精品解析：福建宁德市2025-2026学年第二学期八年级期末考试数学试题

2025−2026学年第二学期八年级期末考试 数学试题 （满分100分；考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可，解题关键是掌握不等式的性质规则，准确判断不等号方向． 【详解】解： 对于A选项：∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，该选项正确，符合题意； 对于B选项：∵，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，∴，原选项错误，不符合题意； 对于C选项：∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，原选项错误，不符合题意； 对于D选项：∵，移项可得，原选项错误，不符合题意． 2. 我市是畲族的主要聚居地，畲族服饰纹样承载着民族特色文化，不少纹样既有美好寓意，又具备鲜明的几何特征．下列畲族常见服饰纹样中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形故选项C不符合题意； D. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的取值范围，利用分式有意义的条件：分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 4. 在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 5. 如图，将四边形沿方向平移得到四边形．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， 故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意． 6. 如图所示的大矩形，由个边长为的正方形，个边长为的正方形和个宽为，长为的长方形拼接而成．利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的面积的两种表达方式，进行求解即可． 【详解】解：图中大长方形的长为，宽为，面积可以表示为： ； 图中大长方形可以看作三个长方形和三个正方形的面积和，则大长方形面积可以表示为： ， ∴利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是： ． 7. 已知平行四边形，，则下列条件中，能判定四边形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是菱形． 、、均为菱形的性质． 若，则菱形为正方形． 即能判定四边形为正方形的是C． 8. 数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点D，则，再观察各选项即可得出答案． 【详解】解：要使，则作的垂直平分线交于点D即可，观察各选项，只有B选项符合． 9. 为普及科技知识，学校举办人工智能知识竞赛．竞赛共道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分．小明在本次测试中获得优秀（80分或80分以上为优秀）若设他答对了道题，则下列不等式中满足题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设他答对了道题，则他答错或不答道题， 由题意可列不等式为． 10. 已知直线经过点，与直线（）相交于点．则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，不等式的解集是直线落在直线下方时对应x的取值范围，结合交点坐标和函数增减性即可求解． 【详解】解：∵直线经过和交点， ∴将点和点代入直线中得， ， 解得：， ∴直线， ∵， ∴对于直线，y随增大而增大； 又∵中， ∴随增大而减小， ∵两直线交点为， 又∵不等式表示的函数值小于的函数值， 结合函数增减性可得，当时，落在下方，满足不等式， ∴不等式的解集为． 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．若，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线， ∴． 12. 一个一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出该不等式的一个整数解：________． 【答案】（大于或等于的整数均可） 【解析】 【分析】根据数轴写出不等式的解集是，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：由数轴可知， 不等式的整数解是（大于或等于的整数均可）． 13. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0，即可. 【详解】去分母得：， 解得：， 检验：， ∴原方程的解为x=5. 故答案为：. 【点睛】本题考查解分式方程，注意结果要代入分母，检验分母是否为0. 14. 中国传统建筑中的冰裂纹窗格以榫卯木雕构成几何纹样，兼具实用与美学价值．图是某冰裂纹窗格的实物图，其整体图案主要由正六边形与正三角形构成．图是它的局部示意图，图中的大小是________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据正多边形的外角的性质求解即可． 【详解】解：根据图形得：为正六边形的一个外角， ∴． 15. 学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图．小明按照该流程图计算的过程中，正确的路径是：________．（填写序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】按照异分母分式加减的步骤进行选择即可． 【详解】解：， 由计算知，正确的路径：是先通分，化为同分母分式的加减，再按照同分母分式的加减进行，最后得到结果，即经过②③完成计算． 16. 如图，在梯形中，，，点是腰的中点，点在线段上，且．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过F作于P，延长、交于点H，先证明得到，，再证明四边形是矩形得到，，设，则，，则，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，过F作于P，延长、交于点H，则， ∵梯形中，，， ∴，， ∵点是腰的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共58分． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点是的中点，，．求证：． 【答案】证明：是的中点， 又， 在和中 ． 【解析】 【分析】利用直角三角形全等的判定证明即可． 【详解】略 19. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】； 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集是， 在数轴上表示解集略． 20. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】证明：四边形是平行四边形，  ，． ，  ，即 ． 又因为在上、在上，结合，可得 ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质，得到边与的关系：平行且相等，结合已知条件，通过线段的和差关系推导和的数量关系，同时根据与平行的性质得到和的位置关系．依据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，完成证明． 【详解】略 21. 物理学中，电功率表示电能消耗的快慢，其大小等于消耗的电能与所用的时间之比，公式为（为消耗的电能，单位：；为所用的时间，单位：；为电功率，单位：）．实验课上，老师要求利用电能表和秒表测量并计算两盏小型护眼灯的电功率．小明通过实验得到以下数据：A护眼灯消耗电能，B护眼灯消耗电能，B护眼灯的工作时间比A护眼灯多．已知A，B两盏护眼灯的电功率相同． （1）求A、B两盏护眼灯分别工作了多长时间； （2）求A护眼灯的电功率． 【答案】（1）A护眼灯工作时间为，B护眼灯工作时间为 （2）A护眼灯的功率为 【解析】 【分析】（1）设A护眼灯的工作时间为未知数，根据B的工作时间比A多，用含该未知数的式子表示B的工作时间．因为两灯电功率相同，根据，所以A的电能与时间的比值等于B的电能与时间的比值，据此列方程求解两灯的工作时间． （2）将已知A消耗的电能，求得的A的工作时间代入电功率公式​，计算A的电功率． 【小问1详解】 解：设A护眼灯的工作时间为，由题意得B护眼灯的工作时间为． ∵两灯电功率相等， ∴根据公式​，可得， 代入、， 得， 去分母，整理，得：， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． B的工作时间为：． 故A护眼灯工作时间为，B护眼灯工作时间为． 【小问2详解】 解：代入公式计算A的电功率：． 答：A护眼灯的功率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）将先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕点逆时针方向旋转，得到，画出； （3）也可以由绕点逆时针旋转得到，请直接写出旋转中心点的坐标． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的平移规律“横坐标右移加、纵坐标上移加”，分别计算、、三点平移后的坐标，描点后连接得到，同时写出的坐标． （2）利用绕原点逆时针旋转的坐标变换规则，计算、旋转后的对应点、的坐标，点坐标不变，描点后连接得到． （3）因为旋转中心到两组对应点的距离分别相等，所以旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，选取两组对应点，分别作其连线的垂直平分线，交点即为点，根据坐标系中的网格求解的坐标． 【小问1详解】 解：根据平移规律：点向右平移个单位、向上平移个单位后坐标变为． ∵， ∴平移后横坐标：，纵坐标：， ∴点． 画图：平移后可得，，顺次连接三个顶点即可得到． 【小问2详解】 解：∵点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律：点旋转后变为， ∴可得，，仍为， 顺次连接三个顶点即可得到． 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴的中点为，设为M， ∵， ∴的中点为，设为N， 把绕点M顺时针旋转，把绕点N顺时针旋转，点旋转后的对应点与点旋转后的对应点重合于一点，这点即为所求的点P，点P的坐标为． 理由：∵由作图知，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴点P即为所求． 23. 观察下列关于正数运算的式子： 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； （1）根据上述式子的特征，分别用含，的代数式表示：当________，________时，； （2）探究：对于正数，，当它们满足什么条件时，（1）中的规律一定成立．请说明理由； （3）小明发现：若是正数，是负数，（1）中的规律不一定成立，请你举一个不成立的例子． 【答案】（1）， （2）对于任意正数，满足时，上面的规律成立，理由如下： ， ，， ， 当时，， ∴当时，，即； （3），时 由（2）知，即． 【解析】 【分析】（1）根据算式特点得到规律，即可完成； （2）作差法判断即可． （3）取，时，由（2）得即可． 【小问1详解】 解：由算式特点得：当，时，则； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 24. 将一个多边形进行次折叠，若翻折后的图形恰好拼成一个无缝隙的矩形（矩形内每一点都有且只有上下两层），则称该矩形为折拼矩形，原多边形为该折拼矩形的折原图形． 例如，将菱形按图方式折叠，得到矩形，因为矩形内每一点都只有上下两层，所以矩形是折拼矩形，四边形是该矩形的折原图形． （1）如图，已知菱形是折拼矩形的折原图形，小明画出了其中一条折线（所在的直线是的垂直平分线），请在图中画出其余的折线；（折拼矩形的轮廓线用实线，其它的辅助线用虚线，并简要说明折线的作法） （2）在（1）的条件下，若折原图形的对角线交于点，且，．求折拼矩形的周长； （3）请分别构造个多边形（边数不小于），使它们是某个折拼矩形的折原图形，画出草图，简要说明画法．（画图要求：①所构造的个多边形的边数要不相等；②所构造的多边形的边数要尽可能多；③若构造的多边形是四边形，则该四边形不能是平行四边形） 【答案】（1）如图所示 作法是：所在的直线是的垂直平分线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据第一次折叠得到，，要得到矩形只需要再作一个垂直即可，根据取的垂直平分线即可； （2）先由菱形的性质和勾股定理得到，再根据折叠得到，根据求出，最后求折拼矩形的周长即可； （3）可以先画一个矩形，再在矩形内部添加几个点把矩形分成不同图形，最后把每个图形向矩形外翻折即可得到符合条件的多边形． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ，，，， ∴根据勾股定理，得， ， 由（1）得，四边形是矩形，是的垂直平分线， ， ∵， ∴， 解得， ∴折拼矩形的周长； 【小问3详解】 解：略 25. 如图，已知等边三角形，由线段绕点逆时针旋转（）得到．的延长线交延长线于点，与相交于点． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）延长交的延长线于点（如图）．请从以下个问题中选择一个问题作答．（选择第①题作答满分3分；选择第②题作答满分4分；若两题都答，只按第②题评分） ①写出线段，，之间的数量关系，并加以证明； ②写出线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）由题意可知，，， ． ， ， ． 在中，，， ， ． （3）选择①：． 证明：在线段上取一点，使，连接，如图， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ． ，， ， ， ． ， ． 选择②：． 证明：在线段上取一点，使，连接，如图， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ，， ． ，， ． 在中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据，可得，求解与的度数，由此可求解； （2）先求解，再由等边对等角可求解的度数，再由三角形内角和为即可证明； （3）选择①：添加辅助线，在线段上取一点，使，连接，证明与全等，由此可得，，再由边的关系证明即可； 选择②：添加辅助线，在线段取一点，使，连接，证明与全等，由此可得，，再由边的关系证明即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． 绕点逆时针旋转得到， ，， ，． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期八年级期末考试 数学试题 （满分100分；考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 我市是畲族的主要聚居地，畲族服饰纹样承载着民族特色文化，不少纹样既有美好寓意，又具备鲜明的几何特征．下列畲族常见服饰纹样中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将四边形沿方向平移得到四边形．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的大矩形，由个边长为的正方形，个边长为的正方形和个宽为，长为的长方形拼接而成．利用该图形的面积关系，可以验证的因式分解是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行四边形，，则下列条件中，能判定四边形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 8. 数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 为普及科技知识，学校举办人工智能知识竞赛．竞赛共道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分．小明在本次测试中获得优秀（80分或80分以上为优秀）若设他答对了道题，则下列不等式中满足题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过点，与直线（）相交于点．则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．若，则________． 12. 一个一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出该不等式的一个整数解：________． 13. 方程的解是_______． 14. 中国传统建筑中的冰裂纹窗格以榫卯木雕构成几何纹样，兼具实用与美学价值．图是某冰裂纹窗格的实物图，其整体图案主要由正六边形与正三角形构成．图是它的局部示意图，图中的大小是________． 15. 学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图．小明按照该流程图计算的过程中，正确的路径是：________．（填写序号） 16. 如图，在梯形中，，，点是腰的中点，点在线段上，且．若，，则________． 三、解答题：本题共9小题，共58分． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，点是的中点，，．求证：． 19. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 20. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 21. 物理学中，电功率表示电能消耗的快慢，其大小等于消耗的电能与所用的时间之比，公式为（为消耗的电能，单位：；为所用的时间，单位：；为电功率，单位：）．实验课上，老师要求利用电能表和秒表测量并计算两盏小型护眼灯的电功率．小明通过实验得到以下数据：A护眼灯消耗电能，B护眼灯消耗电能，B护眼灯的工作时间比A护眼灯多．已知A，B两盏护眼灯的电功率相同． （1）求A、B两盏护眼灯分别工作了多长时间； （2）求A护眼灯的电功率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）将先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕点逆时针方向旋转，得到，画出； （3）也可以由绕点逆时针旋转得到，请直接写出旋转中心点的坐标． 23. 观察下列关于正数运算的式子： 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； （1）根据上述式子的特征，分别用含，的代数式表示：当________，________时，； （2）探究：对于正数，，当它们满足什么条件时，（1）中的规律一定成立．请说明理由； （3）小明发现：若是正数，是负数，（1）中的规律不一定成立，请你举一个不成立的例子． 24. 将一个多边形进行次折叠，若翻折后的图形恰好拼成一个无缝隙的矩形（矩形内每一点都有且只有上下两层），则称该矩形为折拼矩形，原多边形为该折拼矩形的折原图形． 例如，将菱形按图方式折叠，得到矩形，因为矩形内每一点都只有上下两层，所以矩形是折拼矩形，四边形是该矩形的折原图形． （1）如图，已知菱形是折拼矩形的折原图形，小明画出了其中一条折线（所在的直线是的垂直平分线），请在图中画出其余的折线；（折拼矩形的轮廓线用实线，其它的辅助线用虚线，并简要说明折线的作法） （2）在（1）的条件下，若折原图形的对角线交于点，且，．求折拼矩形的周长； （3）请分别构造个多边形（边数不小于），使它们是某个折拼矩形的折原图形，画出草图，简要说明画法．（画图要求：①所构造的个多边形的边数要不相等；②所构造的多边形的边数要尽可能多；③若构造的多边形是四边形，则该四边形不能是平行四边形） 25. 如图，已知等边三角形，由线段绕点逆时针旋转（）得到．的延长线交延长线于点，与相交于点． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）延长交的延长线于点（如图）．请从以下个问题中选择一个问题作答．（选择第①题作答满分3分；选择第②题作答满分4分；若两题都答，只按第②题评分） ①写出线段，，之间的数量关系，并加以证明； ②写出线段，，之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $