第03讲 三角形的内角和外角（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第03讲 三角形的内角和外角 （5大考点8大题型） 学习目标 1． 掌握三角形内角和定理。 2． 掌握三角形外角的定义和性质。 3． 掌握直角三角形中两个锐角的关系。 考点整理 定 义 示例剖析 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 题型归纳 【题型1 三角形的内角和定理及证明】57 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 5．如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 6．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 7．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 9．如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 11．在直角三角形中，，平分 交于点D，平分交于点E，、相交于点F，过点D作，过点B作交于点G．下列结论：①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图所示，的角平分线相交于点F，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．①③ 【题型4 三角形折叠中的角度问题】 13．如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 15．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型5 三角形的内角和的应用】 17．如图，，交于点，点位于的上方，平分．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③设，则；④，正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 20．在三角尺和中，，，，，且．如图，固定三角尺不动，将与重合，再将三角尺绕的中点按顺时针方向旋转，旋转角为（），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型6 直角三角形两个锐角互余】 21．日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 23．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 24．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型7 锐角互余的两个三角形是直角三角形】 25．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 26．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 27．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 28．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 三角形的外角的定义和性质】 29．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 31．如图，线段，相交于点，连接，，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，以上命题中是真命题的有（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 32．下列命题是假命题的是（     ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角不一定是对顶角 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 33．如图，已知，，平分，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角形的内角和外角 （5大考点8大题型） 学习目标 1． 掌握三角形内角和定理。 2． 掌握三角形外角的定义和性质。 3． 掌握直角三角形中两个锐角的关系。 考点整理 定 义 示例剖析 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 题型归纳 【题型1 三角形的内角和定理及证明】 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 2．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作，得出，确定，，结合图形即可求出结果 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∴ 4．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 5．如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 6．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 7．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 9．如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后在Rt中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后根据计算即可 【详解】解：， 平分 ． 10．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 11．在直角三角形中，，平分 交于点D，平分交于点E，、相交于点F，过点D作，过点B作交于点G．下列结论：①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①错误；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形 中， ， ∴ ， ∵平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故①错误； ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； 假设平分，则， ， ， ， ， ， 而已知条件中的度数不能确定， ∴根据已知条件无法证明平分 ，故③不正确； 综上，正确的结论为②，共1个． 12．如图所示，的角平分线相交于点F，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余判定①；根据平行线的性质和角平分线的定义判定③；根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，结合③的结论判定②；根据平行线的性质和垂直的定义求出的度数，判定④ 【详解】解：∵， ∴ 在中，， 故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∴， 而，不一定等于， ∴不一定等于， 故②错误； ∵，， ∴，即， 若平分，则， 题目未给出， 故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 【题型4 三角形折叠中的角度问题】 13．如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义求出的度数，最后根据折叠的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 14．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 15．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 16．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 【题型5 三角形的内角和的应用】 17．如图，，交于点，点位于的上方，平分．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和求出两个三角形内角度数，再借助邻补角得到所求两角，最后相加算出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 19．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③设，则；④，正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平分，得到，平行线的性质得到，进而得到平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故②正确； ， ， ∵， ， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； 设，则：， 由③可知：， ， ， ， ；故④错误； 综上，正确的有①②③． 20．在三角尺和中，，，，，且．如图，固定三角尺不动，将与重合，再将三角尺绕的中点按顺时针方向旋转，旋转角为（），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：当时，，即，故A正确； 当时，， ∴，故B正确； 当时，， ∴， ∴，故C正确； 当时，， ∴， ∴，故D错误； 【题型6 直角三角形两个锐角互余】 21．日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 22．将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，． 23．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 24．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型7 锐角互余的两个三角形是直角三角形】 25．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 26．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 27．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 28．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【题型8 三角形的外角的定义和性质】 29．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义表示出，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 30．如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得，，然后根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠得，， ∵ ∴ ∴ ∴． 31．如图，线段，相交于点，连接，，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，以上命题中是真命题的有（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断④；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定②；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故④是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故②是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故③是真命题； ∴真命题是①②③． 32．下列命题是假命题的是（     ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角不一定是对顶角 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【分析】根据对顶角性质、平行线的基本结论、三角形外角的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等是对顶角的基本性质，是真命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，是初中几何的基本结论，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，该命题是真命题，不符合题意； D、根据三角形外角的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，因此该命题是假命题，符合题意． 33．如图，已知，，平分，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据平行得到，，，再由角平分线得到， 根据三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴，，， ∵平分， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 34．工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，求出邻补角的定义，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $