精品解析：上海市黄浦区卢湾高级中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

卢湾高级中学高一年级第二学期期终考试数学试卷 （完卷时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 已知复数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】． 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形面积公式得到答案 【详解】扇形面积为. 故答案为： 3. 已知向量，若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以，解得. 4. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 5. 在中，已知，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求出的余弦值. 【详解】在中，根据余弦定理得. 故答案为： 6. 直线与直线夹角的大小为________. 【答案】##60° 【解析】 【详解】由得到，斜率为，倾斜角为， 又，即，与轴平行，所以直线与直线夹角的大小为. 7. 已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的数量投影为. 8. 已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 9. 关于的方程的解集为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，则或， 解得或，则其解集为. 10. 已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 11. 在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，建立平面直角坐标系，利用已知条件求出点的坐标，然后通过二次函数的性质求出数量积的范围. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则， 因为，，所以，， 设，则 ， 所以， 因为， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 12. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【解析】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 14. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 15. 若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量基底概念可得答案. 【详解】对于A， ，能作为基底； 对于B，，不能作为基底； 对于C，，能作为基底； 对于D， ，能作为基底； 故选：B. 16. 两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中.如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A. ②③ B. ①②③④ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊函数可判断①③⑤能出现，利用周期的定义推理可判断②④不能出现. 【详解】令，其最小正周期， 验证①，取，则， 所以，，此时①成立， 验证⑤，取，则， 此时，满足⑤， 验证③，取，则， ，满足③； 令，若②，则， 可得， 得到，与题意不符，故②不可能出现； 因为， 即为的一个周期，所以，所以④不可能出现. 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）答题时必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求解. （2）先利用同角三角函数的基本关系求，再利用两角和的正切公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，所以， 所以，所以， 所以. 18. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以且， 解得. 【小问2详解】 时，. 因为是方程的一个根，所以代入得： ， ， 解得，. 19. 如图，在路边安装路灯，路宽，在路边的点处立有一根高为的灯柱，灯杆长，且与灯柱成角．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用勾股定理列式求值即可. 【详解】如图： 作，垂足为，作，垂足为. 在中，，，，所以，. 所以在中，. 又在中，， 由， 所以. 所以灯柱高约为. 20. 已知． （1）若，求函数在上的值域； （2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． 【小问2详解】 令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 21. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，，求． （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，，再由数量积的运算律，即可求解； （2）根据题设条件求出，再结合题设条件，即可求解； （3）设，根据题设条件得，再由正、余弦定理及三角恒等变换，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，在仿射坐标系中，， 又，则， 所以， 则. 【小问2详解】 因为，，则，， 则， ， 又与的夹角为， 由，得到，解得. 【小问3详解】 设，其中，则， 因为，又分别为中点， 所以， ， 在仿射坐标系中，， ， 在中，由余弦定理得， 所以， 则， 在中，由正弦定理， 设，则， 令 ，其中， 所以，则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学高一年级第二学期期终考试数学试卷 （完卷时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 已知复数，则___________． 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为_____________ 3. 已知向量，若，则___________． 4. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 5. 在中，已知，，，则______ 6. 直线与直线夹角的大小为________. 7. 已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 8. 已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 9. 关于的方程的解集为___________． 10. 已知复数z满足，则的最小值是_________． 11. 在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______. 12. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 14. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 15. 若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 16. 两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中.如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A. ②③ B. ①②③④ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）答题时必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 19. 如图，在路边安装路灯，路宽，在路边的点处立有一根高为的灯柱，灯杆长，且与灯柱成角．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到） 20. 已知． （1）若，求函数在上的值域； （2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 21. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，，求． （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $