精品解析：江苏省南京市玄武区南京田家炳高级中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

2023—2024学年第二学期高一年级期末考试 数学学科 命题人：居加颖 审题人：安文琳 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的平均数，方差，则样本数据，， ，的平均数，方差分别为（ ） A. 9，4 B. 9，2 C. 4，1 D. 2，1 2. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，正方形的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件 为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件 为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（ ） A. 与不是互斥事件 B. 与 相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 B. 过点P平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 当点P为中点时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知复数，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若， ， ，则 B. 若，，，则 C. 若，， ，则 D. 若，，，，则 11. 在 中，角所对的边分别为， 为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A. 若 为 的外心，且，则 B. 若 为 的内心， ， ，（m，），则 C. 若 为 的重心，，则 D. 若 为 的外心，且 到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，，若＝2，则＝________(用和表示). 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为__________． 14. 设 的内角的对边分别为，，，且． ，，角的平分线交 边于 ，，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为 、、，求的值． 16. 在平面直角坐标系中，以 轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于 ，两点，已知 ，的横坐标分别为，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 18. 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且. （1）当米时，求分隔栏 的长； （2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥 中，已知底面为矩形，侧面 是正三角形，侧面 底面 是棱 的中点，. （1）证明： 平面 ； （2）若二面角 为，求异面直线 与 所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期高一年级期末考试 数学学科 命题人：居加颖 审题人：安文琳 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的平均数，方差，则样本数据，， ，的平均数，方差分别为（ ） A. 9，4 B. 9，2 C. 4，1 D. 2，1 【答案】A 【解析】 【分析】由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差． 【详解】由，得样本数据，， ，的平均数为， 由，得样本数据，， ，的方差为. 故选：A 2. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算直接计算可得结果. 【详解】因为. 所以. 所以的虚部为. 故选：A 3. 如图所示，正方形的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．. 【详解】直观图正方形的边长为 ，， 原图形为平行四边形，如图： 其中 ，高， ， 原图形的周长. 故选：A. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 5. 连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（ ） A. 与不是互斥事件 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】先利用古典概型概率公式分别求出事件的概率，再按照选项要求，利用事件的交事件是否为空集，确定是否互斥；两事件交事件的概率是否等于两事件概率的乘积，判断两时间是否独立即得. 【详解】依题意，试验的样本空间为，， 显然，则；，； ，；，. 对于A，因,故与不是互斥事件，A正确； 对于B，因，，而,故与不独立，即B错误； 对于C，因，,故与相互独立，即C正确； 对于D，因，，故与相互独立，即D正确. 故选：B. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助辅助角公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，即， 则. 故选：A. 7. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 B. 过点P平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 当点P为中点时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】D 【解析】 【分析】对A：根据线面平行分析可知：点P到平面的距离为定值，再利用等体积法求点P到平面的距离；对B：过点P平行于平面的平面被正方体所截的截面为，判断其形状求面积；对D：可证平面，则根据直三柱的外接球分析可得：平面，且，结合解三角形求的外接圆半径，进而求三棱锥的外接球的半径和体积；对C：根据线面夹角的定义可得，结合题意运算求解. 【详解】对于A中，由题意可得：且 ∴为平行四边形，则 平面，平面 ∴平面 又∵P为线段上，则点P到平面的距离为定值 设点P到面的距离为h，为等边三角形，面积为 ∵，即，解得，A不正确； 对于B中，过点P平行于平面的平面被正方体所截的截面为， 此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，B不正确； 设直线与平面所成角为 ，则， ∵，则，D正确； 对于C中，当点P为中点时，则 ∵平面，平面 ∴ ，平面 ∴平面 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥的外接球的球心，半径为 ，连接，则平面，且 对于，则 ∴，则 ∵，则 ∴，即，则三棱锥的外接球的体积为，所以C不正确． 故选：D． 【点睛】①对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求三棱锥的体积的一种方法； ②对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值； ③对于直三棱柱的外接球的问题：外接球的球心与底面外接圆圆心的连线平行于侧棱，且长度为侧棱的一半. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知复数，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 10. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若， ， ，则 B. 若，，，则 C. 若，， ，则 D. 若，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中线面的位置关系，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：若， ，则， ，则，故A正确； 对于B：若，，，则 ，故B正确； 对于C：若，， ，则m与n可异面，可平行，故C错误； 对于D：由面面垂直的性质定理可得，D正确. 故选：ABD 11. 在中，角所对的边分别为， 为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A. 若 为的外心，且，则 B. 若 为的内心， ， ，（m，），则 C. 若 为的重心，，则 D. 若 为的外心，且 到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据 为的外心，得到，结合，求得，可判定A正确；根据 为的内心，延长交于，得到点为的中点，且，求得和的长度，得到，可判定B正确；由 为的重心，得，根据题意，求得，可判定C不正确；由 到三边距离为，结合三角形的面积公式和正弦的倍角公式，求得和，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为 为的外心，可得， 因为，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示， 为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为 ， ，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为 为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以 且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为 到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略： 1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示，然后选择适当的基底向量，将相关的向量表示为基底向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题； 2、再将向量的运算的结果还原为几何关系，应用向量相关的知识，可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质，同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用； 3、向量的运算公式，若不含图形，可直接运用相应的运算法则求解；若含有图形，可将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等，把未知向量用已知向量进行表示. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，，若＝2，则＝________(用和表示). 【答案】 【解析】 【分析】由，以为基底，表示，再由D，O，B三点共线求解. 【详解】设， 则， 因为D，O，B三点共线， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的高为，根据题意，求得，结合圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，则，解得， 所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为. 故答案为：. 14. 设的内角的对边分别为，，，且． ，，角的平分线交边于，，则的值为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题设条件，利用正、余弦定理可得，利用面积相等求得，结合 解出 ，最后利用三角形中的角平分线定理计算即得. 【详解】 如图，由和正弦定理可得，，即， 由余弦定理，，因，故. 由题意，,且， 由可得，， 又 ①，故得，② ， 由①②知， 可看成方程的两根，解得 或.因，故. 又因是的平分线，由初中的角平分线定理可得，,即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于较难题. 解题关键在已知三角形的某角和角平分线长时，常需要借助于面积相等建立相关量之间的关系，此外有时还需用到三角形中的角平分线定理. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 【答案】（1）i或i；（2）． 【解析】 【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可． （2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出 【详解】（1）设i， 由复数满足，的虚部为2． 可得，解得 或， 故i或i； （2）当i时，i，i， 所以，，， 所以. 16. 在平面直角坐标系中，以 轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值． （2）先求出，，由、为钝角可得、，得到，从而求得的值． 【小问1详解】 由题意，，两点位于第二象限， ，的纵坐标分别为，． ，， ． 【小问2详解】 由于， ， 因为、为钝角，所以、， 故，． 17. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据评分在的游客人数为18和总人数为50得到，利用频率之和为1得到方程，求出； （2）根据分层抽样的方法得到评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在的情况，求出概率. 【小问1详解】 由题知，， ，解得． 【小问2详解】 由题知，抽取的50名游客中满意度评分在的人数为， 满意度评分在的人数为， 抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为， 从5人中随机抽取2人的不同取法为，，共有10种不同取法， 设“2人中恰有1人的满意度评分在”为事件， 则事件包含的取法为，，共有6种不同取法． ． 18. 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且. （1）当米时，求分隔栏 的长； （2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）首先求出，在 中，利用余弦定理求出 ； （2）在 中，先利用正弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 在 中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以 的长为米； 【小问2详解】 因为，， 设，，则， 在 中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时， 面积取得最大值，最大值为平方米. 19. 如图，在四棱锥 中，已知底面为矩形，侧面 是正三角形，侧面 底面 是棱 的中点，. （1）证明： 平面 ； （2）若二面角 为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】（1）证明：在四棱锥 中，由底面为矩形，得， 由侧面 底面，侧面 底面 平面， 得平面 ，又 平面 ，则 ， 又侧面 是正三角形，是 的中点，则 ， 又 平面 ，所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角 的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 在平面 内，过点作 ，垂足为，显然， 由侧面 底面，交线为，得 底面， 底面， 则 ，过作 ，垂足为，连接，显然 ， 平面 ，则 平面 ，而 平面 ，因此 ， 则 即为二面角 的平面角，其大小为， 在 中，，则， 由 ，得四边形 为平行四边形，则， 由 ，得 （或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面 ，则 为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $