暑假专项作业：整式的乘除 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦整式乘除全体系，以“概念-公式-应用”逻辑链串联基础运算、公式辨析及综合拓展，融合配方法、数形结合等解题策略，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-4、填空11-13、解答17|科学记数法转化、幂的运算法则|从数与式的概念生成到基本运算规则推导| |公式应用|单选5-7、填空14-15、解答18-19|平方差/完全平方公式正向应用与逆用|公式推导→结构辨析→化简求值递进| |综合拓展|单选8-10、填空16、解答20-22|配方法、新定义转化、规律探究|跨情境问题（面积/新运算）→数学建模→逻辑推理|

暑假专项作业：整式的乘除-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．随着人们对环境的重视，新能源材料在环境治理方面的潜能仍需开发．石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，厚度约为．数据0.0000000084用科学记数法表示为（　　）． A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5．多项式展开后不含的一次项，则为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c三者之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 7．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 8．对于任意的实数m，n，如果满足，那么称这一对数m，n为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．36 D．169 9．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．小明在研究关于字母的代数式时发现，记代数式的值为，可通过与的关系对代数式进行分类，分类如下： 的一类式：对于的每一个取值，都有； 的二类式：对于的每一个取值，都有； 的三类式：既存在的值，使得，又存在的值，使得． 下列说法：①是的一类式；②是的三类式；③若关于的代数式与的和是的一类式，则，；④对于，，代数式既是的二类式，又是的三类式．其中正确的序号是（） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 11．若，，则_______． 12．若有理数、满足，则的值是_______． 13．2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 14．已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 15．若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 16．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：的值是______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，．请比较与的大小关系，并说明理由． 20．如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 21．把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 22．用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1：______________； 代数式2：______________； (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________； (3)利用（2）中得出的结论解决下面的问题： ①若，，则的值为___________； ②如图2，点是线段上的一点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形，若，两正方形的面积和．求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：整式的乘除-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B B B A D B 1．C 【详解】解：科学记数法的标准形式为（，为整数）， 对于，将小数点向右移动位得到， 因此． 2．C 【分析】根据零指数幂的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 3．B 【分析】根据同类项定义，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的法则对各选项逐一判断即可. 【详解】选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误. 选项B：∵根据同底数幂乘法法则，，∴B正确. 选项C：∵根据幂的乘方法则，，∴C错误. 选项D：∵根据积的乘方法则，，∴D错误. 4．C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征即可使用平方差公式计算． 【详解】解：A选项中，与不是互为相反数，不符合条件，不能用平方差公式计算． B选项，两项都完全相同，不符合条件，不能用平方差公式计算． C选项中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算． D选项，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算． 5．B 【分析】先展开原式，合并同类项，由展开后不含的一次项可知一次项系数为，列出方程解答即可求解． 【详解】解：， ∵展开后不含的一次项， ∴， 解得． 6．B 【分析】根据已知幂的值的关系，推导出指数间的关系，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 整理得， 又∵ ， ∴指数相等，即， 化简得 ． 7．B 【分析】根据题意可得，，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 8．A 【分析】先根据“相随数对”的定义，根据等式得到，再将所求代数式因式分解为完全平方形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 是“相随数对” ∴ 满足 ∴ ∴ 移项合并同类项得 ∴． 9．D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 10．B 【分析】先明确三类代数式的定义，逐个验证四个说法的正误，最终得到正确选项，用到绝对值的性质和整式加法运算． 【详解】根据定义：对任意，恒有为的一类式； 恒有为的二类式； 既存在使，又存在使为的三类式. ①对于，对任意成立， 是的一类式，①正确. ②对于，，时，对任意成立， 是的二类式，不是三类式，②错误. ③两个代数式的和为：， 和是的一类式，则对任意，， 提取公因式得， ， 对任意成立，可得，即， 此时，解得或， ③错误. ④已知，，代数式：对来说，若， ， ，，整理得，与矛盾， 对所有都有，故是的二类式； 对来说，取，代入得，存在使； 取，代入得，存在使，故是的三类式； ④正确． 11．3 【分析】逆用同底数幂的除法法则，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 12． 【分析】设，则原方程变形为，利用平方差公式和乘方的意义解方程即可． 【详解】解：设，则原方程变形为， 根据平方差公式展开得， 移项整理得， ， 即． 13． 【详解】解：. 14．②③/③② 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 15．9 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果不含x项得到，再进行变形即可． 【详解】解： ∵结果不含x项， ∴， ∴． 16． 【分析】先观察给出的等式，归纳出一般规律：因为等式左边是与一个多项式相乘，右边是，所以可总结出的规律．分析待求式子的结构，待求式是正负交替的幂次和，可将其转化为符合上述规律的形式；将替换为，利用类似的规律进行转化．利用归纳出的规律，将待求式与规律式子对应，通过变形构造出可以直接套用规律的形式，进而求解． 【详解】解：根据题干给出的式子，归纳得到通用规律： ， 设， 观察符号规律，可将改写为：， 将，代入规律公式： ， 化简计算： ， ∴． 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 18．， 【分析】先根据整式的运算法则化简，再根据，计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 19．解：， 理由如下： 根据矩形的面积公式可得： ，， ， 为正整数， ， ， ， ． 【分析】根据矩形的面积公式把、用含的代数式表示出来，利用整式的加减可得，因为为正整数，所以，所以可得:． 【详解】略 20．(1)4， (2)20 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1)，3 (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可； （2）利用完全平方公式变形，再根据偶次方的性质即可解答； （3）利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， 故当时，取最小值0，最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， 当且仅当且时，等式成立， 解得， ∴ ． 22．(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）①由（2）所得，可得，代入数值即可求得结果； ②设，，得，，则，进一步计算即可得结论． 【详解】（1）解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为 代数式1：； 代数式2：； （2）解：从（1）中结论可得． （3）解：①∵，，， ∴， ∴； ②设，，得，， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $