暑假专项作业：相交线与平行线-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心概念，通过分层题型构建"概念辨析-性质应用-综合探究"的方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-6、填空11|定义辨析（同位角/内错角）、命题真假判断|从对顶角/互余互补概念到平行线判定公理的生成| |性质应用|单选7-10、填空12-15|辅助线添加（作平行线）、分类讨论（动点位置）|平行线性质（内错角/同旁内角）与角度计算的推导| |综合探究|解答17-21|动态问题分析、角平分线模型|从静态计算到实际情境（如集热板、汽车悬挂）的应用拓展|

暑假专项作业：相交线与平行线-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．如图，于，直线经过点，则与的关系是（） A．互余 B．互补 C．对顶角 D．相等 2．下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 5．下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，直线与被直线所截形成的内错角为（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 8．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日洛阳市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 10．悬挂对于汽车的操控性能有着决定性的作用，不同构造的悬挂有着不同的操控性能．现代轿车大都是采用独立式悬挂系统，独立悬挂系统是每一侧的车轮都是单独地通过弹性悬挂系统悬挂在车架或车身下面的．如图是某汽车的独立悬挂截面图，已知，，，且，，则的度数（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知一个角的补角为，则这个角的度数是_________． 12．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角的两倍比另一个角大，则这两个角的度数分别为______． 13．如图，，点E，F分别在直线，上，点P为直线、间一动点，若、的平分线交于点Q，且，则的度数为_________． 14．一种路灯维护工程车的工作示意图如图所示，已知工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为______． 15．如图，将两个直角三角尺的一个顶点重合，其中，，．三角尺固定不动，三角尺可绕点C转动．当时，的度数为_______． 16．如图，在四边形中，，点E在的延长线上，连接交于点F，，点P，Q在上，连接，已知，，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④ 其中所有正确结论的序号为________． 三、解答题 17．如图所示，直线，，交于点，平分，且，．求的度数． 18．如图，已知，点是射线上一动点（不与点重合），，分别平分与，分别交射线于点，． (1)若，求的度数； (2)当点运动到使时，探究与的数量关系． 19．篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 20．已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 21．如图①所示，某江两岸的主道路上安装了两座可旋转射灯A、B，已知，，且．灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，已知灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． (1)填空：______． (2)如图②，如果灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在转动过程中，灯A光束与交于点，灯B光束与交于点，设灯A转动t秒． ①当时，则______，______（用含t的式子表示）． ②当灯A转动______秒时，两灯发出的光束第一次互相平行； 当灯A转动______秒时，两灯发出的光束第二次互相平行． (3)已知点G在直线上且在点A右侧，连接．如果两灯同时转动，在灯B光束到达之前，两灯光束交于点O，O恰好是与的角平分线交点，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：相交线与平行线-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C D B B C A 1．A 【分析】由题意得，利用对顶角相等可得，结合角的和差关系即可得出与的关系． 【详解】解：由题意得， 对顶角相等， ， ， ， 与互余． 2．B 【分析】根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，对选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； B、根据同位角的概念可知，图中和不是同位角，故选项符合题意； C、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； D、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意． 3．A 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 当时，才有， ∴A符合题意. 4．B 【分析】根据平行线的性质结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：如图， ， ， 又，平行线间内错角相等， ， ． 5．C 【分析】根据平行线的定义，平行公理及推论，平行线的判定，逐个判断即可． 【详解】解：因为平行线的定义要求“同一平面内，不相交的两条直线是平行线”，①缺少“同一平面内”的条件，所以①是假命题； 因为只有两直线平行时，同旁内角才互补，②没有给出两直线平行的前提，所以②是假命题； 因为“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是平行公理的推论，所以③是真命题； 因为根据平行公理，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④是真命题； 因为在同一平面内，若，，则，不是，所以⑤是假命题； 综上，真命题共2个． 6．D 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．与是直线，直线被直线所截得的同旁内角，选项不符合题意； B．与是直线，直线被直线所截得的内错角，选项不符合题意； C．与是直线，直线被直线所截得的内错角，选项不符合题意； D．与是直线，直线被直线所截得的内错角，选项符合题意． 7．B 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．B 【分析】根据垂直，平角的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 9．C 【详解】解：由作图可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 10．A 【分析】根据平行线的性质可推出，延长分别交直线于点M，点N，则可证明，过点I作，则，据此可得，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 如图所示，延长分别交直线于点M，点N， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点I作， ∴， ∴， ∴． 11． 【分析】根据补角的定义，互为补角的两个角的和为，因此用减去已知的补角度数即可求出这个角的度数． 【详解】解：这个角的度数是 ． 12．，或， 【分析】根据一个角的两边分别平行于另一个角的两边，可得这两个角相等或互补，设其中一个角的度数为，进而列出方程解答即可求解． 【详解】解：∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边， ∴这两个角相等或互补， 设其中一个角的度数为， 若这两个角相等，则， 解得， ∴这两个角的度数为，； 若这两个角互补，则， 解得， ∴， ∴这两个角的度数为，； 综上，这两个角的度数分别为，或，． 13． 或 【分析】分两种情况讨论，点P在直线的右侧和左侧，过点作，过点作，利用平行线的内错角相等或同旁内角互补的性质，得到与、的数量关系。根据角平分线的定义，得到的一半、的一半与两个角平分线分出来的角的对应关系．再次利用平行线内错角相等的性质，推导和上述两个半角的数量关系，结合已知的度数计算结果． 【详解】解：①如图，点P在直线的右侧，过点作，过点作， ， ． ，， ． 平分，平分， ，， ． 同理，由得 ． ②如图，点P在直线的左侧，过点作，过点作， ， ． ，， 又， ， 平分，平分， ，， ， 同理可得 ． 综上，的度数为或． 14．155 【分析】根据题意过点作直线，则，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 设工作篮底部所在直线为，支撑平台所在直线为，则， 过点作直线，则， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴． 15．或． 【分析】由三角形内角和定理得出，再分两种情况，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：，，， ， ①如图， ， ， ； ②如图， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 16．③④ 【分析】根据同旁内角的定义判断①，根据平行线的判定定理可判断②，进而根据平行线的性质、平角的定义、角平分线的定义以及已知条件判断③，平行线的性质可判断④． 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； 由题意推不出，即无法得到，即②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即平分；即③正确； ∵ ∴，即④正确． 综上，正确的有③④． 17． 【详解】解： ， ∴， ， ， ， ∴ 18．(1)； (2)． 【分析】（1）由平行线的性质可求得，再根据角平分线的定义和整体思想可求得； （2）由平行线的性质可得到，结合条件，可得到． 【详解】（1）解： 又 、分别平分与 ，， ； （2） 又 即 即 19．①平行于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直的定义；⑤60 【分析】本题主要考查根据推理过程填写逻辑关系，由平行于同一条直线的两条直线平行得，两直线平行，同旁内角互补得，两直线平行，内错角相等得，垂直的定义得，最后计算结果． 【详解】解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵于点B， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴（平角的定义）． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E向左侧作，过点F向右侧作，先根据平行线的判定与性质证明，得到，所以，再根据平行线的判定与性质，可得即得答案； （2）类似于（1）的思路，即可求解； （3）类似于（2）的思路，，即可求解． 【详解】（1）解：过点E向左侧作，过点F向右侧作， ， ， ， ， ， 即， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：当时， 由（1）知， ，， ， 由（1）可知，； （3）解： 由（2）知，当时， ， ，， ， ， ， 即． 【点睛】解题时要注意三个小题的解答思路具有关联性． 21．(1) (2)①，；②， (3)或 【分析】1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出；②当，两灯发出的光束第一次互相平行，当，两灯发出的光束第二次互相平行，进而求解； （3）分，，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：①设灯转动秒， 则，； ②灯A发出的光束从开始顺时针旋转至时，则（秒）， 灯B发出的光束从开始顺时针旋转至时，则（秒） 当，两灯发出的光束第一次互相平行时，如图， 则， ∴， 又， ， ， ， ； 当，两灯发出的光束第二次互相平行时，如图，此时从折回， 此时，， ∵， ∴， 又， ， ∴， ， ； （3）解：如图，当时， ∵点O恰好是与的角平分线交点， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， 同理，得，解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $