期末复习：二项式定理5种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦二项式定理5大高频考点，通过例题与变式构建从基础计算到性质应用的逻辑链条，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求展开式系数|8题|常数项/特定项系数/系数最大项|基于二项展开式通项公式，强化指数运算与方程思想| |展开式性质|8题|二项式系数最大/最小项/系数和|衔接二项式系数对称性与增减性，深化性质应用| |系数和问题|6题|多选题为主，赋值法求系数和|通过赋值转化，建立代数式与系数和的联系| |定理应用|8题|余数/个位数/整除问题|结合数论，将展开式转化为整除判定工具| |杨辉三角形|4题|多选题，性质与数字规律|体现二项式系数几何直观，关联组合数性质|

期末复习：二项式定理5种高频考点专项训练 期末复习：二项式定理5种高频考点专项训练 考点目录 利用二项式定理求展开式的系数 二项展开式的性质 展开式系数和问题 二项式定理的应用 杨辉三角形问题 考点一 利用二项式定理求展开式的系数 例1．（25-26高二下·湖北十堰·期末）在二项式的展开式中，常数项为（    ） A．−160 B．−60 C．60 D．160 【答案】C 【详解】通项， 令 得，常数项. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式的第3项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式的第3项是． 例3．（2026·北京朝阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】24 【详解】二项式展开式通项公式为，， 令，解得，所以， 所以二项式展开式中，的系数为. 例4．（2026·海南三亚·一模）的展开式中，项的系数为__________． 【答案】 【详解】的展开式中，含的项是，所以项的系数为20. 变式1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，求出答案. 【详解】在的展开式中，通项， 令，即，解得，由题意，得． 变式2．（25-26高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式的通项为 . 令，得， 所以 的展开式中的系数为. 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 【答案】8 【分析】设展开式中系数最大的项是第项，则，计算即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为且. 设展开式中系数最大的项是第项， 则，即， 即，解得，又，所以， 所以展开式中系数最大的项是第8项. 变式4．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）展开式中含项的系数为__________． 【答案】480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 考点二 二项展开式的性质 例1．（25-26高二下·河北唐山·期中）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 例2．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（    ） A．160 B．120 C．80 D．20 【答案】A 【分析】首先写出二项式展开式通项，再由二项式系数的性质确定最大系数对应项，即可求项的系数. 【详解】展开式的通项为， 由于二项式共有7项，故第四项的二项式系数最大，即， 所以二项式系数最大的项的系数为. 例3．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【分析】根据二项式系数和得，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项系数即可. 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 例4．（2026·安徽六安·模拟预测）已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______. 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式的公式求解即可. 【详解】由展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，得，解得. 展开式通项公式为. 令，则，故常数项为. 变式1．（25-26高二下·湖北十堰·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【详解】由二项式系数性质可知，当二项式系数存在唯一最大值时，该项为中间项， 已知展开式中二项式系数只有第5项最大，说明第5项为唯一中间项， 则，解得． 变式2．（25-26高二下·江苏·期中）在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】结合二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项展开式的二项式系数满足： 若为偶数，展开式共项，只有中间1项的二项式系数最大，该中间项为第项； 由题知第7项的二项式系数最大，即为偶数的情况， 所以，解得， 变式3．（2026·上海宝山·三模）在的展开式中系数最小的是第________项. 【答案】8 【详解】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为， 当为奇数时展开式中项的系数才会取最小值， 由于的展开式中第7项和第8项的二项式系数最大， 则，即第8项的系数最小． 变式4．（25-26高二下·广东·期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 __ ． 【答案】252 【分析】根据二项式系数的性质求，再求常数项. 【详解】由的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 得，解得，则展开式中的常数项为． 故答案为：252． 考点三 展开式系数和问题 例1．（24-25高二下·福建厦门·期中·多选）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 【答案】BC 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 例2．（25-26高二下·江苏·阶段检测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 【答案】AC 【分析】利用二项式定理以及对变量取特殊值可解. 【详解】令，则. 所以. 由二项式定理可得展开式的通项，且. 对于A，，故A正确； 对于B，令，得. 令得 所以，即，故B错误； 对于C，对两边取导数， 得. 令，得，故C正确； 对于D， . 因为(，，)， 所以除以7的余数为2.今天是星期二，天后是星期四，故错误. 例3．（25-26高二下·河南·阶段检测·多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】的展开式中含的项为， 所以，故A错误； 令，可得，令可得， 两式相加可得，故B正确； 令可得，所以，故C错误； 等式两边对求导可得：， 令，得，故D正确. 变式1．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（     ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数相等求出的值，根据二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数和、及赋值法求解即可. 【详解】选项A：二项式展开中第项的二项式系数为，由题意知，解得，A正确. 选项B：二项式展开的二项式系数和恒为，时，二项式系数和为，B正确. 选项C：令，代入得，C正确. 选项D：令，得常数项， 令，代入原式得， 两式相减得，D错误. 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接对等式通过赋值法、导数法分别计算各选项对应的系数和，再逐一判断选项正误可得. 【详解】选项A：令，代入等式左边得，即，A错误. 选项B：是等式两侧的系数，左边最高次项为，故，B正确. 选项C：令，代入等式左边得，即， 结合得，C错误. 选项D：对等式两侧关于求导， 得， 令，左边值为，即，D正确. 变式3．（25-26高二下·广东深圳·期中·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】ABD 【分析】先由二项式第5项与第8项的二项式系数相等，即，得，再由通项公式，令，算出，接着令得各项系数和为，排除C，最后令得. 【详解】二项式展开通项为 对于A：由题意可得，则，故A正确； 对于B：； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，故D正确. 考点四 二项式定理的应用 例1．（25-26高二下·浙江台州·期末）在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】二项式定理结合组合数的性质进行求解. 【详解】因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为 . 所以, 展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7. 例2．（25-26高二下·江苏连云港·期末）被5除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由利用二项式定理展开，分析得出结果. 【详解】因为 故， 因是正整数，所以被除所得的余数是. 例3．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期______． 【答案】三 【分析】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【详解】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三 例4．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知， ①若，则 ②若，则 ③若，则中含项的系数为48 ④ 若为偶数，则能被4整除 则正确命题的序号是_______ 【答案】①②④ 【分析】由，令得，由解出即判断①，由得，令，利用单调性即可判断②，先求，利用二项式定理即可判断③，由，利用二项定理得能被8整除，进而判断④. 【详解】由，令得：， 所以，故①正确； 由得，令， 可知在上单调递减，又，故②正确； 若，则， 所以，由的通项为，的通项为， 所以中的系数为：，故③错误； 由，若时，， 由能被8整除，所以能被4整除，故④正确. 故答案为：①②④. 变式1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】分别赋值及，结合二项展开式即可得出答案. 【详解】令，则， 令，可得， 所以， 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 变式2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】 ， 展开式中除了最后一项，其余均为10的倍数，故的个位数为4. 变式3．（25-26高二下·河北·阶段检测）已知能够被15整除，其中，则__________． 【答案】14 【分析】由，结合二项式定理可得除以的余数，从而能到的值 ， 【详解】 . 因为75可以被整除， 所以可以被整除. 由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以. 变式4．（2025·广东·模拟预测）的百位、十位、个位所对应的数字按原顺序排列构成的三位数是_____________． 【答案】249 【分析】根据二项式定理可得，分析各项末三位是否为0，可知时，对于各项末三位均为0，然后计算时对应项的末3位，相加求得末3位数. 【详解】因为， 当时，必为的倍数， 即末三位均为0，不会对展开式中百位、十位、个位产生影响， 当时，可得，末三位均为0. 考虑的情况： 当，； 当，； 所以将这两项相加得到20249，取后三位即249． 故答案为：249． 考点五 杨辉三角形问题 例1．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测·多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（   ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 【答案】AB 【详解】， 所以，A正确； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，B正确； ，C错误； 第行数字的最大值为，第行数字的最大值为， 则，D错误. 例2．（25-26高二下·山东聊城·期中·多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 【答案】ACD 【分析】根据题意结合组合数性质判断AB；构造，利用赋值法判断C；根据，结合二项式定理分析判断D. 【详解】对于选项A：第2026行的第1013个数和第1015个数分别为，， 由组合数性质可得，所以第2026行的第1013个数和第1015个数相等，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1540，故B错误； 对于选项C：因为杨辉三角中第行的第个数为，则， 又因为， 令，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 又因为， 且展开式中项的系数为， 因此，D正确. 变式1．（25-26高二下·四川成都·期中·多选）如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A．第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第45行的所有数字之和被9除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ABD 【分析】利用组合数对称性、组合数求和公式、二项式定理构造分析余数、组合数性质与二项式展开，逐一验证各选项正误. 【详解】对于选项A： 第行的第个数为，因此第个数为，第个数为. 由组合数对称性，得，故A正确. 对于选项B： 第行的第个数为，所求和为. 由组合数求和公式，得，故B正确. 对于选项C： 第行所有数字之和为， 由二项式定理展开：, 展开式中前项均含有因式，均可被整除，仅剩最后一项， 因此（），即， 可得被除余数为，故C错误. 对于选项D： 由组合数性质，得数列为公差不为的等差数列. 是关于的次多项式，等差数列对应一次多项式，故，即. 所以 ， 故D正确. 变式2．（25-26高二下·山西临汾·期中·多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】CD 【分析】A：利用组合数的性质求解判断；B：由第行中的数为的展开式的二项式系数判断；C：由第n行的第i个数为代入求解判断；D：根据第20行中的数为的展开式的二项式系数求解判断. 【详解】对于A：， ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第n行的第i个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确． 故选：CD 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：二项式定理5种高频考点专项训练 期末复习：二项式定理5种高频考点专项训练 考点目录 利用二项式定理求展开式的系数 二项展开式的性质 展开式系数和问题 二项式定理的应用 杨辉三角形问题 考点一 利用二项式定理求展开式的系数 例1．（25-26高二下·湖北十堰·期末）在二项式的展开式中，常数项为（    ） A．−160 B．−60 C．60 D．160 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式的第3项是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·北京朝阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 例4．（2026·海南三亚·一模）的展开式中，项的系数为__________． 变式1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 变式4．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）展开式中含项的系数为__________． 考点二 二项展开式的性质 例1．（25-26高二下·河北唐山·期中）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 例2．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（    ） A．160 B．120 C．80 D．20 例3．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 例4．（2026·安徽六安·模拟预测）已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______. 变式1．（25-26高二下·湖北十堰·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第5项最大，则n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式2．（25-26高二下·江苏·期中）在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 变式3．（2026·上海宝山·三模）在的展开式中系数最小的是第________项. 变式4．（25-26高二下·广东·期末）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 __ ． 考点三 展开式系数和问题 例1．（24-25高二下·福建厦门·期中·多选）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 例2．（25-26高二下·江苏·阶段检测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 例3．（25-26高二下·河南·阶段检测·多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（     ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·广东深圳·期中·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C．展开式的各项系数和为 D． 考点四 二项式定理的应用 例1．（25-26高二下·浙江台州·期末）在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例2．（25-26高二下·江苏连云港·期末）被5除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期______． 例4．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知， ①若，则 ②若，则 ③若，则中含项的系数为48 ④ 若为偶数，则能被4整除 则正确命题的序号是_______ 变式1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 变式2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3．（25-26高二下·河北·阶段检测）已知能够被15整除，其中，则__________． 变式4．（2025·广东·模拟预测）的百位、十位、个位所对应的数字按原顺序排列构成的三位数是_____________． 考点五 杨辉三角形问题 例1．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测·多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（   ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 例2．（25-26高二下·山东聊城·期中·多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 变式1．（25-26高二下·四川成都·期中·多选）如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A．第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第45行的所有数字之和被9除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 变式2．（25-26高二下·山西临汾·期中·多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 2 学科网（北京）股份有限公司 $