18.5.2 列分式方程解决实际问题（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“列分式方程解决实际问题”，通过工程、行程等实际情境导入，衔接分式方程解法，以六步解题模板和四大模型为支架，构建从理论到应用的知识脉络。 其亮点在于标准化六步模板强调双检验，培养数学思维的推理意识，四大模型公式助力用数学语言表达实际问题，经典例题结合生活情境提升数学眼光。学生能规范解题，教师可高效教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 18.5.2 列分式方程解决实际问题 第十八章 分式 18.5.2 列分式方程解决实际问题 同步精讲+习题 一、核心考点说明 列分式方程解应用题是八年级下册期末必考大题、中考高频题型，区别于整式方程应用题，本题型核心特征是：题目出现“时间、速度、工作效率、单价、人均数量”等比值关系，适合用分式方程求解。 二、列分式方程解应用题满分六步法（标准答题模板） 步骤1：审——审题找等量关系 通读题目，找准已知量、未知量，梳理核心数量关系（路程、工程、销售、产量等公式）。 步骤2：设——规范设未知数 一般问什么设什么，也可设关键基础量；必须带单位，尽量避免间接设元增加计算难度。 步骤3：列——根据等量列分式方程 利用「差值关系、等量关系、倍数关系」列出规范分式方程。 步骤4：解——求解分式方程 去分母化为整式方程，规范求解未知数。 步骤5：双检验（重中之重，独家考点） ① 检验是否为分式方程的增根（数学有意义）； ② 检验是否符合实际题意（实际有意义：人数、速度、时间、数量不能为负数、小数、零）。 步骤6：答——完整写答语 对应问题作答，单位齐全、语句完整。 三、四大必考模型公式（直接套用） 1. 工程问题（最高频） 核心公式：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 默认工作总量为单位“1” 常见关系：快效率 - 慢效率 = 效率差；合作效率 = 各效率之和 2. 行程问题 核心公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度 常考：提速/减速、早到/迟到、顺水/逆水航行时间差问题。 3. 销售单价问题 核心公式：单价 = 总费用 ÷ 数量 常考：优惠前后单价差、数量差对比问题。 4. 产量与人均问题 核心公式：人均产量 = 总产量 ÷ 人数 常考：增减人数、更换设备导致人均产量变化。 四、经典大题精讲（考试原题风格） 题型1：工程效率问题（期末必考） 题目：一项工程，甲单独完成需要的时间是乙的2倍，若甲乙合作完成需要6天，求甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？ 解：设乙单独完成需要$$x$$天，则甲单独完成需要$$2x$$天。 甲效率：$$\dfrac{1}{2x}$$，乙效率：$$\dfrac{1}{x}$$ 列方程：$$\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{6}$$ 去分母，两边同乘$$6x$$： $$3+6=x$$，解得 $$x=9$$ 双检验：$$x=9$$不是增根，且天数为正数，符合题意。 则$$2x=18$$ 答：甲单独完成需要18天，乙单独完成需要9天。 题型2：行程时间差问题 题目：甲乙两地相距120km，一辆新车速度是旧车的1.5倍，新车走完全程比旧车少用1小时，求旧车速度。 解：设旧车速度为$$x\ \mathrm{km/h}$$，则新车速度为$$1.5x\ \mathrm{km/h}$$。 旧车时间：$$\dfrac{120}{x}$$，新车时间：$$\dfrac{120}{1.5x}$$ 列方程：$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{1.5x}=1$$ 解得：$$x=40$$ 检验：符合方程且速度为正，符合实际。 答：旧车速度为$$40\ \mathrm{km/h}$$。 题型3：销售单价问题 题目：用300元购买文具，优惠后单价比原价降低20%，结果多买了5件，求文具原价。 解：设文具原价为$$x$$元，优惠后单价$$0.8x$$元。 列方程：$$\dfrac{300}{0.8x}-\dfrac{300}{x}=5$$ 解得：$$x=15$$ 检验：符合题意。 答：文具原价为15元。 五、致命易错点（应用题专属扣分点） 1. 忘记双检验：只检验方程，不检验实际意义（负数速度、负数时间直接舍去）； 2. 单位遗漏：设未知数、答语不带单位，步骤扣分； 3. 等量关系写反：谁比谁多、谁比谁少弄反，方程完全错误； 4. 效率、时间、单价混淆：对应公式用反，本末倒置； 5. 解出增根后，不会写“该情况不符合题意，舍去”。 六、同步真题练习（期末大题难度） 1. 工程题：甲单独做一项工程比乙多用5天，两人合作6天可以完成，求甲、乙单独完成各需多少天？ 2. 行程题：某地到景区路程180km，新能源汽车速度是燃油车的1.2倍，行驶全程少用0.5小时，求两种车的速度。 3. 购物题：学校用2000元采购图书，新版图书单价是旧版1.25倍，购买数量比旧版少20本，求旧版图书单价。 七、参考答案与详细解析 第1题 解析 解：设乙单独完成需$$x$$天，甲需$$(x+5)$$天。 $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$$ 解得：$$x=10$$（负根舍去） 检验：符合题意，甲：15天，乙：10天。 答：甲单独完成需15天，乙单独完成需10天。 第2题 解析 解：设燃油车速度$$x\ \mathrm{km/h}$$，新能源速度$$1.2x\ \mathrm{km/h}$$。 $$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{1.2x}=0.5$$ 解得：$$x=60$$，$$1.2x=72$$ 答：燃油车速度$$60\ \mathrm{km/h}$$，新能源汽车速度$$72\ \mathrm{km/h}$$。 第3题 解析 解：设旧版单价$$x$$元，新版$$1.25x$$元。 $$\dfrac{2000}{x}-\dfrac{2000}{1.25x}=20$$ 解得：$$x=20$$ 答：旧版图书单价为20元。 八、本节满分总结（必背） 1. 分式方程应用题核心：比值类问题用分式，和差倍比用整式； 2. 解题流程：审→设→列→解→双检验→答； 3. 检验两条线：方程有意义+生活实际有意义； 4. 四大模型认准公式：工程看效率、行程看时间、购物看单价、产量看人均。 能找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程. 会解含有字母系数的分式方程. 知道列方程解应用题为什么必须检验，掌握解题的基本步骤和要求. 探究新知 你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？ 行程问题 路程 = 速度×时间 工作量=工作效率×工作时间， 合作效率=各自单独完成任务的效率和. 工程问题 利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率， 销售额 = 销售量×单价. 销售问题 例 3　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 探究1 工程问题 甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1” 问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 工作时间/月 工作效率 工作总量 甲队 乙队 设乙队单独完成这项工程需要 x 月. 甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一 两队又共同工作了半个月 甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1” 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 方程两边乘 6x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 注意：分式方程的解需要检验 2x + x + 3 = 6x. 分析：甲队1个月完成总工程的____， 那么甲队半个月完成总工程的____， 设乙队的单独施工1个月能完成总工程____， 乙队半个月完成总工程____， 两队半个月完成总工程的________. 思考 本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1” 工程问题中的基本关系： 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1 常从工作量和工作时间上考虑相等关系. 工作总量 = 工作效率×工作时间 合作效率 = 各自单独完成任务的效率和 总工作量 = 各部分工作量之和 归纳 某工程队准备修建一条长 3000 m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25%，结果提前 2 天完成任务，原计划每天修建盲道多少米？ 练习 等量关系：原计划用时 – 实际用时 = 2 天 工作量/m 效率/(m/天) 工作时间/天 原计划 实际 提前 2 天完成任务 修建一条长 3000 m 的盲道 实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25% 3000 3000 x (1 + 25%)x 设原计划每天修建盲道 x m. 原计划用时 – 实际用时 = 2 天 解：设原计划每天修建盲道 x m. 依题意，得 方程两边乘 1.25x，得 解得 x = 300. 检验：当 x = 300 时，1.25x ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 300. 答：原计划每天修建盲道 300 m. 3750 – 3000 = 2.5x. 探究2 行程问题 这里的字母 v，s 表示已知数据 例4 某次列车平均提速 v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量) 时间/m 速度/(km/h) 路程/km 提速前 提速后 列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km 平均提速 v km/h s s + 50 x v + x 设提速前列车的平均速度为 x km/h 等量关系 解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h， 则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间为 h. 方程两边乘 x(x + v) ，得 解得 x = s(x + v) = x(s + 50). 根据行驶时间的相等关系，得 检验：当 x = 时， x(x + v) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 答：提速前列车的平均速度为 km/h．　 用字母表示已知数据的形式，在分析问题寻找规律时经常出现. 其中根据 v，s 所表示的实际意义可知，它们是正数. 某自行车行经营的某款自行车去年销售总额为8万元，今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元. 若该款自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少 10%. 去年该款自行车每辆售价为多少元？ 探究3 销售问题 设去年该款自行车每辆售价为 x 元 售价/元 销量/辆 销售额/元 去年 今年 今年的销售总额将比去年减少 10% 80000 80000×(1 – 10%) x x – 200 去年销售总额为 8 万元 今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元 该款自行车的销售数量与去年相同 等量关系 解：设去年该款自行车每辆售价为 x 元，则今年该款自行车每辆售价为 (x – 200) 元. 方程两边乘 x(x – 200)，得 解得 x = 2000. 检验：当 x = 2000 时， x(x – 200) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 2000. 答：去年该款自行车每辆售价为 2000 元. 80000(x – 200) = 80000x(1 – 10%). 根据题意，得 1. 解下列方程： 复习巩固 【教材P169习题18.5 第1题】 随堂练习 解：(1)方程两边乘 x(x + 3)，得 x + 3 = 5x 解得 x = 检验： 当 x = 时， x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 随堂练习 解：(2)方程两边乘 2(x – 1)，得 2x = 3 – 4(x – 1) 解得 x = 检验： 当 x = 时， 2(x – 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 随堂练习 解：(3)方程两边乘 (2x + 1)(2x – 1) ，得 2(2x + 1) = 4 解得 x = 检验： 当 x = 时， (2x + 1)(2x – 1) = 0， 所以，原分式方程无解. 随堂练习 解：(4)方程两边乘 x(x + 2)(x – 2) ，得 3(x – 2) – (x + 2) = 0 解得 x = 4 检验： 当 x = 4 时， x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 4. 随堂练习 解：(5)方程两边乘 (x – 1)(x – 3)，得 x(x – 1) = (x + 1)(x – 3) 解得 x = – 3 检验： 当 x = – 3 时， (x – 1)(x – 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = – 3. 随堂练习 解：(6)方程两边乘 (x – 2)，得 x – 3 + x – 2 = – 3 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， x – 2 ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 1. 随堂练习 解：(7)方程两边乘 6x(x + 1)，得 6(2x + 1) = 5x 解得 x = 检验： 当 x = 时， 6x(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 随堂练习 解：(8)方程两边乘 2(3x – 1)，得 3(3x – 1) – 2 = 5 解得 x = 检验： 当 x = 时， 2(3x – 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 随堂练习 1. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺 流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所 用时间相等，则江水的流速为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 28 2.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相 关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最 高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设 计最高时速 _____ . 区间段 区间近似里 程 区间设计最高时 速 相应所用时间 48 88 320 返回 考试考法 29 3.某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知 地到地的路程为，乘坐型车比乘坐 型车少用2小 时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求 型车 的平均速度. 考试考法 30 【解】设型车的平均速度是，则 型车的平均速度 是 ， 根据题意,得，解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：型车的平均速度是 . 返回 考试考法 4. “行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重， 也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度. 如图，某森林公 园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中 ， 在绿灯亮时，小官共用通过路段，其中通过 路段时的速度是 通过路段时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是( ) B A. B. C. D. 考试考法 32 【点拨】设小官通过路段时的速度是，则通过 路 段时的速度是，依题意，得 ，解得 ，经检验，是原方程的解，且符合题意， 小官 通过路段时的速度是 . 返回 考试考法 33 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 课堂小结 ①审 ②找 ③设 ④列 ⑤解 ⑥验 ⑦答 审已知和未知 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 验证是否符合实际意义 作答 验证是否为分式方程的解 $