专题01三角形概念及与三角形有关线段(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版七升八数学暑假预习讲义

专题01三角形概念及与三角形有关线段暑假预习讲义 1.掌握三角形定义、各部分名称与规范记法，会按边、角给三角形分类。 2.熟记三角形三边关系，能判断三边能否构成三角形、求边长取值范围。 3.理解三角形高、中线、角平分线定义，会在三类三角形中准确作图。 4.知晓三条高、中线、角平分线各自交于一点，会用中线等分面积解题。 5.理解三角形稳定性，能辨别生活相关实例。 6.初步形成几何识图能力，为全等三角形学习铺垫基础。 分层要求 基础：熟记概念、三边关系，会画高、中线、角平分线 提高：利用三边范围、中线性质完成简单计算 拓展：区分钝角三角形外部高线，解决稳定性实际题型 预习必备 知识梳理 1.三角形的概念及分类 2.三角形三边关系 3.三角形的重要线段 4.三角形的稳定性 5.三角形的重心 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.三角形的识别与概念 2三角形的个数问题. 3.三角形的分类 4.等腰三角形的定义 5.构成三角形的条件 6.确定第三边的取值范围 7.三角形三边关系的应用 8.三角形的稳定性及应用 9.由三角形中线求长度 10.由三角形中线求面积 11.重点的概念 12.三角形角平分线的定义 13.画三角形的高 14.与三角形高有关的计算 强化题型 解答题9题 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2.三角形两种分类 1.按边分类 2.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点04:三角形的稳定性 特性：三角形三边固定，形状、大小唯一确定，不易变形； 对比：四边形无稳定性，边长不变形状可改变； 生活应用：自行车车架、屋顶三角支架；伸缩门利用四边形不稳定性。 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06:高频易错点汇总表 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三角形定义 忽略 “不在同一直线” 共线三条线段不能构成三角形 判断先看三点是否共线 三边关系 只验证一组两边和 只需短两边之和＞最长边；求范围同时看和与差 求边长范围写不等式区间 钝角三角形的高 三条高都画在内部 钝角两条高在外部，需延长对边再作垂线 作图看清三角形类型 中线面积 认为中线分周长相等 中线平分面积，不平分周长 面积计算直接用等分结论 分类混淆 把等边三角形单独脱离等腰 等边属于特殊等腰三角形 按边分类时不能并列书写 题型1.三角形的识别与概念 【典例】如图，在中，顶点F的对边是______． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【跟踪专练2】图中以为边的三角形共有______个． 【跟踪专练3】如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 题型2三角形的个数问题. 【典例】如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 【跟踪专练1】图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【跟踪专练3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 题型3.三角形的分类 【典例】三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【跟踪专练1】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【跟踪专练2】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 题型4.等腰三角形的定义 【典例】用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【跟踪专练1】如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【跟踪专练2】定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型5.构成三角形的条件 【典例】写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【跟踪专练1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 【跟踪专练3】把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 题型6.确定第三边的取值范围 【典例】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【跟踪专练1】一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练3】如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 题型7.三角形三边关系的应用 【典例】下列长度的条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练1】若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【跟踪专练2】（1）已知a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足等式，边长c为奇数，则c的值为________． （2）已知a，b，c为的三边长，b，c满足等式，且a为方程的解，则的周长是_______． 【跟踪专练3】7条长度均为整数厘米的线段：，满足，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（    ） A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米 题型8.三角形的稳定性及应用 【典例】希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______． 【跟踪专练1】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【跟踪专练2】（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【跟踪专练3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 题型9.由三角形中线求长度 【典例】如图，为的中线，，，和的周长之差是________． 【跟踪专练1】已知点O是的重心，连接并延长交于D点，过点O作直线分别交于E点，F点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【跟踪专练3】在中，是边上的中线，于，于，若，，，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 题型10.由三角形中线求面积 【典例】如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【跟踪专练1】如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【跟踪专练2】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【跟踪专练3】如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 题型11.重点的概念 【典例】一条线段的重心就是这条线段的___________． 【跟踪专练1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【跟踪专练2】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【跟踪专练3】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B．C．D 题型.12.三角形角平分线的定义 【典例】如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【跟踪专练1】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【跟踪专练2】如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型13.画三角形的高 【典例】如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【跟踪专练1】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为______________． 【跟踪专练3】如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 题型14.与三角形高有关的计算 【典例】如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【跟踪专练1】如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 2．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 3．现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． (1)小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； (2)同学们一共可以组成_____________个三角形． 4．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 5．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 6．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 7．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 8．如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 9．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形概念及与三角形有关线段暑假预习讲义 1.掌握三角形定义、各部分名称与规范记法，会按边、角给三角形分类。 2.熟记三角形三边关系，能判断三边能否构成三角形、求边长取值范围。 3.理解三角形高、中线、角平分线定义，会在三类三角形中准确作图。 4.知晓三条高、中线、角平分线各自交于一点，会用中线等分面积解题。 5.理解三角形稳定性，能辨别生活相关实例。 6.初步形成几何识图能力，为全等三角形学习铺垫基础。 分层要求 基础：熟记概念、三边关系，会画高、中线、角平分线 提高：利用三边范围、中线性质完成简单计算 拓展：区分钝角三角形外部高线，解决稳定性实际题型 预习必备 知识梳理 1.三角形的概念及分类 2.三角形三边关系 3.三角形的重要线段 4.三角形的稳定性 5.三角形的重心 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.三角形的识别与概念 2三角形的个数问题. 3.三角形的分类 4.等腰三角形的定义 5.构成三角形的条件 6.确定第三边的取值范围 7.三角形三边关系的应用 8.三角形的稳定性及应用 9.由三角形中线求长度 10.由三角形中线求面积 11.重点的概念 12.三角形角平分线的定义 13.画三角形的高 14.与三角形高有关的计算 强化题型 解答题9题 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2.三角形两种分类 1.按边分类 2.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点04:三角形的稳定性 特性：三角形三边固定，形状、大小唯一确定，不易变形； 对比：四边形无稳定性，边长不变形状可改变； 生活应用：自行车车架、屋顶三角支架；伸缩门利用四边形不稳定性。 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06:高频易错点汇总表 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三角形定义 忽略 “不在同一直线” 共线三条线段不能构成三角形 判断先看三点是否共线 三边关系 只验证一组两边和 只需短两边之和＞最长边；求范围同时看和与差 求边长范围写不等式区间 钝角三角形的高 三条高都画在内部 钝角两条高在外部，需延长对边再作垂线 作图看清三角形类型 中线面积 认为中线分周长相等 中线平分面积，不平分周长 面积计算直接用等分结论 分类混淆 把等边三角形单独脱离等腰 等边属于特殊等腰三角形 按边分类时不能并列书写 题型1.三角形的识别与概念 【典例】如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】图中以为边的三角形共有______个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 题型2三角形的个数问题. 【典例】如图，图中包含的直角三角形的个数是_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，有一个内角度数为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，直角三角形有，共5个， 故答案为：5． 【跟踪专练1】图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 【跟踪专练3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 题型3.三角形的分类 【典例】三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【跟踪专练1】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 题型4.等腰三角形的定义 【典例】用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 【跟踪专练1】如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 【跟踪专练2】定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 题型5.构成三角形的条件 【典例】写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知： ， 即， 则第三边可以是5， 故答案为：5． 【跟踪专练1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 【跟踪专练2】已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 【答案】12 【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：； ②若2为腰长，5为底边长， ∵， ∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 【跟踪专练3】把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 题型6.确定第三边的取值范围 【典例】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【答案】5（或7或9，答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即可得到符合要求的第三边长． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∵三角形的周长，且三角形周长为偶数， ∴为奇数， ∴范围内的奇数为，，，任选一个即可． 【跟踪专练1】一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 【跟踪专练2】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：， 则， 解得， 由于是三角形的最长边， 则， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， 因此c的取值范围是， 只有符合条件， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 题型7.三角形三边关系的应用 【典例】下列长度的条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可. 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系. A选项 ∵，∴不能组成三角形. B选项 ∵，∴不能组成三角形. C选项 ∵，∴不能组成三角形. D选项 ∵，满足三边关系，∴能组成三角形. 【跟踪专练1】若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 【跟踪专练2】（1）已知a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足等式，边长c为奇数，则c的值为________． （2）已知a，b，c为的三边长，b，c满足等式，且a为方程的解，则的周长是_______． 【答案】 9 7 【分析】（1）先求出，再根据三角形的三边关系求解即可； （2）先求出，，根据三角形的三边关系求出，当时，2，3，6不能组成三角形，不符合题意，舍去，当时，2，2，3能组成三角形，则的周长是，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴， 即， ∵c为奇数， ∴； （2）∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得或2， 当时，， ∴2，3，6不能组成三角形，不符合题意，舍去， 当时，， ∴2，2，3能组成三角形， ∴的周长是． 【跟踪专练3】7条长度均为整数厘米的线段：，满足，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（    ） A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米 【答案】B 【详解】解：由任意3条线段都不能构成三角形和满足可知，从第三条线段起，任意一条线段的长度不小于其前面两条线段的长度之和，即（） ∵厘米， ∴各项需取可能的最小值，则厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米， ∵厘米，若有任意一项大于其最小值，则厘米，不符合题意， ∴能取的值是13厘米． 题型8.三角形的稳定性及应用 【典例】希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】由题意得，蕴含的数学道理是：三角形具有稳定性． 【跟踪专练1】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 【跟踪专练2】（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 【跟踪专练3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 题型9.由三角形中线求长度 【典例】如图，为的中线，，，和的周长之差是________． 【答案】3 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握三角形中线的意义，并能熟练运用求解． 先根据三角形中线的意义，得出，再求出和的周长之差． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵，， ∴和的周长之差是 故答案为：3． 【跟踪专练1】已知点O是的重心，连接并延长交于D点，过点O作直线分别交于E点，F点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点O是的重心， 是的中线， ，故A正确； 其它三个选项均不一定成立． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据的周长的周长求解，即可解题． 【详解】解：在中，是中线即，， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在中，是边上的中线，于，于，若，，，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 先根据三角形中线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，由此代值计算即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， ∵于，于， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 题型10.由三角形中线求面积 【典例】如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 【跟踪专练3】如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，   、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选：C． 题型11.重点的概念 【典例】一条线段的重心就是这条线段的___________． 【答案】中点 【分析】本题考查重心概念．根据题意可知线段的重心即其质量的中心，由于线段均匀，重心位于中点． 【详解】解：∵在初中几何中，重心是物体质量分布的中心点，对于一条均匀线段，其质量分布对称，∴重心位于线段的中点， 故答案为：中点． 【跟踪专练1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 【跟踪专练2】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 题型.12.三角形角平分线的定义 【典例】如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【跟踪专练1】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 题型13.画三角形的高 【典例】如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 【跟踪专练1】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【跟踪专练2】一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为______________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高，然后根据三角形的形状分情况讨论，画出图形即可解答． 【详解】解：当是等腰锐角三角形时，如图： 由题意可得，，，， ， ∴，， ， ， ，即底角度数为； 当是等腰钝角三角形时，由于三角形的高是线段，钝角三角形的高不相交，没有交点，不符合题意； 当是等腰直角三角形时，两腰上的高是对应直角边，夹角为，不合题意； 综上所述：底角的度数为； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 题型14.与三角形高有关的计算 【典例】如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 【跟踪专练2】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 【跟踪专练3】如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 解答题 1．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 2．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 3．现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． (1)小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； (2)同学们一共可以组成_____________个三角形． 【答案】(1)或 (2)7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题的关键是： （1）分为腰和为腰两种情况讨论，先根据三角形三边关系验证三角形是否存在，然后根据三角形的周长公式求解即可； （2）根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解∶若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上，该三角形的周长为或； （2）解：设三角形的第三边长为， 根据题意，得， ∴， 又第三边长在内， ∴第三边的长为、、、、、、，共7条， ∴一共可以组成7个三角形， 故答案为：7． 4．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 5．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 6．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12， 理由如下：假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为， 此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）略 7．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 8．如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 9．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $