2025-2026学年高二下学期数学期末冲刺模拟卷（人教A版）

**基本信息** 本试卷覆盖高二数学核心知识，通过分层设问与综合题型，考查数学思维中的逻辑推理、运算能力及应用意识，适配期末复习与能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、二项式定理、导数切线|基础概念与运算结合，如第4题导数几何意义| |多选|3/18|复数性质、排列组合、数列|多维度辨析，如第10题分类计数原理应用| |填空|3/15|函数极值、椭圆离心率、三角函数零点|综合应用，如第14题三角函数零点与极值点关联| |解答|5/77|等比数列、立体几何、圆锥曲线、函数导数|分层设问，如第19题从切线到恒成立问题，考查逻辑推理与综合运算|

2025-2026学年高二第二学期数学期末模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） B. C. D. 2. 已知复数，是的共轭复数，则=（ ） A. B. C. D. 3. 展开式的常数项是（ ） A. 496 B. -496 C. -495 D. 495 4. 已知曲线，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5.已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，取得最小值 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最小值 D. 没有最小值 6. 已知随机变量X的分布列如下： X -1 1 t P p 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，点A在双曲线C上，点B在y轴上，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数f(x)满足，若，则=（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 10. 现有3幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1幅画布置房间，有9种不同的选法 B．从这些国画､油画､水彩画中各选1幅布置房间，有24种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有26种不同的选法 D．从3幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左､右两边墙上的指定位置，共有5种不同的挂法 11．在数列中，，若，则下列结论正确的是（   ） A．是等差数列 B． C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是__________． 13．已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是_____________. 14．已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．如图，在平面四边形中，，．   (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 17.已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 18．如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学期末模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） B. C. D. 1.【答案】A. 【详解】因为函数单调递增，当时，，所以.函数单调递减，当时，，所以，则=. 2. 已知复数，是的共轭复数，则=（ ） A. B. C. D. 2.答案A. 【详解】由可知共轭复数=，则 = = = . 3. 展开式的常数项是（ ） A. 496 B. -496 C. -495 D. 495 3.【答案】D. 【详解】由通项，令 = 0，解得，所以常数项为. 4.已知曲线，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4.【答案】A. 【详解】化简函数，求导得切线斜率表达式 ，因为，，即切点为，切线斜率为 . 由点斜式可得切线方程 整理得 .故答案选A. 5.已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，取得最小值 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最小值 D. 没有最小值 5.【答案】C. 【详解】设等差数列的公差为d，由题意可知 ，两式相减：，代入得： .所以，另，即，因为，所以前5项均为负数，从第6项开始为正数.因此时，取得最小值. 6. 已知随机变量X的分布列如下： X -1 1 t P p 若，则（ ） A. B. C. D. 6.【答案】C. 【详解】由分布列概率和为1可知，，因为，解得，所以，解得.所以 = ，则 . 7. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，点A在双曲线C上，点B在y轴上，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7.【答案】B. 【详解】由可知三点共线，设k，则所以，且=2a+2k,因为，所以为直角三角形，满足，即，解得a=m，且cosB= 在中，，根据余弦定理有=+-2x3kx3kxcosB，解得c=m，所以离心率e== . 8. 已知函数f(x)满足，若，则=（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 8.【答案】D. 【详解】由可得，，代入前面式子可得，，化简得，因此函数f(x)周期为. 由，而，，所以，因为，代入数值得。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 9.【答案】BC 【详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误.    10. 现有3幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1幅画布置房间，有9种不同的选法 B．从这些国画､油画､水彩画中各选1幅布置房间，有24种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有26种不同的选法 D．从3幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左､右两边墙上的指定位置，共有5种不同的挂法 10.【答案】ABC 【详解】A，题目当中总共有9幅画，在9幅画中选一幅画，一共有9种选法，故A正确； B，在国画中选一幅有种，油画中选一幅有种， 水彩画中选一幅有种，因此在这些国画､油画､水彩画中各选1幅布置房间， 一共有种，故B正确； C，要选出2幅不同种类的画，有3种选法： 第一种选法为国画和油画，有种； 第二种选法为国画和水彩画，有种； 第三种选法为油画和水彩画，有种. 一共有种，故C正确； D，从3幅国画选2幅出来有种，又要按左、右排序，有种，故D错误. 11．在数列中，，若，则下列结论正确的是（   ） A．是等差数列 B． C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为 11.【答案】BCD 【详解】A：， 因为，所以由递推关系可知该数列每一项都为正实数， 所以由， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故本选项说法不正确； B：由上可知：数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故本选项说法正确； C：由上可知：， 所以数列的前n项和为 ，故本选项说法正确； D：因为， 所以数列的前n项和为，故本选项正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是__________． 12.【答案】 【详解】分析：求出函数的导数，得到函数的极值点，根据函数在处取得极小值，求出的范围即可． 详解：的定义域是， ∵， 令 ，解得： 或x=1， 若f（x）在处取得极小值， 则 解得：， 故答案为． 点睛：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 13．已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是_____________. 13.【答案】 【分析】先根据的斜率得到，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率． 【详解】因为经过左焦点，且斜率为， 故，为三角形内角， 所以，所以， 则，设，则， 由椭圆的定义可知：， 即，解得：， 所以， 由勾股定理得：， 故， 解得：，故椭圆离心率． 故答案为：. 14．已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 14【答案】 【分析】利用正弦型函数性质，函数的导数，结合函数在给定区间的零点个数以及极值点个数建立不等式求解即可. 【详解】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 15.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质和题目已知条件，列出方程，求出公比，进而写出通项公式； （2）由（1）求出，进而求得，得的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， ，，由等比性质可知， 因为，所以，， . （2）因为，则， 所以， 所以 . 16．如图，在平面四边形中，，．   (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 16.【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案； （2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得； （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 17.已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 17.【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 18．如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18.【答案】 (1)证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2）取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3）设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 19．已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19.【答案】(1) (2)由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）略 （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学期末模拟卷 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D A C C B D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC ABC BCD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质和题目已知条件，列出方程，求出公比，进而写出通项公式； （2）由（1）求出，进而求得，得的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， ，，由等比性质可知， 因为，所以，， . （2）因为，则， 所以， 所以 . 16.【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案； （2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得； （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 17.【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 18.【答案】(1)证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2）取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3）设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 19.【答案】(1) (2)由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）略 （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $