精品解析：2026年江苏省扬州市江都区华君外国语学校中考三前模拟数学试卷

九年级数学试卷2026.06 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 随机事件发生的概率为0.5 B. “明天要降雨的概率为”，表示明天有半天时间在降雨 C. “连续2次投掷质地均匀的硬币，出现1次正面朝上”是必然事件 D. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 5. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与位似，点为位似中心，且，则与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 7. 黑点按如图所示的方式拼成图案，其中第①个图案中有3个小黑点，第②个图案中有8个小黑点，第③个图案中有15个小黑点，第④个图案中有24个小黑点……，按照这一规律，则第⑦个图案中小黑点的个数是（　　） A. 35 B. 42 C. 48 D. 63 8. 二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为__________ 10. 因式分解：__________． 11. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 12. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 13. 某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 14. 以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 15. 如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 16. 如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于点A、B，点C在x轴上，若，的面积是8，则k的值为_________． 17. 如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为________． 18. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 三．解答题（共10题，共96分） 19. 计算或化简： （1） （2） 20. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 21. 继去年以“草根赛事”火热出圈后，2026赛季的“苏超”如约重返江湖，对于“苏超”的成功，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为A．以城为名——强化归属感；B．社交传媒——网络玩爆梗；C．赛事升级——城市嘉年华；D．票根经济——驱文旅消费；E．商业赞助——引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）热议话题E所在扇形的圆心角度数为 °； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中热点话题是“社交传媒——网络玩爆梗”的大约有多少人？ 22. 如图是某校停车场一处相邻的四个空闲车位，分别记为A，B，C，D．现王老师、李老师准备把车停到车位上．（每辆车只占一个车位，每个车位仅停一辆车） （1）若王老师先选择车位，则停在“A”车位是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若王老师、李老师各自随机选择一个车位停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在相邻车位的概率． 23. 我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 24. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，连接，恰好经过对角线的中点O，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，则　　． 25. 如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 26. 如图，在中，，，，请用无刻度的直尺和圆规作图，并回答下列问题： （1）在图1的线段上作出点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，已知的中点D，在作出点E，使得，并求出此时的长（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； （3）在第（2）问的基础上，在图2线段上作出点P，使得（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）． 27. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动． 【尝试与感悟】 （1）是边长为8的等边三角形，E是边上的一点，且，小明以为边作等边，如图1．求的长； （2）是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，如图2．在点E从点A到点C的运动过程中，求点F所经过的路径长； 【拓展与延伸】 （3）如图3，四边形是菱形，，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，小明以为边作等边，连接．则的取值范围是 ． （4）如图4，是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，交边于点D，则的最大值为 ． 28. 在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： （1）如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． （2）如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． （3）如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷2026.06 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由于不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，则，故A正确； 选项B：由于不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故B错误； 选项C：由于不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，故C错误； 选项D：由于，移项得，故D错误． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解： 从正面看，可得选项C的图形． 3. 如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求解即可． 【详解】解∶ 该正八边形的内角和的度数为∶． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 随机事件发生的概率为0.5 B. “明天要降雨的概率为”，表示明天有半天时间在降雨 C. “连续2次投掷质地均匀的硬币，出现1次正面朝上”是必然事件 D. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念及事件类型的判断，正确掌握概率的意义是解题关键． 对每个选项逐一分析各即可． 【详解】A：随机事件的概率取值范围为0到1，但并非所有随机事件的概率均为0.5。例如，掷骰子出现点数为1的概率是，故A错误； B：概率为50%仅表示降雨的可能性为一半，而非时间上的“半天降雨”。概率反映可能性大小，与实际时间无关，故B错误； C：连续2次投掷硬币，可能的结果为（正正）、（正反）、（反正）、（反反），出现1次正面的概率为，但并非必然发生，故C错误； D：罚球投篮是否命中受多种因素影响，可能发生也可能不发生，属于随机事件，故D正确； 故选：D． 5. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转性质可知，，，，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知，，，， ∴， ∴． 6. 如图，与位似，点为位似中心，且，则与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与位似，得出，，证明，得出，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：， ， 与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， 即与的面积之比是． 7. 黑点按如图所示的方式拼成图案，其中第①个图案中有3个小黑点，第②个图案中有8个小黑点，第③个图案中有15个小黑点，第④个图案中有24个小黑点……，按照这一规律，则第⑦个图案中小黑点的个数是（　　） A. 35 B. 42 C. 48 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】分析每个图案小黑点的个数，找出共同的特点，总结规律，解决问题． 【详解】第①个图案中有个小黑点，第②个图案中有个小黑点，第③个图案中有个小黑点，第④个图案中有个小黑点，， 第个图案有个小黑点， 第⑦个图案中小黑点的个数是个． 8. 二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出对称轴为直线，故点为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得，，进而可判断出，因为恒为正，且，故必为负，必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，故点为顶点坐标． ， 二次函数的图象还过，两点， ，， 比较点和点到对称轴的距离， 即，且， ． ∵， 恒为正， ∵， 必为负，必为正， 故有， 解得：． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数． 【详解】解：将21500000用科学记数法表示为， 故答案为：． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且． 【解析】 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13. 某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在， 则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 14. 以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 15. 如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接交于点，由正方形的性质可知，，根据，可判定，然后利用相似三角形的性质得到，进而求得，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可． 【详解】解：如图，取格点F，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16. 如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于点A、B，点C在x轴上，若，的面积是8，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，先证明，从而可得，结合的面积得出，进而可得k的值． 【详解】解：由题意，过点作轴于点H， ∵正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、， ∴． ∵， ∴， ， ， 又该反比例函数图象在第二、四象限，即， ． 17. 如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点延长线交于点，由矩形的性质得，由平行线分线段成比例定理可得，得出的值，折叠的性质得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性质得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值． 【详解】解：如解图，过点作，垂足为点延长线交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形AMNB为矩形， ∴ ． 由折叠性质可得， ． ， ， ，即 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 18. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，设，，由，可得结合勾股定理可得，易证同理可得，结合可得由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，设， ， 如图，过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值为， 三．解答题（共10题，共96分） 19. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 21. 继去年以“草根赛事”火热出圈后，2026赛季的“苏超”如约重返江湖，对于“苏超”的成功，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为A．以城为名——强化归属感；B．社交传媒——网络玩爆梗；C．赛事升级——城市嘉年华；D．票根经济——驱文旅消费；E．商业赞助——引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）热议话题E所在扇形的圆心角度数为 °； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中热点话题是“社交传媒——网络玩爆梗”的大约有多少人？ 【答案】（1）200； （2）； （3）540人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图知为60人，扇形统计图知占，用除法可求样本容量，再用总人数减去已知四项人数得的人数； （2）先求所占百分比，再乘以得圆心角度数； （3）用总体人数乘以样本中所占百分比即可估计总体中的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图知热点话题的人数为60人， 由扇形统计图知占总人数的， 本次调查样本容量为． 为50人，为60人，为20人，为40人， 的人数为． 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：热点话题所占百分比为， 所在扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：样本中热点话题所占百分比为， 估计该小区1800名居民中选的人数约为人． 22. 如图是某校停车场一处相邻的四个空闲车位，分别记为A，B，C，D．现王老师、李老师准备把车停到车位上．（每辆车只占一个车位，每个车位仅停一辆车） （1）若王老师先选择车位，则停在“A”车位是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若王老师、李老师各自随机选择一个车位停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在相邻车位的概率． 【答案】（1）随机 （2），见详解 【解析】 【分析】（1）直接根据事件的分类解答即可； （2）用树状图列举出所有等可能的结果数以及两人停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解： 王老师先选择车位时，可能选到A，B，C，D中的任意一个，所以他停在“A”车位是随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，其中两个车位相邻的有6种结果， 所以（两人停在相邻车位）=． 23. 我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】8天 【解析】 【分析】设规定时间为天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天，则快马的时间为天，慢马的时间为天， 根据题意，得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 答：规定时间是8天． 24. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，连接，恰好经过对角线的中点O，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，则　　． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证，可得，即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25. 如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接，     是的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接半径，利用切线的性质得到与垂直，结合推出，再通过等边对等角与平行线的性质完成角的等量代换，证明结论； （2）连接，先利用直径所对的圆周角为直角得到垂直关系，结合等角对等边与等腰三角形三线合一证明三角形相似，再利用勾股定理求出线段长度，最后根据相似三角形的性质求出直径，进而得到的半径． 【小问1详解】 证明过程见答案； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 是等腰三角形， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 26. 如图，在中，，，，请用无刻度的直尺和圆规作图，并回答下列问题： （1）在图1的线段上作出点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，已知的中点D，在作出点E，使得，并求出此时的长（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； （3）在第（2）问的基础上，在图2线段上作出点P，使得（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）如图，点M即为所求； （2）如图，点E即为所求； （3）如图，在线段上截取，使得，连接，，点P即为所求 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为M，连接即可； （2）作，交于点E，点E即为所求； （3）在线段上截取，使得，连接，，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 27. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动． 【尝试与感悟】 （1）是边长为8的等边三角形，E是边上的一点，且，小明以为边作等边，如图1．求的长； （2）是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，如图2．在点E从点A到点C的运动过程中，求点F所经过的路径长； 【拓展与延伸】 （3）如图3，四边形是菱形，，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，小明以为边作等边，连接．则的取值范围是 ． （4）如图4，是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，交边于点D，则的最大值为 ． 【答案】（1）2 （2）8 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则； （2）点E在点C处时，，点E在A处时，点F与点C重合．则点F运动的路径长为； （3）在上截取，连接并延长，交于点P，连接，过点作，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，则有点G在线段上运动，进而根据勾股定理及三角函数可进行求解． （4）连接，延长交的延长线于一点，由（1）可知，则有，设，则有，由可知，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连结，由（1）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点E在点C处时，， 点E在A处时，点F与点C重合． ∴点F运动的路径长为8． 【小问3详解】 解：在上截取，连接并延长，交于点P，连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由上可知：点G在线段上运动， ∴， ∴的取值范围是． 【小问4详解】 解：连接，延长交的延长线于一点，如图所示： 由（1）可知：， ∴， ∴， 设，根据等边的边长为8可知：， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵由题意可知：， ∴， ∴， ∵当时，取得最大值为16， ∴取得最小值为， ∴的最大值为． 28. 在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： （1）如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． （2）如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． （3）如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①在；② （3） 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； 【小问3详解】 解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $