暑假作业03 两条直线的位置关系（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 暑假专项训练聚焦“两条直线的位置关系”，以“概念-性质-应用”逻辑链整合10个知识点与9类题型，提炼方程法、作图口诀等实用技巧，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|10个核心概念|方程法解余补角问题、“一落二移三画”作图口诀、同(等)角余(补)角相等推理依据|从位置关系（平行/相交）到角的关系（对顶角/余补角）再到特殊相交（垂线）的递进| |题型突破|62道分层习题|位置关系辨析用定义判断、垂线应用结合垂线段最短性质、综合题渗透方程思想|基础辨析→作图操作→性质应用→综合计算的能力层级提升|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 两条直线的位置关系 【知识点1 平面内两直线的位置关系】 在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系： 平行： 永不相交的两条直线。 相交： 只有一个公共点的两条直线。 【知识点2 对顶角】 两条直线相交形成的4个角中，没有公共边，且两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角。 对顶角相等 结论： 只要两个角是对顶角，它们的度数就一定相等。 【知识点3 一个角的余角】 定义： 如果两个角的和是 （直角），这两个角互为余角。 计算方法： 一个角  的余角 =  。 【知识点4一个角的补角】 定义： 如果两个角的和是 （平角），这两个角互为补角。 计算方法： 一个角  的补角 =  。 例子：  的补角是 。 【知识点5 与余角、补角有关的计算】 常见题型： “一个角的补角是它余角的3倍，求这个角。” 解法： 设这个角为  ，则补角是  ，余角是  。列方程： ，解出  即可。 【知识点6 同(等)角的余(补)角相等的应用】 这是证明角相等的重要理论依据。 同角的余角相等： 比如  ，  ，那么  。 等角的补角相等： 如果  ，且  是  的补角，  是  的补角，那么  。 【知识点7 垂线的定义理解】 定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（ ）时，这两条直线互相垂直。 符号： 记作  。 关键点： 只要有一个角是90度，其他三个角自动也是90度。 【知识点8 画垂线】 工具： 通常使用三角板或量角器。 操作口诀： “一落”（直角边落在直线上）、“二移”（沿直线移动直到另一直角边经过已知点）、“三画”（沿直角边画线）。 性质： 过一点（无论是在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。 【知识点9 垂线段最短】 这是一个关于距离的性质（公理）。 内容： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 生活实例： 跳远成绩测量、修路要把路修得最短直达河边等，利用的都是这个原理。 【知识点10 点到直线的距离】 定义： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 易错点： 距离是一个数值（长度），而不是那条线段本身。必须强调是“垂线段的长度”。 【题型1 两条直线的位置关系的辨析】 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 2．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 3．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．几何语言的理解与运用 (1)读下列语句，并分别画出图形 ①直线l经过点A、B、C，并且点C在点A和点B之间； ②点P是直线a外一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q； (2)请用几何语言描述下面两条直线的位置关系： 【题型2 垂线的作图问题】 5．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C． D． 6．如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A．B．C． D． 7．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【题型3 对顶角的应用】 8．下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为，你认为小明测量的依据是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．三角形内角和等于 11．如图，剪刀开合时，当增大时，的度数（     ） A．增大 B．增大 C．减小 D．不变 12．如图，直线相交于点O，． (1)请写出图中的对顶角为______，的余角为______； (2)若，求的度数． 【题型4 垂线与垂线段最短的应用】 13．如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 14．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（   ） A．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近：两点之间，线段最短 B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线 C．测量跳远成绩应用的数学原理是：垂线段最短 D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15．如图，过点向河流一侧直线修排水沟，要使排水沟最短，工人师傅的设计是过点向河岸作垂线，垂足为，沿修排水沟即可，则这一设计依据的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．过一点可以作无数条直线 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 16．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 17．如图，，，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 18．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10 C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8 【题型5 垂线的应用】 19．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 21．如图所示的是地球截面图，其中分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线M的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是_______． 22．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 23．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【题型6 垂线的作图问题】 24．如图，已知三角形中，则表示点到直线的距离是线段_________的长度． 25．如图，已知直线和直线外一点C．（保留作图痕迹，不写作法） (1)尺规作图：过点C作直线； (2)用三角尺过点C画直线于点E． 26．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 27．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 28．如图，国道a上有一出口A，现计划在附近公路b旁建一个加油站B，欲使出口A到加油站B的距离最短，应沿怎样的线路施工铺路？画出施工线路，并说明这样施工的理由． 【题型7 余角的有关应用】 29．若一个角等于它的余角，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 30．已知，与互余，则______． 31．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A．B．C． D． 32．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某市正午太阳光线与水平面的夹角为，若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为______． 33．已知与互余，与互补，若，则的度数是______． 34．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个余角； (2)在图②中射线的右侧画，使． 35．直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，的余角有_______．（填写所有符合情况的角） (2)若，求的度数． 【题型8 补角的有关应用】 36．若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 37．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 38．一个角的补角比它大，则这个角的度数为_______°． 39．已知的余角是，的补角是，则_____（填“”，“”或“”）． 40．如图，，过O点作射线． (1)请画出的平分线； (2)如果，射线、分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线表示_________方向； (3)在（1）的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，并说明理由． 41．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 42．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． 【题型9 同角（等角）的余（补）角相等】 43．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A．B．C． D． 44．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 46．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 47．如图1，和都是直角． (1)如果，那么________； (2)找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； (3)在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 48．如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 49．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 50．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 51．如图，水平放置的长方体容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．在液面上方，光线与竖直方向的夹角，折射后的光线与竖线的夹角，则折射前与折射后的光线形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 52．已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 53．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 54．如图1，点依次在直线上；如图2，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当值为秒时，求的度数； (2)当为何值时，射线与射线重合； (3)试说明当值秒时，射线恰好平分； (4)当时，求的值． 55．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 57．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 58．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 59．已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 60．完成以下问题 (1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长． (2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数． (3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数． 61．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 62．已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． 试卷第4页，共45页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 两条直线的位置关系 【知识点1 平面内两直线的位置关系】 在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系： 平行： 永不相交的两条直线。 相交： 只有一个公共点的两条直线。 【知识点2 对顶角】 两条直线相交形成的4个角中，没有公共边，且两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角。 对顶角相等 结论： 只要两个角是对顶角，它们的度数就一定相等。 【知识点3 一个角的余角】 定义： 如果两个角的和是 （直角），这两个角互为余角。 计算方法： 一个角  的余角 =  。 【知识点4一个角的补角】 定义： 如果两个角的和是 （平角），这两个角互为补角。 计算方法： 一个角  的补角 =  。 例子：  的补角是 。 【知识点5 与余角、补角有关的计算】 常见题型： “一个角的补角是它余角的3倍，求这个角。” 解法： 设这个角为  ，则补角是  ，余角是  。列方程： ，解出  即可。 【知识点6 同(等)角的余(补)角相等的应用】 这是证明角相等的重要理论依据。 同角的余角相等： 比如  ，  ，那么  。 等角的补角相等： 如果  ，且  是  的补角，  是  的补角，那么  。 【知识点7 垂线的定义理解】 定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（ ）时，这两条直线互相垂直。 符号： 记作  。 关键点： 只要有一个角是90度，其他三个角自动也是90度。 【知识点8 画垂线】 工具： 通常使用三角板或量角器。 操作口诀： “一落”（直角边落在直线上）、“二移”（沿直线移动直到另一直角边经过已知点）、“三画”（沿直角边画线）。 性质： 过一点（无论是在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。 【知识点9 垂线段最短】 这是一个关于距离的性质（公理）。 内容： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 生活实例： 跳远成绩测量、修路要把路修得最短直达河边等，利用的都是这个原理。 【知识点10 点到直线的距离】 定义： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 易错点： 距离是一个数值（长度），而不是那条线段本身。必须强调是“垂线段的长度”。 【题型1 两条直线的位置关系的辨析】 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 2．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】B 【详解】解：如图， 直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是． 3．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 4．几何语言的理解与运用 (1)读下列语句，并分别画出图形 ①直线l经过点A、B、C，并且点C在点A和点B之间； ②点P是直线a外一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q； (2)请用几何语言描述下面两条直线的位置关系： 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)直线和直线交于点（或：直线和直线交于点） 【分析】本题考查了相交直线，画直线等知识点． （1）①根据直线的定义即可作图；②根据相交直线的定义即可作图； （2）根据相交直线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，即为所求； （2）解：直线和直线交于点（或：直线和直线交于点） 【题型2 垂线的作图问题】 5．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 6．如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：由垂线的定义可知，只有C选项中的画图正确，符合题意． 7．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【详解】解：由作图可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型3 对顶角的应用】 8．下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得的，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合． 9．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可知， ． 10．如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为，你认为小明测量的依据是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．三角形内角和等于 【答案】B 【详解】解：根据题意可知：小明测量的依据是对顶角相等． 11．如图，剪刀开合时，当增大时，的度数（     ） A．增大 B．增大 C．减小 D．不变 【答案】B 【详解】解：与是对顶角， ， 当增大时，的度数也增大． 12．如图，直线相交于点O，． (1)请写出图中的对顶角为______，的余角为______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角与余角的定义可得答案； （2）求解，结合，结合角的和差关系进一步可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 垂线与垂线段最短的应用】 13．如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短． ∴居民选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短． 14．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（   ） A．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近：两点之间，线段最短 B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线 C．测量跳远成绩应用的数学原理是：垂线段最短 D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据相应的几何知识，解答即可； 【详解】解：∵ 选项A 从家到学校走直路更近，对应原理“两点之间，线段最短”，解释正确； 选项B 两颗钉子固定木条，对应原理“两点确定一条直线”，解释正确； 选项C 测量跳远成绩是测量落点到起跳线的最短距离，对应原理“垂线段最短”，解释正确； 选项D 从河向村庄引最短水渠，原理应为“垂线段最短”，不是“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，解释错误； 15．如图，过点向河流一侧直线修排水沟，要使排水沟最短，工人师傅的设计是过点向河岸作垂线，垂足为，沿修排水沟即可，则这一设计依据的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．过一点可以作无数条直线 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：这一设计依据的数学知识是垂线段最短． 16．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【分析】根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一性质，可知点 到直线的距离应小于或等于与中的较小值，据此判断即可． 【详解】解：设点 到直线 的距离为． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 且 ． ，， ． 17．如图，，，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长． 18．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10 C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8 【答案】A 【详解】解：A、点到直线的距离为线段的长，即为6，故说法正确； B、点到直线的距离为线段的长，即为8，故说法不正确； C、点到的距离不等于6，不符合点到直线的距离为垂线段的长，故说法不正确； D、点到的距离为线段的长，即为10，故说法不正确． 【题型5 垂线的应用】 19．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 20．汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合已知条件求出，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， 且 ， ， 21．如图所示的是地球截面图，其中分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线M的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是_______． 【答案】 【分析】由垂直的定义得，再根据平角的定义求解． 【详解】解：由题意知， ， 又， ． 22．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 23．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) 【分析】（1）由垂直的定义，依据同角的余角相等即可得到答案； （2）由已知条件和平角定义列方程求解得到，再结合对顶角相等求出，最后由垂直的定义，数形结合表示出要求的角度即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则，依据是同角的余角相等； （2）解：，， ， 则， ， ， ． 【题型6 垂线的作图问题】 24．如图，已知三角形中，则表示点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】 【详解】解：由点到直线的距离定义可知，点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 因为， 所以， 所以线段的长度表示点A到直线的距离． 25．如图，已知直线和直线外一点C．（保留作图痕迹，不写作法） (1)尺规作图：过点C作直线； (2)用三角尺过点C画直线于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求 26．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图，、即为所求； （2）解：①线段的长度表示点P到直线的距离； ②因为垂线段最短，则． 27．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 28．如图，国道a上有一出口A，现计划在附近公路b旁建一个加油站B，欲使出口A到加油站B的距离最短，应沿怎样的线路施工铺路？画出施工线路，并说明这样施工的理由． 【答案】图见解析，理由：垂线段最短 【详解】解：如图所示． 理由：垂线段最短． 【题型7 余角的有关应用】 29．若一个角等于它的余角，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出这个角的度数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据余角的定义，它的余角为， ∵这个角等于它的余角， ∴， 解得， 即这个角的度数为． 30．已知，与互余，则______． 【答案】 【详解】解：∵，与互余， ∴． 31．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 32．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某市正午太阳光线与水平面的夹角为，若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义以及角的和差求解． 【详解】解：∵太阳光线与集热板垂直，， ∴． 33．已知与互余，与互补，若，则的度数是______． 【答案】/140度 【分析】本题考查与余角、补角有关的计算，先根据互余的两个角的和为，求出的度数，再根据互补的两个角的和为计算即可得解． 【详解】解：与互余，， ， 与互补， ． 34．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个余角； (2)在图②中射线的右侧画，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图题，尺规作一个角等于已知角，求一个角的余角，解题关键是掌握上述知识点． （1）通过作或的垂线即可； （2）为的正方形的对角线，过点找到类似的线即可． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 所以与即为所求作； （2）如图，点、、都满足要求． 35．直线相交于点O，且，平分． (1)如图1，的余角有_______．（填写所有符合情况的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余角的定义求解即可； （2）设，，利用角平分线的定义得到，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角有，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，， 则， ∴， ∴， ∴． 【题型8 补角的有关应用】 36．若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴ 这个角的度数为 ． 37．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 【答案】120 【分析】根据补角先计算出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∴， ∵该零件每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 38．一个角的补角比它大，则这个角的度数为_______°． 【答案】50 【分析】本题考查了补角的定义，设所求的角为度，则它的补角为度，根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为度，则它的补角为度， 由题意，得： ， 解得：． 39．已知的余角是，的补角是，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义及度分秒的计算，解题的关键是根据余角和补角的定义分别求出和的度数，再进行大小比较． 【详解】解： ∵；． ． 故答案为：． 40．如图，，过O点作射线． (1)请画出的平分线； (2)如果，射线、分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线表示_________方向； (3)在（1）的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)北偏西 (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义画图即可； （2）过点O作，根据垂直的定义以及角平分线的定义求出与，然后求出，然后根据方位角的定义解答即可； （3）利用平角的定义可得，利用角平分线的定义求出，然后求出，从而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，过点O作， ∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴射线表示北偏西方向； （3）解：∵ ∴，即与互补； ∵平分 ∴ ∴ ∴，即与互补， 综上，与互补的角有，． 41．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【答案】(1)151； (2)相等的角有，；当时，它们仍然相等； (3)的度数会越来越大． 【分析】（1）利用直角的度数减去的度数求出的度数，再将与直角的度数相加，通过角的和差求出的度数； （2）先根据直角的定义直接得到与相等，再利用角的和差得出和均为的余角，结合同角的余角相等的性质，判断即使的度数改变，这些角仍保持相等； （3）先通过角的和差推导出与的数量关系式，再根据该关系式分析当度数越来越小时，的度数变化情况． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：相等的角有，， ∵， ∴， ∴， 即使，和仍然是的余角， 根据同角的余角相等，它们仍然相等，和始终是直角，也仍然相等； （3）解：由， 可知当的度数越来越小时，的度数会越来越大． 42．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． 【答案】 【分析】余角的定义可求出，结合角平分线的定义可得，由平角的定义可得的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵与互为余角， ∴ ．                                              ∵， ∴，                                          又∵是的平分线， ∴， ∵点是直线上一点， ∴ ， ∴，                                          ∴． 【题型9 同角（等角）的余（补）角相等】 43．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形分别判断 和的数量关系，找出不一定相等的选项即可． 【详解】解：A．由平角的定义可知，即 ，和互余，不一定相等，故本选项符合题意； B．由图可知和均为中间公共角的余角，根据同角的余角相等，可得 ，故本选项不合题意； C．由图可知 和均为 角（或相同锐角）的补角，根据等角的补角相等，可得 ，故本选项不合题意； D．由图可知 和为对顶角，根据对顶角相等，可得 ，故本选项不合题意． 44．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 45．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．与相等的角至少有3个 C．一定平分 D． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故A选项结论正确，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角至少有3个， 故B选项结论正确，不符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线， 故C选项结论错误，符合题意； ，， ， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键． 46．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补或与互补，理由见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 47．如图1，和都是直角． (1)如果，那么________； (2)找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； (3)在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 【答案】(1) (2)；如果，它们还会相等，理由见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的概念、尺规作图，解题的关键是熟练掌握相关知识点的应用． （1）利用余角的定义可求得，从而可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）图1中． 如果，它们还会相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 如果，它们仍相等； （3）如图， 以为边画，再以为边画， 由同角的余角相等得． 48．如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)成立，证明见解析 (3)与是互补关系，证明见解析 (4)成立，证明见解析 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． （3）解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． （4）解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 49．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 50．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，互余和互补，解题的关键是掌握以上定义． 根据角的和差以及互余，互补的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵，，且， ∴， 故①正确； ②由量角器可得，， 当射线经过刻度线165时，经过刻度线145， ∴，， 此时，， 与不互补， 故②错误； ③如图所示， 由②得，， ∴， ∵射线经过刻度线90， ∴，， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角， 故③正确； 综上，正确的选项有①③， 故选：C． 51．如图，水平放置的长方体容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．在液面上方，光线与竖直方向的夹角，折射后的光线与竖线的夹角，则折射前与折射后的光线形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∵， ∴， ∴． 52．已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 【答案】C 【详解】解：A、∵与互余， ∴ ∵是锐角， ∴也一定是锐角，说法正确，不符合题意； B、∵ ∴ ∵与互补， ∴ ∴ ∴，说法正确，不符合题意； C、∵是的补角，是的补角， ∴， ∴，说法错误，符合题意； D、∵是的余角，是的补角 ∴， ∴，说法正确，不符合题意． 53．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据定义，分类画图求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 54．如图1，点依次在直线上；如图2，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当值为秒时，求的度数； (2)当为何值时，射线与射线重合； (3)试说明当值秒时，射线恰好平分； (4)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)见解析； (4)、或 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义、一元一次方程在几何问题中的应用，同时涉及几何旋转问题，核心考查分类讨论的数学思想；关键是根据射线旋转速度和时间准确表示出相关角的度数，结合角的数量关系建立一元一次方程求解． （1）根据旋转速度计算秒时、分别转过的角度，再利用平角为，通过角的和差关系求出的度数． （2）分析射线、的两次重合情况，第一次重合时二者转过的角度和为，第二次重合时角度和为，分别据此列一元一次方程求解即可． （3）先计算秒时和的度数，再结合平角求出，验证为的一半，根据角平分线的定义完成证明． （4）是分与重合前、重合后在直线同一侧、重合后在直线两侧三种情况，根据不同位置下的角的和差关系分别列一元一次方程，求解并验证解在取值范围内即可． 【详解】（1）解：∵射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转， ∴秒后，顺时针转过，逆时针转过． 当时，，， ∴． （2）解：当射线与第一次重合时，， 列方程得：，解得， 当射线与第二次重合时，， 列方程得：，解得， ∴当或时，射线与射线重合； （3）解：当时，； ， ； ， 射线恰好平分； （4）解：分两种情况讨论： ①当与重合前，， ， 则，解得； ②当与重合后，在直线同一侧时，， ，， 则，解得； ③当与重合后，在直线两侧时，， ， 则，解得． 综上所述，当时，、或． 55．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． 56．在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】先分别求出4条直线交点最多的个数m和最少的个数n，再计算即可得到结果． 【详解】如下图所示，要使得交点最多，则两两相交且无公共交点，此时有6个交点，即， 如下图所示，要使得交点最少，则两两平行，此时没有交点，即， ． 57．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 58．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答； （2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图： ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 59．已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)，理由见详解 【分析】本题考查了角的和差、角平分线的定义及余角的概念． （1）通过与的关系求出，进而求出； （2）利用角平分线性质和角的和差关系进行推导； （3）根据余角的性质得到与、与的关系，再结合角的和差关系探究三者数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 60．完成以下问题 (1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长． (2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数． (3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数． 【答案】(1)3或7 (2) (3) 【分析】（1）先根据中点的定义求出，再分两种情况根据线段的和差得出答案； （2）先根据题意得出，，再根据得出关于的方程，求出解即可； （3）根据互余的定义得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：因为，且点D是的中点， 所以． 当点C在上时，； 当点C在上时，， 所以线段的长为3或7； （2）解：因为， 所以，． 因为， 所以， 解得； （3）解：因为与互余， 所以， 所以． 61．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 62．已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． 【答案】(1)；和，和；对顶角相等 (2) (3)或． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义； （1）根据对顶角相等即可得解； （2）设，根据平分，表示出，再计算，即可求解； （3）结合（2）中的关系列方程即可求出x的值，再得出，根据在内部，将分成两部分，得出或，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：根据同角的补角相等可得图1中有2对相等的角（平角除外）分别是:和，和；判断的依据是对顶角相等 故答案为：2，和，和；判断的依据是对顶角相等； （2）设°，则 ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）∵ ∴ 由（2）可知： ， ∴ 解得 ∴，， ∵平分， ∴ ∴ ∵在内部，将分成两部分， ∴或 ∴或 ∴或． 试卷第4页，共45页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $