精品解析：江苏省盐城市亭湖区2025-2026学年高二第二学期期末质量监测数学试题

2025～2026学年第二学期期末质量监测 高二数学试题 注意事项： 1. 本试卷共4页，19小题，满分150分；考试时间120分钟. 2. 答题前，请务必将学校、姓名、班级、准考证号填写在试卷及答题卡上. 3. 作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上指定区域内作答；在其它位置作答一律无效.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由绝对值的概念确定集合，再由交集的概念即可求解. 【详解】， ， 所以. 2. 已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 42 B. 40 C. 31 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】由上四分位数的定义可得结果. 【详解】，所以这组数据的上四分位数是. 故选：B. 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则. 5. 已知变量x，y的数据如下若x与y的回归直线方程为，则（   ） x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 A. 3.5 B. 4 C. 4.2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，求，，并代入求解即可. 【详解】由题意可得，，， 将，代入, 可得，解得. 故选：B. 6. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解． 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校安排两个元素，其中不含丙，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，有种分配方法； 所以不同的安排方式有种． 7. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再结合等差数列通项公式求出，进而求出，最后计算第12天月球被太阳照亮部分占满月的比例即可. 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 8. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分. 9. 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C. 【详解】由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为. 由消去y，整理得，解得或. 因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，， 所以，，，故A正确. 因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确. 由圆的对称性可知，点，所以. 因为，所以点B到直线l的距离， 所以的面积，故C错误. 由以上分析可知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（　　） A. 存在点，使 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 当在线段上时，直线与平面平行 D. 当在线段上时，直线与平面所成角最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算分析线面平行、线面垂直、轨迹方程、线面角，逐项分析计算即可. 【详解】以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 设（是侧面上，则坐标恒为2，，）. 选项A：，. 若，则，即，整理得. 取，则满足条件，故A正确； 选项B：由得，，化简得. 该方程表示在平面上，以点为圆心，半径为1的圆弧（，，实际是四分之一圆）， 所以轨迹长度为，故B错误； 选项C：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，，所以. 因为在线段上，设（），则， 所以，，所以，（）. 因为，所以，又平面， 所以直线与平面平行，故C正确； 选项D：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，又，所以. 设直线与平面所成角为，由选项C知，（）. 则 ，， 所以，当时，取最大值，为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知事件A和B满足，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由，得 . 所以. 13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设右焦点为，过作轴于，根据长度关系求出，最后根据双曲线的定义即可求出. 【详解】设右焦点为，连接，过作轴于， 因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以， 则，则，所以， 则为等边三角形，则，所以，所以， 根据双曲线的定义可知，所以. 故答案为：. 14. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围． 【详解】令得，设函数， 则直线与函数在区间上的图象有两个交点， ，令，可得，列表如下： 极大值 ，，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 四、解答题：共5题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分. 15. 已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得 ， 有，故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 两式作差得， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 以为原点，建立如下图空间直角坐标系. 由题意：，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，可取. 取平面的法向量. 设二面角为， 则， 所以. 17. 某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖． （1）求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望； （2）若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率． 【答案】（1）的分布列为 （2） 【解析】 【分析】（1）设随机变量表示1位顾客获得的优惠券金额，则的可能取值为，利用古典概型分别求出抽到个红球、个红球、个红球的概率，即可得到分布列与数学期望. （2）把“获得元优惠券”看作一次独立成功事件，其成功概率就是第1问中于是可用二项分布思想求“至少有人成功”的概率. 【小问1详解】 设随机变量表示该顾客获得的优惠券金额，则，总的抽法数为， 当抽到2个红球时，，， 当抽到1个红球1个白球时，，， 当抽到0个红球，即2个白球时，，， 所以的分布列为 数学期望为 . 【小问2详解】 设事件表示“1 、位顾客获得元优惠券”，则， 因为位顾客抽奖结果相互独立， 所以“获得元优惠券的人数”服从参数为的二项分布. 设其中获得元优惠券的人数为，则所求概率为， 其中，， 所以. 18. 已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆方程； （2）求证：直线过定点； （3）弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，代入可得椭圆的标准方程； （2）由结合题意可得，设直线的方程为，，，直线与椭圆联立方程组可得，，由两点间斜率公式列式计算可得，计算即可得证； （3）直线的方程为，直线与椭圆联立方程组可得，由点到直线距离公式可三角形面积公式列式可得，进而计算可解. 【小问1详解】 由题意可得，则， ，则， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 连接，设，，而，， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设直线的方程为， 则，得， ， ，， 则， 化简可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为，故恒过定点； 【小问3详解】 因为，所以， 设直线的方程为，即， 则，得，故， 则到的距离为， 到的距离为， 且与异号， 故， 所以 ， 由（2）可知， 所以， 所以且， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若对恒成立，求整数的最小值； （3）当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 【答案】（1） （2） （3）证明：由，可得， 令，可得， 当时，在上递增， 而，，所以存在，使得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，，， 所以存在，使得，所以在递减，在递增， 又当时，，所以在递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以是在上的唯一极小值点； 此时，， 所以在，即上存在唯一零点，使得， 下证：. 因为，所以，又因为在递增，只需证， 因为是的唯一极小值点，可得，即，可得 又因为，即， 因为，只需证明：， 令，其中， 则， 所以在上单调递增，， 所以成立，证毕， 所以在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，得到，即可求解； （2）由，可得，当时，由，不符合题意，得到， 法一：当时成立，分和，利用函数，以及函数的单调性，证得；法二：当时成立，此时，分和，两种情况讨论，结合导数求得函数的单调性，进而证得； （3）由（2）知在上递增，利用零点存在性定理，得到存在，使得，求得函数的单调性，得到存在，使得，得到单调性，结合，，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. 【小问2详解】 解：由，且， 由，可得， 当时，，，不符合，故， 法一：当时成立，此时， 当时，， 令，可得， 所以在递增，在递减， 又，，所以，即. 当时，可得，所以. 所以当时，均有对恒成立， 综上所述，整数的最小值为. 法二：当时成立，此时， 当时，，令， 可得在上递增， 因为，， 所以存在，使得，即， 又因为，所以， 则， 所以在递增，有， 当时，， 所以，也成立. 综上所述，整数的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期末质量监测 高二数学试题 注意事项： 1. 本试卷共4页，19小题，满分150分；考试时间120分钟. 2. 答题前，请务必将学校、姓名、班级、准考证号填写在试卷及答题卡上. 3. 作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上指定区域内作答；在其它位置作答一律无效.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 42 B. 40 C. 31 D. 29 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量x，y的数据如下若x与y的回归直线方程为，则（   ） x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 A. 3.5 B. 4 C. 4.2 D. 5 6. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 30种 7. 古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A. B. C. D. 8. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分. 9. 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积是 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（　　） A. 存在点，使 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 当在线段上时，直线与平面平行 D. 当在线段上时，直线与平面所成角最大值为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知事件A和B满足，，，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 14. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：共5题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分. 15. 已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 17. 某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖． （1）求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望； （2）若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率． 18. 已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆方程； （2）求证：直线过定点； （3）弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若对恒成立，求整数的最小值； （3）当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $