专题01一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 预习目标 1.概念掌握理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程必须满足的三个条件：能 准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数；熟记一元二次方程的一般形式，会 将任意一元二次方程化为标准形式，区分一元一次方程与一元二次方程。 2.方程的解认知理解一元二次方程的解（根）的含义，能代入数值检验是否为方程 的根：能根据方程的根，反求方程中的未知参数。 3.解法预习掌握初步掌握解一元二次方程的四种基本方法：直接开平方法、配方 法、公式法、因式分解法；了解每种方法的适用题型，能根据方程结构选择最简解 法；会简单利用直接开平方法、因式分解法求解基础一元二次方程。 4公式理解目标预习推导求根公式的过程，感知配方法到公式法的转化思想；熟记 求根公式，初步了解根的判别式的作用，能初步判断方程根的情况。 5.运算能力目标掌握移项、整理、化二次项系数为1的基本解题步骤：规范解方程 书写格式，避免漏项、符号出错、漏写解等基础运算错误。 6.数学思想体会降次思想（一元二次方程转化为一元一次方程）；掌握转化、配 方、分类讨论的数学思想，为后续解方程、应用题、综合题打基础。 7.分层预习要求基础层：熟记定义、一般形式、各部分名称，会判断方程类型、检 验方程的根；提高层：会用直接开平方法、因式分解法解简单方程，初步掌握配方 步骤；拓展层：能对比四种解法的优劣，会根据题目灵活选择最优解法。 8.预习重难点标记重点：一元二次方程定义识别、方程标准化、基础解法步骤。 难 点：配方法完整步骤、降次思想理解、解法择优。 题型梳理 预习必备 1.一元二次方程的相关概念 2.四大解法 知识梳理 3.四大方法择优解题 4换元法 5.一元二次方程根的判别式 6高频易错点汇总 常考题型 1.一元二次方程的定义 2化成一元二次方程一般式 精讲精练 3.一元二次方程解的判定 4.由一元二次方程定义求参数 5.由一元二次方程的解求参数 6.直接开平方法 7.配方法 8.配方法的应用 试卷第1页，共3页 9.由判别式判断方程根的情况 10.由方程根的情况求参数 11.公式法解一元二次方程 12.因式分解法解一元二次方程 13.换元法解一元二次方程 14.解分式方程 加强题 解答题8题 知识梳理 知识点01：一元二次方程的相关概念 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程， 叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数 ≠0。 2.一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)》 ax':二次项，a为二次项系数： bx:一次项，b为一次项系数： 试卷第2页，共3页 c:常数项。注意：整理一般形式时，必须把所有项移到等号左侧，右侧为 0:各项系数包含前面的符号。 3.一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫 根。应用 ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根：②已知根求参数：将根代入 方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 4.一元一次、一元二次方程对比表 方程类型 一般形式 未知数最高次数 二次项系数要求 一元一次方程 ax+b=0(a≠0) 无二次项 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 a≠0 知识点02：解一元二次方程四大解法（核心内容） 核心思想：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 解法1：直接开平方法 适用形式：(x+m)=n ①n>0:x+m+n,两个不相等实数根； ②n=0:x+m0,两个相等实数根： 试卷第3页，共3页 ③n<0:无实数根。 解题步骤：左边化为完全平方式一直接开平方→移项求x。 解法2：配方法（基础，推导求根公式的工具） 通用步骤（以ax2+bx+c=0,a≠0)为例)： 1.移项：常数项移到等号右侧ax2+bx=-c: 2.化1：方程两边同时除以二次项系数a,x4 OX--C : 3配方：两边同时加一次项系数一半的平方(2a) 4.写成完全平方：(x+b)2=b2-4ac 2a 4a2 5.开平方求解。 解法3：公式法（通用万能解法） ☑适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax+bx+c=0(a≠0) 2.计算判别式：△=b2-4ac 3.若A0,代入求根公式：x=-b±b-4ac:若△<0，方程无实数根 2a 解法4：因式分解法（计算最快，优先选用） 试卷第4页，共3页 1.适用条件：方程一侧为0，另一侧整式能分解成两个一次因式乘积； 2.原理：若A:B=0,则A=0或B=0,实现降次： 3.常见分解类型：提公因式、平方差a-b?、完全平方a±2ab+b2; 4解题步骤：移项使右边=0→因式分解→分别令两个因式=0→解两个一元一 次方程。 知识点03：一元二次方程.四大方法·择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方不含一次项、平方式 直接对等式两边开平方，注意 最简单 法 等于常数 正负 方程易分解为两个整 移项整理为乘积为0，分别求 因式分解法 计算快 式乘积形式 根 所有一元二次方程通 配方转化为完全平方式，再开 配方法 步骤多 用 所有一元二次方程通 公式法 套用固定求根公式，代入计算 万能法 用 知识点04换元法（整体换元，针对高次/重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)十q0,整体重复 出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 试卷第5页，共3页 2核心思路：把重复的整体设为新未知数y,将复杂高次方程转化为标准一元二 次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设y=)重复代数式： ②将原方程替换为关于y的一元二次方程： ③选用因式分解公式法解出y的取值： ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程：⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y+x,原方程变为y-4y-12=0,因式分解求出y,再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出 现，是中考高频简便运算技巧。 知识点05：一元二次方程根的判别式|秒判根的个数·必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，把△=b2-4ac叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b2.4ac) △0：两个不相等实数根 △0：两个相等实数根 试卷第6页，共3页 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即a0,含参数题目必须 分类讨论。 知识点06：高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 认为(m-2)x2+3x=0一定是一m≠2时才是一元二次遗忘一元二次方 忽略a≠0 元二次方程 方程 程定义限制 开平方漏正负 K-1=±2，两根 平方根有两个互 (x-1)2=4,只写x-1=2 号 X1=3,X2=-1 为相反数值 配方只单边加 两边同时加4， 未遵守等式基本 k2-4x=5,化为(x-2)2=5 常数 (x-2)2=9 性质 求根公式代错 a、b、c需连带 x2-3x-4=0,误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 符号 前面符号 随意约去含未 移项x(x-3)=0,两根 丢失x=0这个根 x2=3x直接约x,得x=3 知数项 0、3 试卷第7页，共3页 常考题型精讲精练 题型1.一元二次方程的定义 【典例】写出一个关于x且二次项系数为2的一元二次方程一 【跟踪专练1】下列关于x的方程是一元二次方程的是() A. B x2+x=1 ax2+bx+c=0 C.xr2+1)=2 D x(x+1)=1 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程m2-x-2=0有两个相等实数根，则的值为 【跟踪专练3】下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x+2x=1 B.ax2+bx+c=0 c.3x+1=0 D.x2-2=0 题型2化成一元二次方程一般式 【典例】一元二次方程(+3-x=2(+3列化成一般形式为 2(x+1)2=7x+5 【跟踪专练1】将方程 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为 () A.2,3 B.2,-3 C.2,7 D.2,-7 【跟踪专练2】将方程2x2+8=9x化为一般形式是 其中a=一，b= C三 则b-4ac= 用求根公式可得 X2= 题型3.一元二次方程解的判定 【典例】请你写出其中一个解为x=2的一个一元二次方程 试卷第8页，共3页 【跟踪专练1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c满足4a+2b+c=0, 4a-2b+c=0 x+bx+c=0 ,则一元二次方程 的根为() A.=1为=2 B.=-】为2=-2 C.=15=-1 D.=2x=-2 x2+bx+c=0(a≠0) 【跟踪专练2】在一元二次方程 的研究中小明发现4a-2b+c=0,小 红发现9a+3b+c=0,而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的 根为 【跟踪专练3】下表是某同学求代数式ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)的值的情况.根 据表格中的数据，可知关于x的一元二次方程ax+bx-3=0的一个根为() 0 3 ax2+bx 0 3 P 15 A.0 B.1 C.2 D.3 题型4.由一元二次方程定义求参数 【典例】已知关于x的方程k-3)+x+2k+1=0 是一元二次方程，则k的值应为 【跟踪专练1】已知m+3)1-3x-7=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.3 B.-3 C.±3 D.0 【跟踪专练2】若关于x的方程1+m)x-4=0 一元二次方程，则m= 【跟除专练3】若关于x的方程m-3引”-x=5是一元二次方程，则实数m的值为《) A.3 B.-3 C.±3 D.9 试卷第9页，共3页 题型5.由一元二次方程的解求参数 【典例】已知m是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则代数式2m2+4m的值是 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程 x2+bx+3=0(a≠0) 的一个根是x=1,则代数式 2026-a-b的值为（) A.2029 B.2023 C.-2029 D.2025 【跟踪专练2】若x=m是方程2x2-6x-7=0的根，则m2-3m= 【跟踪专练3】已知m为方程x2+3x-2023=0的根，那么m3+2m2-2026m+2023的值为 () A.-2022 B.2022 C.0 D.4044 题型6.直接开平方法 【典例】一元二次方程x2-4=0的实数根是 【跟踪专练1】若关于x的方程x-4=m+3 实数根，则m的取值范围是() A.m≥0 B.m>-3 C.m≥3 D.m≥-3 1 【跟踪专练2】若一元二次方程a(x-b=7的两根为22，则a+b等于 【跟踪专练3】如果=0是关于*的方程m-3列r+2x+m2-9=0 的根，那么m的值为 () A.3 B.-3 C.±3 D.0 题型7.配方法 【典例】用配方法解一元二次方程-6x=1时，配方后所得方程为x-3)= 试卷第10页，共3页 【跟踪专练1】如果用配方法解一元二次方程x2-4x-1=0,那么方程可变形为() A.(x-4=17B.(x+4=17C.(x-2}=5 D.(x-2)}=-3 【跟踪专练2】将一元二次方程r+4-3=0化成+p=9的形式，则P+9的值为 【跟踪专练3】一元二次方程x2-6x-1= 的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水 覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为：+=6，则 下列判断正确的是() A.a=-3 B.a=3 C.b=10 D.b=-1 题型8.配方法的应用 【典例】利用配方法可求出二次三项式x2-8x+22的最小值为」 【跟踪专练1】用配方法将方程r+6x-2022=0转化为x+m=”的形式，则m-”的值 为() A.2028 B.-2028 C.2024 D.-2024 m 【跟踪专练2】把方程x2-6x+8=0转化为(x+m)2=n的形式，则n 【跟踪专练3】不论a为何实数，多项式a2-4a+6的值一定是() A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定 题型9.由判别式判断方程根的情况 【典例】一元二次方程2x2-3x+1=0根的判别式的值为 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程x+mx-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 试卷第11页，共3页 2x2-2y+y2=1 x+2y 【跟踪专练2】己知x,y满足 ，则 的最大值为 【跟踪专练3】下列关于x的方程中有实数根的是() A.x2+1=0 1= B.x-1x-1 1=x C.xx-1 D.x2-mx-1=0 题型10.由方程根的情况求参数 【典例】当t满足」 时，关于x的一元二次方程x2+x+t=2t-1有实数根. 【跟踪专练1】若方程x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值不可能是() A.3 B.4 C.-5 D.-6 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程-2(m+)x+m+5=0 两个实数根，则实 数m的取值范围为 【跟踪专练3】若关于x的方程x2-6x+9=0有两个实数根，则k的取值范围是() A.k≠0 B.k≤1且k≠0C.k≤1 D.k≥1 题型11.公式法解一元二次方程 【典例】方程2x2-5x+1=0的解是 -(-2)±V(-2)}-4×3x(-1) 【跟踪专练1】某一元二次方程的根用求根公式表示为x= 2×3 ,则 该一元二次方程为() A.-2x2+3x-1=0 B.3x2-2x-1=0 C.2x2-3x+1=0 D.3x2-2x+1=0 【跟踪专练2】对于实数a,b,定义：a*b=a+b,a#b=ab.若x>0,且满足 (1*x)#(1#x)=1 则术 试卷第12页，共3页 【跟踪专练3】用公式法解一元二次方程x2-2x=3时，b2-4aC的值为() A.-8 B.8 C.16 D.17 题型12.因式分解法解一元二次方程 【典例】关于*的一元二次方程x-2x-9)= 的其中一个解是x三 【跟踪专练1】已知2是关于x的一元二次方程x+2x-k=0的一个实数解，则该方程的 另一个解为() A.-4 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练2】(x-2+x-2=0 的根是一， x2-4x+3=0的根是一. m2+m+n(m≥n) m*n= 【跟踪专练3】对于实数m,,现定义一种运算“”如下： n2+m+n(m<n),若 x*(-2)=10 ,则实数x的值为() A.3或-4 B.-4或8 C.8 D.3 题型13换元法解一元二次方程 【典例】关于*的方程(+m+h=0的解是=-2，与=4(a、,m均为常数 a≠0)，则方程ar+m-+h=0 解是 【跟踪专练1】若关于*的一元二次方程r+c+5=0a≠0)有一根为x=2025,则一元 二次方程(x-2+br-2b=-5有一个根为（） A.2021 B.2023 C.2025 D.2027 【跟踪专练2】已知实数x满足r--4-小-12=0 则代数式x-x+1的值为 试卷第13页，共3页 【跟踪专练3】已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a、b、c均为常数，且a≠0)的解是 6=-1,5=2,那么方程(2x+3+b(2x+3列+c=0 的解是() 1 1 A.X=-2,x3= 2 B.=-2,为=2 3 C.=0,6=-2 D.△<0，：方程无实数解 题型14解分式方程 1 1 【典例】代数式与代数式x-2的和为1，则x= 【原除专练】用铁元法解方盘号普-？计、设y,则原方座可化为关于少m 方程是() A少+2y-3=0 B y2+2y+3=0 C.y-2y-3=0 D.y-2y+3=0 1 1 _2 【跟踪专练2】方程c+x+2)(c+2Gx+3)3的解是 【跟踪专练3】己知B是关于”的一元二次方程 2-(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数 11=1 根，且满足aB，则m的值是() A.3 B.-1 C.3或1 D.-3或1 解答题 1.己知关于x的一元二次方程3xm3-2mx-1=0. (1)求m的值； 试卷第14页，共3页 (2)设这个方程的两个根是x,七，且+=。，求的值。 2.己知：m是关于的方程-2r+3=0的一个根，n=b+V你-3.其中mb均为正整 数，且这三个数互不相等. (1)求证：m+n=2b: (2)求b的值. 3.解下列方程： 0r-2x-1=0 (25(3x-2)y°=4x(2-3x) )5x(+3)=20x+3) ④3r-6x+2=0 4.解方程： 3r-2-16 (②)r+4r-7=0 2-(m+2)x+2m=0 5.已知关于x的一元二次方程 (1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为4，求m的值. 6.【阅读材料】解方程：x-3x2+2=0. 解：设x2=m,则原方程变为m2-3m+2=0, 解得， m1=1,m2=2 m=1 当 时，r=1,解得=山 当%=2,2=2 解得=士V2 试卷第15页，共3页 所以，原方程的解为=，6=-1,5=V2,x,=-V2 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：x-5x2+6=0; (2利用上述方法，解方程.（r-2x°-4r2+8x-12=0 x 2x 7.解方程：x+13r+3x. 8.配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的 最大值和最小值等.例如，我们用此方法求代数式x+6x+18的最小值的过程如下： x2+6x+18=x2+6x+9+9=(x+3)2+9 解： :(x+3)2≥0 ∴.(x+3)2+9≥9 .x2+6x+18 的最小值是9. 请根据以上材料，完成下列问题： -2x2+4x+6=-2(x-102+8 (1)代数式 当 时，代数式2x+4r+6有 “有最 值（填“大”或“小”），这个值是 (2)比较代数式3x2-x+1与2x2+3x-6的大小，并说明理由. 试卷第16页，共3页 专题01一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 1.概念掌握 理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程必须满足的三个条件；能准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数；熟记一元二次方程的一般形式，会将任意一元二次方程化为标准形式，区分一元一次方程与一元二次方程。 2.方程的解认知 理解一元二次方程的解（根）的含义，能代入数值检验是否为方程的根；能根据方程的根，反求方程中的未知参数。 3.解法预习掌握 初步掌握解一元二次方程的四种基本方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；了解每种方法的适用题型，能根据方程结构选择最简解法；会简单利用直接开平方法、因式分解法求解基础一元二次方程。 4.公式理解目标 预习推导求根公式的过程，感知配方法到公式法的转化思想；熟记求根公式，初步了解根的判别式的作用，能初步判断方程根的情况。 5.运算能力目标 掌握移项、整理、化二次项系数为 1 的基本解题步骤；规范解方程书写格式，避免漏项、符号出错、漏写解等基础运算错误。 6.数学思想 体会降次思想（一元二次方程转化为一元一次方程）；掌握转化、配方、分类讨论的数学思想，为后续解方程、应用题、综合题打基础。 7.分层预习要求 基础层：熟记定义、一般形式、各部分名称，会判断方程类型、检验方程的根； 提高层：会用直接开平方法、因式分解法解简单方程，初步掌握配方步骤； 拓展层：能对比四种解法的优劣，会根据题目灵活选择最优解法。 8.预习重难点标记 重点：一元二次方程定义识别、方程标准化、基础解法步骤。 难点：配方法完整步骤、降次思想理解、解法择优。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程的相关概念 2.四大解法 3.四大方法择优解题 4.换元法 5.一元二次方程根的判别式 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程一般式 3.一元二次方程解的判定 4.由一元二次方程定义求参数 5.由一元二次方程的解求参数 6.直接开平方法 7.配方法 8.配方法的应用 9.由判别式判断方程根的情况 10.由方程根的情况求参数 11.公式法解一元二次方程 12.因式分解法解一元二次方程 13.换元法解一元二次方程 14.解分式方程 加强题 解答题8题 知识点01:一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 注意：整理一般形式时，必须把所有项移到等号左侧，右侧为 0；各项系数包含前面的符号。 3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 4.一元一次、一元二次方程对比表 方程类型 一般形式 未知数最高次数 二次项系数要求 一元一次方程 ax+b=0(a≠0) 1 无二次项 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 a≠0 知识点02:解一元二次方程四大解法（核心内容） 核心思想：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 解法 1：直接开平方法 适用形式：(x+m)2=n 1 n>0：x+m=，两个不相等实数根； 2 n=0：x+m=0，两个相等实数根； 3 n<0：无实数根。 解题步骤：左边化为完全平方式→直接开平方→移项求x。 解法 2：配方法（基础，推导求根公式的工具） 通用步骤（以ax2+bx+c=0,a≠0)为例）： 1.移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 2.化 1：方程两边同时除以二次项系数a，x2+x=； 3.配方：两边同时加一次项系数一半的平方 ()2； 4.写成完全平方：(x+)2= 5.开平方求解。 解法 3：公式法（通用万能解法） ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 解法 4：因式分解法（计算最快，优先选用） 1.适用条件：方程一侧为 0，另一侧整式能分解成两个一次因式乘积； 2.原理：若A B=0，则A=0或B=0，实现降次； 3.常见分解类型：提公因式、平方差a2-b2、完全平方a22ab+b2； 4.解题步骤：移项使右边 = 0→因式分解→分别令两个因式 = 0→解两个一元一次方程。 知识点03:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点04:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设\(y=\)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点05:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 忽略a≠0 认为(m-2)x2+3x=0一定是一元二次方程 m≠2时才是一元二次方程 遗忘一元二次方程定义限制 开平方漏正负号 (x-1)2=4，只写x-1=2 x-1=±2，两根x1=3,x2=-1 平方根有两个互为相反数值 配方只单边加常数 x2-4x=5，化为(x-2)2=5 两边同时加 4，(x-2)2=9 未遵守等式基本性质 求根公式代错符号 x2-3x-4=0，误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、b、c需连带前面符号 随意约去含未知数项 x2=3x直接约x，得x=3 移项x(x-3)=0，两根0、3 丢失x=0这个根 题型1.一元二次方程的定义 【典例】写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A中未规定，若，方程不是二次方程，故A错误； 选项B中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故B错误； 选项C展开后为，未知数最高次数为3，不是二次方程，故C错误； 选项D展开后为，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， 符合一元二次方程定义，故D正确． 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，判别式等于零，且二次项系数不为零，列方程求解． 【详解】解：方程是一元二次方程，因此，判别式， 令，得， 解得，且，符合条件， 故答案为： 【跟踪专练3】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 题型2.化成一元二次方程一般式 【典例】一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】将方程化为一般形式是___________，其中_____，_____，_____，则_____，用求根公式可得______，______． 【答案】 2 8 【分析】根据给出一元二次方程的一般形式，找到其中的， 表达出根的判别式,再结合条件填空即可。 【详解】解：将关于的方程化为一般形式是， 其中则， 用求根公式可得： 故答案为： 【点睛】本题主要一元二次方程的一般形式，根的判别式，求根公式。 题型3.一元二次方程解的判定 【典例】请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【跟踪专练2】在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 【跟踪专练3】下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 题型4.由一元二次方程定义求参数 【典例】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 【跟踪专练3】若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 题型5.由一元二次方程的解求参数 【典例】已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 【跟踪专练2】若是方程的根，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后通过代数变形求解的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知为方程的根，那么的值为（　　） A．-2022 B．2022 C．0 D．4044 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故选：C． 题型6.直接开平方法 【典例】一元二次方程的实数根是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 【跟踪专练2】若一元二次方程的两根为，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如果是关于的方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程，把代入方程解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， 故选：． 题型7.配方法 【典例】用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 【详解】解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 【跟踪专练1】如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 【跟踪专练2】将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 【跟踪专练3】一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 题型8.配方法的应用 【典例】利用配方法可求出二次三项式的最小值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，对于任意实数，则，故当时，，即可作答． 【详解】解： ， 对于任意实数，则， 当时，，即二次三项式的最小值为， 故答案为：6． 【跟踪专练1】用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】把方程转化为的形式，则_____． 【答案】 【分析】根据配方法解答即可． 本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵, 配方，得，即． 故． 故， 故答案为：． 【跟踪专练3】不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 题型9.由判别式判断方程根的情况 【典例】一元二次方程根的判别式的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，代入题中数值计算即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【跟踪专练2】已知x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，再根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：令， 则代入， 得， ， ， 解得， ， 则的最大值为，则的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列关于的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、解分式方程，利用一元二次方程的判别式判断根的情况是解题的关键．通过计算每个方程的判别式或解方程，判断方程是否有实数根，即可得出答案． 【详解】A、， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； B、 去分母，得， 即， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解，故此选项不符合题意； C、 去分母，得， 整理得， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； D、 ， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意； 故选：D． 题型10.由方程根的情况求参数 【典例】当t满足_______________时，关于的一元二次方程有实数根． 【答案】 【分析】需先将方程化为一元二次方程的标准形式，计算判别式，再根据判别式非负求解答案即可． 【详解】解：， ， 由于一元二次方程有实数根， ． 故答案：． 【跟踪专练1】若方程有两个不相等的实数根，则b的值不可能是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式可求出b的取值范围，再对比各选项即可得出答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 化简，得， A选项中，，不满足条件； B选项中，，满足条件； C选项中，，满足条件； D选项中，，满足条件； ∴的值不可能是． 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是利用判别式建立不等式求解参数范围． 先确定一元二次方程的系数、、，再计算判别式，根据方程有两个实数根的条件列出不等式，最后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：对于方程， ∵，，， ∴ ∵方程有两个实数根 ∴，即， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根 ∴，解得且． 综上，的取值范围是且． 题型11.公式法解一元二次方程 【典例】方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 【跟踪专练1】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【跟踪专练2】对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 【跟踪专练3】用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 题型12.因式分解法解一元二次方程 【典例】关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 【答案】2（或9） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得或， 故答案为：2（或9）． 【跟踪专练1】已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的解法以及根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握代入求值法和根与系数的关系公式是解题的关键． 方法一：将已知根代入方程，求出参数的值，再解一元二次方程得到另一个根． 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，直接根据两根之和求出另一个根． 【详解】方法一： ∵是方程的一个实数解， ∴将代入方程得， 即， ∴ 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∴方程的另一个解为； 方法二： 设方程的另一个解为， ∵在一元二次方程（）中，两根之和为， 在方程中，，， ∴， ∴， 即方程的另一个解为． 故选：A． 【跟踪专练2】的根是______，的根是______． 【答案】 ， ， 【详解】解：， ， ， ，， 解得：，； ， ， ，， 解得，． 【跟踪专练3】对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 题型13.换元法解一元二次方程 【典例】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 【跟踪专练2】已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 【跟踪专练3】已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 题型14.解分式方程 【典例】代数式与代数式的和为1，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得，， 解得，，， 经检验，，均为原方程的解， 故答案为：或． 【跟踪专练1】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】方程的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程． 先计算得到，可得，再解分式方程即可． 【详解】解：∵ ∴， 即 整理得， 解得， 检验：当时，， 当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 解答题 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 2．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 3．解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得； （3）解： 解得； （4）解：在中，， ∴ ， ∴ ， 解得． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； （2）解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 5．已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 6．【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 7．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ， ∴或， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 故原方程的解为，． 8．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $