精品解析：江苏省宿迁市宿豫区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末八年级调研监测 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计下列事件发生的概率最大的是（ ） A. 水中捞月 B. 玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”获胜 C. 购买1张福利彩票中大奖 D. 抛一枚质地均匀的硬币1次，“正面朝上” 4. 分解因式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形； ②矩形的对角线互相垂直； ③菱形的四个角相等； ④等腰梯形的对角线相等． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 7. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子有意义，则的取值范围是______． 10. 关于“夏季冷饮市场上冰淇淋的质量”，这项调查适合_______（填写“普查”或“抽样调查”）． 11. 分解因式：___． 12. 计算_______． 13. 如图，在中，是边上一点，，，的延长线相交于点，，则的度数为_______． 14. 在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 15. 若，，则代数式的值为_______． 16. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______． 17. 在中，是边上的中线，，则的取值范围是_______________． 18. 对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知，，求的值． 22. 如图，在中，点，分别是边，的中点．求证：． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现多样化趋势．某研究学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生一周内使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，得到如下频数分布表和频数分布直方图： 组别 时间 频数 频率 A 8 0.16 B 12 0.24 C 15 D 0.20 E 5 0.10 根据提供的信息，回答下列问题： （1）在统计表中， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若按组别将数据信息绘制成扇形统计图，求组别“C”对应扇形的圆心角的度数； （4）该校八年级学生有500名，根据抽样调查结果，估计该校八年级学生一周内使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 25. 如图，矩形的四个内角的平分线分别相交于点，，，，四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论． 26. 已知，． （1）求的值； （2）试比较与的大小． 27. 甲、乙两厂装配同一种汽车，乙厂由于进行了技术创新，每天比甲厂多装配30辆． （1）若乙厂装配500辆所用时间与甲厂装配400辆所用时间相同，则甲厂每天可以装配这种汽车多少辆？ （2）若甲、乙两厂同时进行技术再创新，设甲厂每天装配辆（），乙厂每天比甲厂多装配20辆．甲厂装配900辆所用时间为（天），乙厂装配1000辆所用时间为（天），请你比较与的大小，并说明理由． 28. 如图1，点为线段的中点，分别以，为边在线段的同侧作正方形和，若将正方形绕点顺时针旋转，连接，，且相交于点． （1）如图2，判断与的关系，并说明理由； （2）如图3，连接，，求证：； （3）如图4，若平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末八年级调研监测 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义时分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义时， ∴ ∴． 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A：∵，∴A错误． 对选项B：∵，∴B错误． 对选项C：∵，∴C错误． 对选项D：∵，∴D正确． 3. 估计下列事件发生的概率最大的是（ ） A. 水中捞月 B. 玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”获胜 C. 购买1张福利彩票中大奖 D. 抛一枚质地均匀的硬币1次，“正面朝上” 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定各选项事件的概率大小，比较后即可得到结果． 【详解】解：选项A中“水中捞月”是不可能事件，； 选项B中，出“剪刀”获胜的所有等可能结果共种，获胜情况仅种， ； 选项C中，购买张福利彩票中大奖是极小概率事件，概率远小于； 选项D中，抛一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的概率； 比较可得，因此概率最大的是D． 4. 分解因式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，按照先提取公因式，再用平方差公式分解到每个因式无法继续分解的步骤计算即可． 【详解】解：． 5. 下列二次根式化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项二次根式化简，判断被开方数是否等于即可得到结果． 【详解】解：A、，能与合并，故此选项符合题意； B、，不能与合并，故此选项不符合题意； C、，不能与合并，故此选项不符合题意； D、，不能与合并，故此选项不符合题意； 6. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形； ②矩形的对角线互相垂直； ③菱形的四个角相等； ④等腰梯形的对角线相等． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：①根据中心对称图形的定义，平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，因此平行四边形是中心对称图形，①是真命题； ②矩形的对角线性质是相等且互相平分，并不一定互相垂直，因此②是假命题； ③菱形的性质是四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等，四个角并不相等，因此③是假命题； ④等腰梯形的重要性质就是对角线相等，因此④是真命题； 综上，真命题为①④． 7. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 8. 如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质计算周长和面积，利用菱形的对角线性质以及勾股定理判断结论③，利用轴对称性质（将军饮马模型）求的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的周长为，故①正确； 过点作于点 在中，， ∴ ∵，    菱形的面积，故②错误； 四边形是菱形， ∴，， ，故③错误； 延长至点，使得，连接 则点关于直线对称，则， ∴ ∴最小值为的长 ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ 的最小值为，故④正确 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件得到求解即可确定答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：式子有意义， ，解得， 故答案为：． 10. 关于“夏季冷饮市场上冰淇淋的质量”，这项调查适合_______（填写“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】普查适用于调查范围小，调查不具有破坏性，且便于全面实施的情况，当调查范围广，调查具有破坏性，全面普查的意义不大时，适合选择抽样调查，据此可得答案． 【详解】解：夏季冷饮市场上冰淇淋数量众多，且检测冰淇淋质量的过程具有破坏性，不适合开展全面普查，因此这项调查适合抽样调查． 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 12. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】按照同分母分式减法法则计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式 13. 如图，在中，是边上一点，，，的延长线相交于点，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质解题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知，，， 将各值代入公式 先计算各边的平方，得，， 计算 计算，可得 将结果代入公式，得 15. 若，，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出的值，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 综上所述，代数式的值为． 16. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______． 【答案】且． 【解析】 【分析】将看作常数，按照分式方程的解法求出，根据原方程的解为正数和原方程不能有增根，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的方程的解是正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，且． 17. 在中，是边上的中线，，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解． 【详解】如图，延长至点，使，连接，则 ∵ ∴ ∴ 中， ∴ ∴ 故答案为：． 18. 对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义得到，估算出的范围，结合为连续正整数得到的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，， ， 和为两个连续正整数， ，， ． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 22. 如图，在中，点，分别是边，的中点．求证：． 【答案】证明：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形及中点的定义得，，，，证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 24. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现多样化趋势．某研究学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生一周内使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，得到如下频数分布表和频数分布直方图： 组别 时间 频数 频率 A 8 0.16 B 12 0.24 C 15 D 0.20 E 5 0.10 根据提供的信息，回答下列问题： （1）在统计表中， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若按组别将数据信息绘制成扇形统计图，求组别“C”对应扇形的圆心角的度数； （4）该校八年级学生有500名，根据抽样调查结果，估计该校八年级学生一周内使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）， （2）频数分布直方图补充如下： （3） （4）300 【解析】 【分析】（1）根据A组的频数和频率求出样本容量，用样本容量减去A、B、C、E组的频数，即可得a的值，用15除以样本容量即可得b的值； （2）根据a的值补全频数分布直方图； （3）用组别“C”的频率乘以，即可得组别“C”对应扇形的圆心角的度数； （4）样本估计总体，用500乘以样本中“一周内使用大模型辅助学习的时间不少于”的频率即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：组别“C”对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计该校八年级学生一周内使用大模型辅助学习的时间不少于的学生有300名． 25. 如图，矩形的四个内角的平分线分别相交于点，，，，四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论． 【答案】四边形是正方形． 证明：∵矩形的四个内角的平分线分别相交于点，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和角平分线的定义推出，进而可证明四边形是矩形，再证明得，根据得，根据邻边相等的矩形是正方形即可得出结论． 【详解】略 26. 已知，． （1）求的值； （2）试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过代换、通分化简计算得到结果； （2）先化简目标式子，再利用完全平方的非负性比较大小． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 27. 甲、乙两厂装配同一种汽车，乙厂由于进行了技术创新，每天比甲厂多装配30辆． （1）若乙厂装配500辆所用时间与甲厂装配400辆所用时间相同，则甲厂每天可以装配这种汽车多少辆？ （2）若甲、乙两厂同时进行技术再创新，设甲厂每天装配辆（），乙厂每天比甲厂多装配20辆．甲厂装配900辆所用时间为（天），乙厂装配1000辆所用时间为（天），请你比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）甲厂每天可以装配这种汽车120辆. （2）当甲厂每天装配的汽车数量小于180辆时，；当甲厂每天装配的汽车数量等于180辆时，；当甲厂每天装配的汽车数量大于180辆时，： 理由：设甲厂技术创新后每天装配辆，其中，则乙厂每天装配辆. 可得，； ∴ ∵， ∴， 差的符号由分子决定： 当时，，，即； 当时，，，即； 当时，，，即． 【解析】 【分析】（1）利用工作时间=工作总量÷工作效率的关系，根据乙装配500辆与甲装配400辆用时相等的条件列分式方程求解即可； （2）设甲厂每天的装配量，分别表示出和，用作差法比较大小，根据差的符号分情况讨论得到结论． 【小问1详解】 解：设甲厂每天可以装配这种汽车辆，则乙厂每天装配辆. 根据题意列方程得：， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解， 答：甲厂每天可以装配这种汽车120辆； 【小问2详解】 略 28. 如图1，点为线段的中点，分别以，为边在线段的同侧作正方形和，若将正方形绕点顺时针旋转，连接，，且相交于点． （1）如图2，判断与的关系，并说明理由； （2）如图3，连接，，求证：； （3）如图4，若平分，求证：． 【答案】（1），，理由如下： ∵点为线段的中点， ∴， ∵和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过作交于，过作交直线于，则， ∵是正方形， ∴，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由点为线段的中点，得到，再结合和是正方形，得到，，即可证明，得到，，再根据三角形内角和证明即可得到； （2）过作交于，过作交直线于，则，证明，得到，则，再证明，得到，则，即可得到，； （3）是正方形，得到，再根据平分，得到，接着证明，得到，证明，得到，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $