，c＞0，可判断B；由图象知：当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，可判断C；由图可知x＝1时y＝a+b+c＞0，可判断D． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故选项A正确； ∵a＜0，b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线交y轴于正半轴得：c＞0； ∴abc＜0，故选项B错误； 由图象知：当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0， ∴2b＞4a+c，故选项C错误； 由图可知，x＝1时y＞0， ∴a+b+c＞0，故选项D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 15．（2分）如图是二次函数y＝kx2+b图象，则下列图象可能是一次函数y＝kx+b的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝kx2+b图象可以判断k＜0，b＞0，从而可以判断一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，从而可以解答本题． 【解答】解：由二次函数y＝kx2+b图象可得， k＜0，b＞0， ∴一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．（2分）若关于x的一元二次方程px2+4px＝0有实数根，则p的取值范围是 　p≠0　 ． 【分析】根据关于x的一元二次方程px2+4px＝0有实数根，可得p≠0且Δ≥0，即16p2≥0，即看解得答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程px2+4px＝0有实数根， ∴p≠0且Δ≥0，即16p2≥0， ∴p≠0， 故答案为：p≠0． 【点评】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据题意列出关于p的不等式． 17．（2分）若是关于x的二次函数，则a的值为 　±1　 ． 【分析】根据二次函数的定义易得a2+1＝2且a+2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：若是关于x的二次函数， 则a2+1＝2且a+2≠0， 解得：a＝±1， 故答案为：±1． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 18．（2分）若关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2，若x1x2＝﹣2，则m＝ 　﹣2　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2， 所以x1x2＝m． 又因为x1x2＝﹣2， 所以m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19．（2分）若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ 　　 ． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3c＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3c＝0， 解得c＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）解方程： （1）x2+x﹣12＝0； （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2+x﹣12＝0， ∴（x+4）（x﹣3）＝0， 则x+4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝3； （2）∵（2x﹣1）2＝（3﹣x）2， ∴2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝x﹣3， 解得x1＝，x2＝﹣2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． 21．（6分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）先解方程x2﹣4x+3＝0得到点A、B的坐标，然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标； （2）直接利用三角形面积公式计算． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3， ∴C（0，3）； （2）△ABC的面积＝×（3﹣1）×3＝3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 22．（7分）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有a1（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣xn）＝0．其中a1，a2，…，an，an+1为该方程各项系数．当n＝2时，这一性质也称作韦达定理． 设：当n＝2时，有方程， 该方程有两个实数根x1和x2，且a1（x﹣x1）（x﹣x2）＝0， 展开得， 即， 又由题知， 则a1x（x1+x2）＝a1x，a1x1x2＝a3， 故，． 当n＝3，求式子x1x2+x1x3+x2x3和x1x2x3的值（用系数表示）． 【分析】依据题意，根据所给信息可得，当n＝3时，方程为a1x3+a2x2+a3x+a4＝0，又设该方程有两个实数根x1，x2，x3，则a1（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0，进而a1x3﹣a1（x1+x2+x3）x2+a1（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣a1x1x2x3＝0，又a1x3+a2x2+a3x+a4＝0，则a1（x1x2+x1x3+x2x3）＝a3，﹣a1x1x2x3＝a4，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，当n＝3时，方程为a1x3+a2x2+a3x+a4＝0． 又设该方程有两个实数根x1，x2，x3， ∴a1（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0． ∴a1x3﹣a1（x1+x2+x3）x2+a1（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣a1x1x2x3＝0． 又∵a1x3+a2x2+a3x+a4＝0， ∴a1（x1x2+x1x3+x2x3）＝a3，﹣a1x1x2x3＝a4． ∴x1x2+x1x3+x2x3＝，x1x2x3＝﹣． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的一般形式，解题时要熟练掌握并能根据所给信息列出关系式是关键． 23．（7分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【分析】设车道宽度为x米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设车道宽度为x米， 根据题意得：（30﹣x）（19﹣x）＝390， 整理得：x2﹣49x+180＝0， 解得：x1＝4，x2＝45（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接AC交对称轴于点M，由点A、B关于对称轴对称可得AM＝BM，即得CM+BM＝AM+BM＝AC，由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ∴， ∴＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 连接AC交对称轴于点M， 由题意可得：AM＝BM， ∴CM+BM＝CM+AM＝AC， 由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，最小值即为线段AC的长， 设直线AC的解析式为y＝kx+n， 把A（﹣3，0），C（0，3）代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2， ∴M（﹣1，2）． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25．（8分）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100kg．通过市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40kg．设这种水果每千克的售价降低x元． （1）该水果店每天的销售量是 　（100+200x）　 kg；（用含x的代数式表示） （2）若该水果店销售这种水果想要每天盈利300元，且每天至少售出230kg，则该水果店应将这种水果每千克的售价降低多少元？ 【分析】（1）根据以每千克4元的价格出售，每天可售出100kg，通过市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40kg，列出代数式即可； （2）根据该水果店销售这种水果想要每天盈利300元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，该水果店每天的销售量是100+×40＝（100+200x）（kg）， 故答案为：（100+200x）； （2）由题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300， 整理得：2x2﹣3x+1＝0， 解得：x1＝0.5，x2＝1， 当x＝0.5时，100+200×0.5＝200＜230，不符合题意，舍去； 当x＝1时，100+200＝300＞230，符合题意； 答：该水果店应将这种水果每千克的售价降低1元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【分析】（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出x1＝x2，进而可得出Δ＝0，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出x1，x2的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2， ∴m的取值范围为m≤﹣1且m≠﹣2； （2）∵等腰△ABC的底边BC＝4，且x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长， ∴x1＝x2， ∴Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得：m＝﹣1， ∴原方程为x2﹣6x+9＝0， ∴x1＝x2＝3， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为3+3+4＝10． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，列出关于m的一元一次不等式组；（2）利用等腰三角形的性质及根的判别式，求出m的值． 27．（12分）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）当c＜0时，求函数y＝﹣2025|ax2+bx+c|﹣1的最大值； （3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值． 【分析】（1）依据题意，由抛物线顶点式可得 y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，即可得出答案； （2）依据题意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可得|ax2+bx+c|≥0，进而可得﹣2025|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，即可得出答案； （3）依据题意，由直线与抛物线C1有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，即Δ＝0，可得，进而可得，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∴y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1， ∴b＝﹣2a，c＝a+1． （2）由题意，∵y＝ax2+bx+c，a＞0，c＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴|ax2+bx+c|≥0， ∴﹣2025|ax2+bx+c|≤0， ∴﹣2025|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1， ∴函数y＝﹣2025|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1． （3）由题意，∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点， ∴方程组只有一组解， ∴有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴， ∴（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0， ∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0恒成立， ∴ ∴a＝1，b＝﹣2，c＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根的情况和根的判别式，解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$