江苏省南京市第九中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题

**基本信息** 高二下期末数学试卷以数列、概率统计、函数等为核心，通过手机聊天软件依赖调查、物流调度等真实情境，考查数学建模与数据分析能力，体现用数学思维解决实际问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比中项、正态分布、独立性检验|基础概念辨析，如第3题正态分布考查数学眼光| |多选题|3/18|随机变量、集合子集、函数极值|多维度能力考查，如第11题函数极值辨析数学思维| |填空题|3/15|正态分布、二项式系数、椭圆离心率|知识综合应用，如第14题优美椭圆关联文化传承| |解答题|5/77|统计分布列、立体几何、函数单调性、物流概率|分层设计，如第19题物流调度结合算法思想，考查数学语言表达现实世界|

高二下期末测试卷 满分：150分 时间：150分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．4与9的等比中项为（    ） A． B． C． D． 2．等差数列中，若，，则（    ） A． B． C．2 D．9 3．已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 4．以下四个命题中错误的是（    ） A．在独立性检验中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量相关的可能性就越大 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在回归直线方程中，变量每增加1个单位时，平均增加2个单位 D．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 5．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 6．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若随机变量，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集， ，记事件 为“是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．若，则函数无极值点 B．若 ，则函数恰有1个极值点 C．若 ，则曲线存在1条斜率最小的切线 D．若，则曲线恰有2条斜率为0的切线 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若随机变量服从正态分布，且，则______________． 13．的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 14．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．手机聊天软件是现代生活信息交流的重要工具，随机抽取使用手机聊天软件的100人进行调查，得到数据统计表如下:每天使用手机聊天软件时间在2h以上的人被定义为“手机聊天软件依赖”，不超过2h的人被定义为“非手机聊天软件依赖”.已知“非手机聊天软件依赖”与“手机聊天软件依赖”的人数比恰为3∶2. 使用手机聊天软件时间/h 频数 频率 5 0.05 15 0.15 15 0.15 x p 30 0.30 y q 合计 100 1.00 (1)求出x，y，p，q的值. (2)为进一步了解使用手机聊天软件对日常工作和生活是否有影响，从100人中用分层随机抽样的方法确定10人.若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“手机聊天软件依赖”的人数为X，求X的分布列及其数学期望. 16．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 17．在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 18．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 19．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施．物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度．某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市．从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为． (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种． 记第次选择方案，，的概率分别为，，． （i）求、，并证明：数列和数列都为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率． 高二下期末测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C D C C A ABC ACD 题号 11 答案 ABD 12．0.15/ 13．-30 14． 15．（1）由题意可知，“非手机聊天软件依赖”的人数为， “手机聊天软件依赖”的人数为，所以， 又因为，解得，，所以，， （2）用分层随机抽样的方法确定的10人中，“非手机聊天软件依赖”的人数为：， “手机聊天软件依赖”的人数为：， 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则， ，， ，所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以的数学期望是：. 16．(1)证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 17．（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 18．（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得，    令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 19． （1）设选择方案A、B、C分别为事件A、B、C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， ． （2）（i）由①知道． 由②根据全概率公式可得 ， ． 证明：设第n次物流选择方案A、B、C分别为事件、、，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为，所以， 所以， 由②根据全概率公式可得 ， 注意到，，而， 所以， 同理可得． 有， 且 ，所以 ，故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列． 同理，可得 ， 且，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列． （ii）由（i）可得，， 联立解得，， 所以． 随着的增大，增大，注意到， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $