2026年江苏省南京市建邺区中考前阳光检测 数学试题

**基本信息** 九年级数学三模卷，以代数、几何、统计知识为载体，通过人工智能调查、正确坐姿等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，适配中考综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|算术平方根、科学记数法、三视图|结合数轴动点、正方体切割等几何直观题| |填空题|10/20|因式分解、中位数、反比例函数|设置党史竞赛优秀率等统计情境题| |解答题|11/88|不等式组、菱形证明、动态几何|第25题几何平移与函数综合，第27题路灯影子模型应用，考查空间观念与建模能力|

九年级第三次模拟 数 学 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（   ） A． B． C． D． 3．已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（    ）    A．   B．   C．   D．   5．如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（  ） A． B． C． D． 6．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案之间填写在答题卡的相应位置上。） 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 8．若，则=________. 9．分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 10．分母有理化：＝___． 11．一组数据按从小到大排列为1，2，4，，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为______． 12．如图，已知不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值是________． 13．某校举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个班级在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是___________． 14．如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 15．4的算术平方根是__________． 16．若一元二次方程满足；则有一个根为_______．若，则有一个根为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式组，并求出整数解的和． 18．（8分）计算或化简： (1)； (2) ． 19．（8分）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 20．（8分）教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）． (1)将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是 ； (2)在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好关掉第一排与第三排灯的概率． 21．（8分）如图，在中，的角平分线交于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 22．（8分）人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． (3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 23．（8分）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 24．（8分）（1）如图，在平面直角坐标系中，，，，线段与线段关于点成中心对称．画出点并写出点的坐标_________；点关于点对称点的坐标为_______． （2）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请在图中画出一个以为边的，顶点，在格点上且满足． （3）如图，在中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图中作出符合题意的点F．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 25．（8分）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 26．（10分）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 27．身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 九年级第三次模拟 数 学 【参考答案】 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B A A C 7． 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 8．16 【分析】根据二次根式的非负性求x，再得到y，然后计算 【详解】根据二次根式的定义，，，所以x＝4， 则y＝2. 所以＝16. 故答案为16. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0． 9．a（b﹣2）2 【详解】ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4） =a（b﹣2）2 故答案为a（b﹣2）2． 10． 【分析】分母中含有根号，则需分子分母同时乘以分母的有理化因式：的有理化因式是它本身，的有理化因式是． 【详解】， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，注意有理化的过程不改变原式大小是解决本题的关键． 11．6 【分析】由题意先根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵这组数据按从小到大排列为1，2，4，x，6，9， 又∵这组数据的中位数为5， ∴（4+x）÷2=5， 解得：x=6， ∴这组数据为1，2，4，6，6，9， ∴这组数据的众数为6. 故答案为：6． 【点睛】本题考查中位数和众数，解题的关键是先根据中位数的定义求出x的值，再找众数． 12．6 【分析】本题主要考查了解不等式、根据不等式的解集求参数等知识点，根据数轴确定不等式的解集成为解题的关键 先解不等式得到，再根据数轴可得，进而得到求解即可 【详解】解：∵， ∴， 根据题图可得：不等式的解集为， ∴，解得． 故答案为6. 13．丙 【分析】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 、乙、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两个班级优秀人数相同； ②，即甲班级优秀人数比乙、丁两个班级优秀人数少； ③，即丙班级优秀人数比乙、丁两个班级优秀人数多； 综上所述：甲班级优秀人数乙班级优秀人数丁班级优秀人数丙班级优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙班级， 故答案为：丙． 14． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 2 【详解】解：，则4的算术平方根是． 16． 【分析】根据可得，原方程可化为，利用因式分解法解方程即可得答案，同理可得时方程的一个根． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程可化为， ∴， ∵， ∴，， ∴满足时，有一个根为． ∵， ∴， 原方程可化为， ∴， ∵， ∴，， ∴满足时，有一个根为． 故答案为：， 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 17．；整数解的和是9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集以及其整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集，然后求得其整数解，然后得到整数解的和即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ， 其整数解为：，0，1，2，3，4， 整数解的和：． 18．(1)1； (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值、特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再运算加减，即可求解； （2）先通分括号内，再运算除法，化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：     ． 19．(1) 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． (2) 解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形，   连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形，  再由即可证四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 20．(1)0 (2) 【分析】（1）由于控制第二排灯的开关已坏，所以所有灯都亮起为不可能事件； （2）用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出关掉第一排与第三排灯的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）因为控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮，所以将4个开关都闭合时，所以教室里所有灯都亮起的概率是0； 故答案为0； （2）用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好关掉第一排与第三排灯的结果数为2，所以恰好关掉第一排与第三排灯的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21． （1）四边形AFDE是菱形， 理由： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形AFDE是菱形； （2）4 【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明； （2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形， ∵AD=， ∴AF=DF=DE=AE==2， ∴四边形AFDE的面积为2×2=4． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 22．(1)84，，40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高， 理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数也大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． (3) 【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可； （2）利用中位数进行决策解答即可； （3）画树状图，求解即可． 【详解】（1）解：∵84出现了4次，最多， ∴众数为， ∵A等级有：(人)，B等级有(人)，C等级有(人)，D等级有8人且成绩为84，85，86，88，88，88，88，89． ∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数， ∴中位数是， 根据题意，得， 故． 故答案为：84，，40． （2）略 （3）解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种， 故一男一女的的概率是 【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 23．(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，先得到，继而得到，得到不是正确坐姿，在中，，，调整后，，．继而得到本题答案． 【详解】（1）解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 故桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 24．（1），；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质及判定定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中点坐标公式进行求解M的坐标即可；根据关于点对称点进行求解即可； （2）根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行画出图形即可； （3）连接交于点O，延长交于点K，连接，延长交于点J，连接交于点F，点F即为所求． 【详解】解：（1）∵，， 由中点坐标公式可得， ∴， 画出如下图； 故答案为：； ； 设点关于的对称点坐标为， ∵点是的中点， ∴，， ，， ； 故答案为：； （2）∵， 由题意得平行四边形与三角形等底， ∴平行四边形的高与三角形等高， ∴画出如下图，即为所求； （3）如图，点即为所求， 证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴． 25．(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 26．(1) 解：如图（1），连接，，． 四边形是菱形， ，． 是等边三角形． ． ， ． ， ． ，即． 点D在上， 与相切． 同理可得：与相切． (2)①A；② 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图（1），连接，，．由菱形的性质可得、易得是等边三角形．再根据等边三角形的性质以及角的和差可得，即可与相切．同理可证与相切； （2）①设的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得，再根据弧、弦、圆周角的关系得到，易得垂直平分，即、、；经分析可知随着度数的增大，也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定的半径与的长的变化情况即可解答；②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，，， ∵当时， ∴随着度数的增大，也随之变大， ∴，， ∵随的增大而增大， ∴随着度数的增大而增大，， 在中，， ． ，解得：． ∵随的增大而减小， ∴随着度数的增大而增大， 综上，的半径与的长都增大． 故选∶A． ②解：如图（2），连接，，，连接并延长，交于点N． 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，． 在中，， ． ，解得：． 在中，， ． ，解得． 27．(1)①； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二：如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 学科网（北京）股份有限公司 $