期末复习：独立重复试验的概率问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末复习：独立重复试验的概率问题复习讲义 期末复习：独立重复试验的概率问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 独立重复试验满足 4 个条件 1. 重复进行 n 次完全一样 的试验； 1. 单次试验只有两种结果：事件 A 发生、事件 A 不发生； 1. 每次试验中 A 发生的概率固定为 ，不发生概率 ； 1. 每一次试验互不影响，相互独立，一件事发生与否不改变其他试验概率。 2. 独立事件概率基础公式 两件独立事件 、 同时发生：。 连续多次独立事件同时发生，概率直接相乘。 3. 恰好发生 次的核心逻辑 n 次试验里恰好有 次 A 发生、剩余 次 A 不发生： 1. 任选 次让事件发生，总共有 种不同顺序； 1. 任意一种固定顺序（前 k 次发生，后 n-k 次不发生）的概率：； 1. 所有顺序互斥，总概率 = 顺序种数 × 单种顺序概率。 公式： 4. 常用表述转化 1. 至少发生 1 次：对立事件为“一次都没发生”，； 1. 至多发生 次：发生 0 次、1 次……k 次，全部概率相加； 1. 至少发生 次：发生 k 次、k+1 次……n 次，全部概率相加。 二、解题原理（标准步骤） 1. 判断模型 核对 4 个条件，确认是独立重复试验；若每次概率变化、试验不独立，则不能用该方法。 1. 提取基础量 确定总试验次数 ，单次事件发生概率 ，题目要求发生的次数 。 1. 分析排列组合顺序 算出 n 次里挑 k 次成功的组合数 ，代表所有符合要求的先后顺序。 1. 计算单条路径概率 固定一种先后顺序，利用独立事件乘法公式算出该情况概率 。 1. 合并所有互斥情况 总概率 = 组合数 × 单种顺序概率； 遇到“至少、至多”优先用对立事件简化计算，减少加法运算。 三、高频易错点 1. 忽略试验独立性，强行套用公式； 1. 分不清排列与组合，错用排列数 代替组合数 ； 1. 遗漏组合数，只计算单一种顺序的概率； 1. “至少、至多”不会使用对立转化，大量累加计算出错； 例题分析 例1．（2026·湖南株洲·模拟预测）某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为0，1，2，．．．，，如下图所示． 0 1 2 … 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币．当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元． (1)若选定规格为的地图，求游戏成功的概率； (2)若选定规格为的地图，若进行两次求棋子落到号格子且游戏成功至少一次的概率； (3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出游戏成功的概率的通项公式，利用通项公式求解. （2）先求单次游戏中“棋子落到号格子且最终成功”的概率，再用独立重复试验至少成功一次的公式求解． （3）由第（1）问得到单次游戏成功概率，结合奖励元，写出期望并比较相邻两项，确定最大值对应的． 【详解】（1）由题意得，向前跳1格的概率为，向前跳2格的概率为， 游戏起点为偶数格0，成功终点为奇数格， 每次走1步会改变所在格子的奇偶性，走2步保持奇偶性不变， 由于起点到终点奇偶性改变了，因此整个过程中“走1步”的总次数必须是奇数次， 玩家初始有2枚金币，落入非零偶数格扣1枚，金币扣光即失败， 这意味着在到达之前，玩家最多只能落到1个非零偶数格， 设走1步的次数为， 情况一：当时，需要走次2步，总步数和为：， 若第1步走1步，后续全走2步，步序为：1，2，2，…，2， 经过的格子为：， 落到的非零偶数格数量为0，满足条件， 该路径概率为：， 若第1步走2步，第2步走1步，后续全走2步， 步序为：2，1，2，…，2， 经过的格子为：， 落到的非零偶数格仅有2号格子，数量为1，满足条件， 该路径概率为：， 若在更靠后的位置走1步（如步序为2，2，1，…）， 则必定会经过2号和4号格子，扣除2枚金币导致失败，不满足条件， 故时，成功的概率为：， 情况二：当时需要走次2步， 总步数和为：， 这3次走1步会带来3次奇偶状态的改变：偶→奇，奇→偶，偶→奇， 中间那次“奇→偶”必然会导致玩家落到一个非零偶数格，消耗1枚金币， 为了不消耗第2枚金币，在这处于偶数格的状态下， 绝对不能再走2步（否则会落到下一个偶数格导致失败）， 必须立即走1步回到奇数格状态， 同时，首步不能走2步 （否则直接消耗1金币，后续的“奇→偶”会消耗第2枚导致失败）， 所以首步必须是走1步， 因此，合法的步序模式必须是： 第1步为1，随后是在若干个2之间插入一个连续的“1,1”组合， 即结构为：1，然后是个2，然后是1，1， 最后是个2（其中）， 这种模式共有种排法（将连续的1,1看作一个整体，在个位置中选1个插入）， 每种排法的概率均为：， 故时，成功的概率为：， 情况三：当时，前4次走1步会带来状态改变：偶→奇→偶→奇→偶， 玩家必定会经历至少2次从奇变偶的过程， 从而落到至少2个非零偶数格，金币被扣光，游戏必然提前失败， 综上所述，任意规格地图下游走成功的概率为通项公式， ， 将代入通项公式得到. 所以游戏成功的概率为. （2）先求单次游戏中“棋子落到号格子且最终成功”的概率． 因为号格子是非零偶数格，棋子落到该格子时会扣除枚金币． 要想之后还能成功，在此之前不能落到其他非零偶数格． 因此路径只能是 也就是先跳格，然后跳次格，再连续跳两次格． 所以单次游戏中该事件发生的概率为 进行两次游戏且至少发生一次该事件的概率为 （3）由第（1）问，规格为的地图中单次游戏成功的概率为． 成功时获得奖励元，失败时奖励为，所以奖励的数学期望为 比较相邻两项，得 当时，，即． 因为为大于的正整数，所以当时，；当时，． 因此在时取得最大值，故玩家应选择规格为的地图． 例2．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解； （2）（i）因为第1秒向右，且第6秒末第一次回到原点，所以第1秒到第5秒的位置始终大于0，第6秒位置为0。这要求第6步必须向左，因此第2到第5步中包含2个+1和2个−1，且其任意前k项和均非负，可利用题干给出的卡特兰数相关的组合结论计算符合条件的路径数，再结合概率公式求解； （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位，根据，结合的定义，即可求解 【详解】（1）第6秒末粒子回到原点，则说明向右移动和向左移动的次数相等，均为3次， 因为每次向左移动和向右移动的概率均为， 所以. （2）（i）第一步确定向右，要第一次回到原点在第6秒，需满足： ①第6步必为向左（总位移为0），去掉首尾两步后，中间第2~5步共4步，包含2个向右、2个向左； ②任意前步和都大于0，等价于中间部分任意前缀和非负，根据卡特兰数列结论，符合条件的排列数为第2个卡特兰数， 第一步已确定向右，剩余5步总共有种可能，因此所求概率为：. （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位. 所以， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，以下仅考虑事件AB. 设第秒末粒子的运动方式为，其中； 设粒子第秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1） 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右、右、左、左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知数列的前项中有个1和个. 因为，所以， 所以粒子在余下秒中运动的位置满足， 即，， 所以粒子在余下秒中运动方式的总数为， 所以， 又因为， 所以. 例3．（2026·北京朝阳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． (1)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； (2)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； (3)已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）计算出样本中青年用户的频率，然后利用频率估计概率的思想可得结果； （2）利用独立重复试验以及独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）从这个问题中随机抽取个对该工具提问，设恰好答对的问题个数为，根据题意得出，结合超几何分布的概率公式可得出关于的不等式组，即可解出符合条件的值. 【详解】（1）由题意可知，样本中青年用户的频率为． 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是青年用户，则可估计为． （2）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是中年用户的概率为， 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，用户中既有青年又有中年， 则 ． （3）从这个问题中随机抽取个对该工具提问，设恰好答对的问题个数为， 因为从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大， 则，所以， 整理可得，解得， 又因为，故或或. 例4．（2026·安徽·模拟预测）在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投个球，进球多的一方获得胜利，胜利次获得个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. (1)若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率. (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲个球，求： ①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲个球，求；(结果用含的式子表示) ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛? 【答案】(1). (2)①；②轮 【分析】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，，根据题意，结合独立重复试验的概率公式可得； （2）①由题意得，结合独立重复试验的概率公式可得；②先求出，然后根据二项分布期望公式列不等式得，令，利用导数求最值即可得解. 【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，， 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进球，所以， . （2）①. ②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要赢甲个球的情况下获得的积分， 则，所以， 因为要满足题意，即，要使最小，则要取最大值， 令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 所以的最大值为， 即，所以，所以，即至少要进行轮比赛. 变式训练 变式1．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计．具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币． 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊正方体骰子（六个面中有两个面标记为，两个面标记为，另外两个面标记为的正方体骰子）． 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3，1，3，5（不计顺序）则获胜，得900元奖金． (1)求游戏Ⅰ第3局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 (3)应该参加游戏Ⅰ，理由如下： 记，分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为， 所以， 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为， 第3局获胜的概率为， 所以， 因为，所以从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅰ． 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求解； （2）确定X的可能取值，求出第1局和第2局均未获胜的概率，可确定，即可求解； （3）记，分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，分别求出，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题意知，抛掷四枚质地均匀的相同硬币，向上的图案的情况共有种，图案相同共2种情况， 故游戏Ⅰ第3局获胜的概率． （2）由题意知，1，2，3，游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， 则第1局和第2局均未获胜的概率为， 因此可知，所以，， ，， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以的期望或． （3）略 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机.记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，当时，求. (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，问增加2个元件，单位时间内的利润是否提高？（取计算） 【答案】(1)控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . (2)（ⅰ）（ⅱ）提高了 【分析】（1）利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出在正常运行状态下，单位时间内的利润即可求出期望； （ii）先求出增加元件前的利润期望和增加元件后的利润期望，相除与1作比较判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， ， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（ⅰ）在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，即件，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元， 在正常运行状态下，单位时间内的利润为：（元）， 因为设备正常运行的概率为，所以利润的期望为. （ⅱ）现有控制系统中有5个元件，即，解得， 由（1）可知，根据，可得增加元件前的利润期望为（元）， 增加2个元件后，控制系统由个元件组成，即，解得， 设备正常运行即有不少于4个元件正常工作，可得 ， 根据，可得增加元件后的利润期望为（元）， ，又，， 故单位时间内的利润提高了. 变式3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. (1)求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； (2)记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可. （2）判断出的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望. 【详解】（1）设第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率为，有以下两种情况： 第1分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞；第1分钟末系统中有两个可分裂细胞. 根据题意有. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 . 变式4．（25-26高二下·福建龙岩·月考）甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【答案】(1)，当时，最大值为 (2)①；②． 【分析】（1）设答对文化测试的第题，由 求解即可，再由基本不等式求最大值； （2）①由题意可得甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，由此求解即可； ②设甲总分为分，，设乙总分为分，，由，求解即可. 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 实战演练 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. (1)求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； (2)记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. (3)第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 【答案】(1) (2)； (3)有2家选择产品的概率最大，最大概率为 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）利用二项分布写出分布列求解期望和方差； （3）利用二项分布得到分布列求解事件概率. 【详解】（1）设“第i次购买产品”，（i=1，2），则“第i次购买产品”， 由题意， 又为对立事件， 故 ； （2）每家购买产品概率均为，故， 分布列为 ； （3）设有家选择产品，则，设有家选择产品的概率最大，则 ， 故可列 即 整理得，又，故，此时= 故有家选择产品的概率最大，最大概率为. 2．（25-26高二下·重庆·期中）某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． (1)求电梯A最终停在6楼的概率； (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； (3)若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 【答案】(1)； (2)的分布列见详解，的数学期望为度； (3). 【分析】（1）先通过目标楼层反推电梯运行的次数组合，用方程确定两种运行方式的次数，再利用独立重复试验的特征，计算目标组合的概率，最后建立总耗电量与运行次数的线性关系，用期望性质直接计算即可； （2）先识别出随机变量服从，再通过公式计算各取值概率，列出分布列；并建立总耗电量与的线性关系，最后利用期望的线性性质，结合二项分布期望公式，直接求出的数学期望即可； （3）先确定电梯A停在6楼的所有运行序列，再针对每一种序列，按“每一步楼层差不超过1”的同步条件，分步枚举所有符合要求的B序列，接着计算出“同步且A停在6楼”的联合概率，最后利用条件概率公式，用联合概率除以“A停在6楼”的概率，得到最终结果即可. 【详解】（1）设电梯A在3次运行中，向上运行1层的次数为，向上运行2层的次数为， 因为电梯从1楼出发，最终停在6楼，总上升层数为：， 所以，解得：， 即电梯A需要1次向上运行1层，2次向上运行2层， 根据二项分布，概率为：， 所以电梯A最终停在6楼的概率为. （2）由题意，为3次运行中向上运行1层的次数，每次运行向上1层的概率为，因此， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 由题意，总耗电量与的关系为：， 化简得：， 则期望：， 因此，的数学期望： ， 所以的分布列如上，的数学期望为度. （3）事件M：电梯A停在6楼，其运行序列为“1次1层、2次2层”， 所以电梯A运行序列共有种排列，记为：. 同步条件：对，， ①当电梯A运行序列为时：   符合条件的电梯B运行序列：，共6种，其概率和为. ②当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. ③当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中也只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. A停在6楼的总概率：， 每种电梯A运行序列的概率： 所以总同步概率：同步且停在6楼 所以条件概率：同步停在6楼， 故当电梯A最终停在6楼时，两部电梯始终同步的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：独立重复试验的概率问题复习讲义 期末复习：独立重复试验的概率问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 独立重复试验满足 4 个条件 1. 重复进行 n 次完全一样 的试验； 1. 单次试验只有两种结果：事件 A 发生、事件 A 不发生； 1. 每次试验中 A 发生的概率固定为 ，不发生概率 ； 1. 每一次试验互不影响，相互独立，一件事发生与否不改变其他试验概率。 2. 独立事件概率基础公式 两件独立事件 、 同时发生：。 连续多次独立事件同时发生，概率直接相乘。 3. 恰好发生 次的核心逻辑 n 次试验里恰好有 次 A 发生、剩余 次 A 不发生： 1. 任选 次让事件发生，总共有 种不同顺序； 1. 任意一种固定顺序（前 k 次发生，后 n-k 次不发生）的概率：； 1. 所有顺序互斥，总概率 = 顺序种数 × 单种顺序概率。 公式： 4. 常用表述转化 1. 至少发生 1 次：对立事件为“一次都没发生”，； 1. 至多发生 次：发生 0 次、1 次……k 次，全部概率相加； 1. 至少发生 次：发生 k 次、k+1 次……n 次，全部概率相加。 二、解题原理（标准步骤） 1. 判断模型 核对 4 个条件，确认是独立重复试验；若每次概率变化、试验不独立，则不能用该方法。 1. 提取基础量 确定总试验次数 ，单次事件发生概率 ，题目要求发生的次数 。 1. 分析排列组合顺序 算出 n 次里挑 k 次成功的组合数 ，代表所有符合要求的先后顺序。 1. 计算单条路径概率 固定一种先后顺序，利用独立事件乘法公式算出该情况概率 。 1. 合并所有互斥情况 总概率 = 组合数 × 单种顺序概率； 遇到“至少、至多”优先用对立事件简化计算，减少加法运算。 三、高频易错点 1. 忽略试验独立性，强行套用公式； 1. 分不清排列与组合，错用排列数 代替组合数 ； 1. 遗漏组合数，只计算单一种顺序的概率； 1. “至少、至多”不会使用对立转化，大量累加计算出错； 例题分析 例1．（2026·湖南株洲·模拟预测）某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为0，1，2，．．．，，如下图所示． 0 1 2 … 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币．当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元． (1)若选定规格为的地图，求游戏成功的概率； (2)若选定规格为的地图，若进行两次求棋子落到号格子且游戏成功至少一次的概率； (3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图． 例2．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 例3．（2026·北京朝阳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． (1)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； (2)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； (3)已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 例4．（2026·安徽·模拟预测）在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投个球，进球多的一方获得胜利，胜利次获得个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. (1)若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率. (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲个球，求： ①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲个球，求；(结果用含的式子表示) ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛? 变式训练 变式1．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计．具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币． 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊正方体骰子（六个面中有两个面标记为，两个面标记为，另外两个面标记为的正方体骰子）． 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3，1，3，5（不计顺序）则获胜，得900元奖金． (1)求游戏Ⅰ第3局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由． 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机.记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，当时，求. (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润为4元，其他产品的利润还是每件2元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）． （ⅰ）请用表示； （ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，问增加2个元件，单位时间内的利润是否提高？（取计算） 变式3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. (1)求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； (2)记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 变式4．（25-26高二下·福建龙岩·月考）甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 实战演练 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. (1)求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； (2)记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. (3)第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 2．（25-26高二下·重庆·期中）某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． (1)求电梯A最终停在6楼的概率； (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； (3)若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $