精品解析：福建省宁德市2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题

宁德市2024-2025学年度第二学期期末八年级质量检测 数学试题 （满分100分；考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 56个民族56朵花，每个民族的服饰各有特色．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 为迎接校园运动会，小明设计了如图所示的彩旗，其中，点为 中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 5. 如图，在中， 的垂直平分线分别交于点D、E，连接 ，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿 方向平移，得到，若，则平移的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 9. 为了更好宣传宁德畲族历史文化，某商店推出多款文创产品，其中有木质浮雕冰箱贴、畲族IP卡通钥匙扣等．已知1个冰箱贴的售价比1个钥匙扣的售价高20元，用45元购买钥匙扣和105元购买冰箱贴的数量一样多．若设钥匙扣的单价为x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数的图象经过点．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是不等式的一个解 B. 当时，是不等式的一个解 C. 当时，不等式的解集为 D. 当时，不等式的解集为 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11. 如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在 外取一点C，找到的中点D，E，测得 的长为．则A，B两点间的距离是______． 12. 写出不等式的一个正整数解是______． 13. 用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________ . 14. 将一个含 角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 15. 如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 16. 如图，在中，，，，点E是 上一点，连接 ，，以 ，为边作，连接 ．若，则x的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共58分． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在中，点，在对角线 上，．求证：． 20. 化简：． 21. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某小区为加强生活垃圾分类处理，购进A型和B型两种垃圾桶共60个，已知购买一个A型垃圾桶需40元，一个B型垃圾桶需25元．为了保证总费用不超过2000元，则A型垃圾桶最多能购买多少个？ 22. 某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． （1）图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在 上，求线段 的长； （2）图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 23. 代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． （1）请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） （2）已知，且，求证：． 24. 【问题情景】 数学活动课上，老师给出如下探究问题： 已知，请利用直尺和圆规作一个菱形，要求如下： ①所作菱形的四边至少经过的两个顶点； ②所作菱形的面积等于的面积． 【实践探究】 （1）下列同学们提交的四种作图中，满足要求的是______；（填序号） （2）选择（1）中一种正确作图，根据作图痕迹，证明所作的图形是满足要求的菱形； 【拓展提升】 （3）请利用下面所给的平行四边形作出满足要求的菱形，且该菱形的边长与（1）中满足要求的菱形的边长不相等．（保留作图痕迹，不写作法） 25. 如图，已知等腰三角形， ，，点 在 上，将线段绕点 顺时针旋转得到 ，连接， ． （1）如图1，当时，完成下列问题： ①求证：； ②求证：与的面积相等； （2）如图2，当时，若点是中点，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市2024-2025学年度第二学期期末八年级质量检测 数学试题 （满分100分；考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 56个民族56朵花，每个民族的服饰各有特色．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握其概念是关键．中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形；根据概念进行分析即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一分析各选项即可．解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 为迎接校园运动会，小明设计了如图所示的彩旗，其中，点为 中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． 关键直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可解答． 【详解】解：∵，点为 中点， ∴． 故选B． 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解法，分别解两个不等式，再求它们的公共解集即可； 【详解】解： 解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； ∴不等式组的解集为 ， 故选：C． 5. 如图，在中， 的垂直平分线分别交于点D、E，连接 ，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得的长． 【详解】解：∵ 的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和公式，正多边形的内角，掌握知识点是解题的关键． 关键正多边形的内角和公式，正多边形的内角计算，即可解答． 【详解】解：正八边形每个内角为． 故选C． 7. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式；根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式，据此解答即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、不能化简，是最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，将沿 方向平移，得到，若，则平移的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，理解平移前后图形间的对应关系是解题的关键．由与之间位置关系，可知，根据，求出 的长度，即可得出平移的距离． 【详解】解：根据平移可知：， ∵， ∴， ∴平移的距离是3． 故选：B． 9. 为了更好宣传宁德畲族历史文化，某商店推出多款文创产品，其中有木质浮雕冰箱贴、畲族IP卡通钥匙扣等．已知1个冰箱贴的售价比1个钥匙扣的售价高20元，用45元购买钥匙扣和105元购买冰箱贴的数量一样多．若设钥匙扣的单价为x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，根据设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 设钥匙扣的单价为 元，则冰箱贴的单价为元．根据题意，用45元购买钥匙扣的数量与用105元购买冰箱贴的数量相等，由此建立方程． 【详解】解：设钥匙扣的单价为 元，则冰箱贴的单价为元．根据题意，得 故选：A． 10. 已知一次函数的图象经过点．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是不等式的一个解 B. 当时，是不等式的一个解 C. 当时，不等式的解集为 D. 当时，不等式的解集为 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的关系， 由点代入函数解析式得到，然后求出一次函数的图象经过点，然后根据题意分和两种情况，结合一次函数性质分析不等式解集． 【详解】解：将点代入，得， ∴． ∴， ∵当时，， ∴一次函数的图象经过点， 当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴不等式的解集为，故C错误； ∴不是不等式的一个解，故A错误； 当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为，故D错误； ∴是不等式的一个解，故B正确． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11. 如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在 外取一点C，找到的中点D，E，测得 的长为．则A，B两点间的距离是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴A，B两点间的距离是， 故答案为：18． 12. 写出不等式的一个正整数解是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：移项可得：， 合并同列项可得：， 系数化为1可得：， ∴不等式的一个正整数解是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________ . 【答案】AB=AC 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中， 第一步应是假设AB=AC． 故答案为：AB=AC． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14. 将一个含 角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质，由含 角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 作于 ，则， ∴，即直尺的宽度是， 故答案为：． 15. 如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解： 大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点E是上一点，连接 ，，以 ，为边作，连接 ．若，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，令 交 于点 ，作于，连接、，证明为等边三角形，得出，，求出，得出，，再求出，由题意可得，点 的位置是固定不变的，为 的中点，当点运动到点的位置时，最小为，此时，当点运动到点的位置时，最大为，此时，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，令 交 于点 ，作于，连接、， ， ∵在中，，，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由题意可得，点 的位置是固定不变的，为 的中点， ∴当点运动到点的位置时，最小为，此时， 当点运动到点的位置时，最大为，此时， ∴若，则x的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共58分． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解答的关键． （1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可求解； （2）提公因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出不等式的解集，再表示在数轴上即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 这个不等式的解集在数轴上表示为： 19. 如图，在中，点，在对角线 上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，即可推出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 20. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可. 【详解】解：原式． 21. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某小区为加强生活垃圾分类处理，购进A型和B型两种垃圾桶共60个，已知购买一个A型垃圾桶需40元，一个B型垃圾桶需25元．为了保证总费用不超过2000元，则A型垃圾桶最多能购买多少个？ 【答案】33个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买型垃圾桶 个，则购买型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，找准不等式关系是解此题的关键． 【详解】解：设购买型垃圾桶 个，则购买型垃圾桶个， 根据题意得， 解得， 为 整数， 的最大值为33． 答：最多能购买型垃圾桶33个． 22. 某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． （1）图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在 上，求线段 的长； （2）图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接 交 于点 ，由正方形的性质可得，，，．结合勾股定理可得．证明，得出．求出．进而可得．根据中心对称性，得，即可得解； （2）根据中心对称图形的定义以及正方形的性质，并结合三条线段表示字母“Z”，作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接 交 于点 ， 四边形是正方形，且， ，，，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 根据中心对称性，得， ． 【小问2详解】 解：将图案补充完整如图所示： 23. 代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． （1）请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） （2）已知，且，求证：． 【答案】（1）①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据不等式的性质补全过程即可； （2）将式子变形为，再结合以及等式的基本性质计算即可得解． 【小问1详解】 证明：， ，， ． 又， ．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变） ． ， ， 故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③； 【小问2详解】 证明：， ． ． ①． ， ． 等式①的两边同时除以，得， ． 24. 【问题情景】 数学活动课上，老师给出如下探究问题： 已知，请利用直尺和圆规作一个菱形，要求如下： ①所作菱形的四边至少经过的两个顶点； ②所作菱形的面积等于的面积． 【实践探究】 （1）下列同学们提交的四种作图中，满足要求的是______；（填序号） （2）选择（1）中一种正确作图，根据作图痕迹，证明所作的图形是满足要求的菱形； 【拓展提升】 （3）请利用下面所给的平行四边形作出满足要求的菱形，且该菱形的边长与（1）中满足要求的菱形的边长不相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）②；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给的要求逐项判断即可得解； （2）由作图可得，．由平行四边形的性质可得，．结合题意可得．从而可证明四边形是平行四边形．结合，得出是菱形．再结合菱形与的面积相等．以及由图可知菱形的四边经过的顶点， ，即可得证； （3）根据题干所给的要求作图即可． 【详解】（1）解：图①中所作菱形的面积不等于的面积，故不符合题意； 图②中所作菱形的面积等于的面积，且经过的两个顶点，故符合题意； 图③中所作菱形的面积不等于的面积，故不符合题意； 图④中所作的四边形不是菱形，故不符合题意； 故满足要求的是②； （2）证明：由作图可得，． 四边形是平行四边形， ，． ， ．即． ， ， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． 菱形与等底同高， 菱形与的面积相等． 由图可知菱形的四边经过的顶点， ， ∴菱形是满足要求的菱形． （3）解：作法一：作法如图2，图中所作的四边形就是求作的菱形． ； 作法二：作法如图3，图中所作的四边形就是求作的菱形， ． 25. 如图，已知等腰三角形， ，，点 在 上，将线段绕点 顺时针旋转得到 ，连接， ． （1）如图1，当时，完成下列问题： ①求证：； ②求证：与的面积相等； （2）如图2，当时，若点是中点，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由题意可得当时，，再由同角的余角相等即可得证；②过点作，交 的延长线于点．证明得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）延长至点，使得，连接．证明得出，．取 的中点 ，连接，由三角形中位线定理可得，从而可得，证明得出，从而即可得解． 【小问1详解】 解：①当时，， ． ，． ． ②如图1，过点作，交 的延长线于点． ． 由旋转得． 又， ． ． ，， ， ． 【小问2详解】 解：与的数量关系是． 如图2，延长至点，使得，连接． ． ， ． 线段绕点 顺时针旋转得到 ， ，． ． ． ． ，． 取 的中点 ，连接． ， 点是中点， ，， ． ， ． ． ． ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $