专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布4大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 4大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两点分布 题型02 二项分布 题型03 超几何分布 题型04 正态分布 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点分布 能识别只有两个结果的随机试验，掌握分布列、期望 、方差 基础特例，常作为二项分布的基础，易错点：混淆成功概率 与试验次数 二项分布 能识别独立重复试验（n次，每次成功概率p），熟练运用概率公式 ，掌握期望 、方差 高频核心考点，常以实际背景（投篮、抽检、比赛）出现，解答题必考，易错点：未判断独立性或固定次数 超几何分布 能识别不放回抽样模型（总数N，特殊品M，抽取n个），掌握概率公式 ，期望 中档考点，常与二项分布对比（放回vs不放回），易错点：组合数上下标对应关系，当N很大时可近似二项分布 正态分布 理解参数 （均值、对称轴）和 （标准差）的意义，会用 原则求概率，能进行标准化 小题高频，常考对称性及区间概率，易错点：标准化时符号错误或 区间端点混淆 知识点01 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含_________可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为_________. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果_________. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________. 注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若 非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 知识点02 超几何分布 分布列：如果且，则的分布列如下表所示，其中为的最大取值． 0 1 … … … ________ … ________ 知识点03 正态分布曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量X服从________正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则______， _______. （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 题型一 两点分布 解｜题｜技｜巧 两点分布即伯努利分布，随机变量 只取 0 或 1，，。期望 ，方差 。解题关键：判断试验结果是否只有两种对立结果（成功/失败），且概率固定。若问题涉及“成功次数”且只进行一次试验，直接套用两点分布。 【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【典例2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·江西·期末）若随机变量服从两点分布，且，则（    ） A．0.24 B．2.4 C．0.28 D．2.8 【变式2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 题型二 二项分布 解｜题｜技｜巧 二项分布 描述 次独立重复伯努利试验中成功次数。概率公式 ，期望 ，方差 。适用条件：① 各次试验独立；② 每次试验结果只有两种；③ 成功概率 恒定。解题时先确认独立性，再确定 和 ，最后根据问题求概率、期望或方差。 【典例1】（24-25高二下·北京东城·期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（    ） A． B．4 C． D．5 【典例2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【变式1】（24-25高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 【变式2】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 题型三 超几何分布 解｜题｜技｜巧 超几何分布描述从有限总体中不放回抽样，成功次数的分布。设总体含 件，其中 件为成功品，抽取 件，则成功次数 服从超几何分布，，期望 ，方差 。适用条件：不放回抽样，总体有限。当 很大时，可近似为二项分布。 【典例1】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【变式1】（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 题型四 正态分布 解｜题｜技｜巧 正态分布 ，概率密度曲线关于 对称。解题核心：利用 原则（，，）；标准化为 ，查标准正态分布表。常见题型：求某区间概率、给定概率求临界值、混合正态分布问题。 【典例1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（   ） A．6895 B．8400 C．9545 D．9973 【典例2】（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【变式2】（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 2．（24-25高二下·河北衡水·期末）（多选）为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南商丘·阶段检测）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）．若，则__________． 5．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（2025·山东泰安·模拟预测）随机变量，相互独立，且，，则________. 7．（24-25高二下·福建福州·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 8．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    9．（24-25高二下·河南南阳·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从两点分布，且，则 B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从二项分布，且，则， 10．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 11．（24-25高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·江西抚州·期末）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 4大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两点分布 题型02 二项分布 题型03 超几何分布 题型04 正态分布 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点分布 能识别只有两个结果的随机试验，掌握分布列、期望 、方差 基础特例，常作为二项分布的基础，易错点：混淆成功概率 与试验次数 二项分布 能识别独立重复试验（n次，每次成功概率p），熟练运用概率公式 ，掌握期望 、方差 高频核心考点，常以实际背景（投篮、抽检、比赛）出现，解答题必考，易错点：未判断独立性或固定次数 超几何分布 能识别不放回抽样模型（总数N，特殊品M，抽取n个），掌握概率公式 ，期望 中档考点，常与二项分布对比（放回vs不放回），易错点：组合数上下标对应关系，当N很大时可近似二项分布 正态分布 理解参数 （均值、对称轴）和 （标准差）的意义，会用 原则求概率，能进行标准化 小题高频，常考对称性及区间概率，易错点：标准化时符号错误或 区间端点混淆 知识点01 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含____两个_____可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为____n重伯努利试验_____. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果____相互独立_____. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________. 注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若 非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 知识点02 超几何分布 分布列：如果且，则的分布列如下表所示，其中为的最大取值． 0 1 … … … ________ … ________ 知识点03 正态分布曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量X服从____标准____正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则______， _______. （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 题型一 两点分布 解｜题｜技｜巧 两点分布即伯努利分布，随机变量 只取 0 或 1，，。期望 ，方差 。解题关键：判断试验结果是否只有两种对立结果（成功/失败），且概率固定。若问题涉及“成功次数”且只进行一次试验，直接套用两点分布。 【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·江西·期末）若随机变量服从两点分布，且，则（    ） A．0.24 B．2.4 C．0.28 D．2.8 【答案】A 【分析】根据两点分布的性质结合方差定义计算求解. 【详解】设， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 题型二 二项分布 解｜题｜技｜巧 二项分布 描述 次独立重复伯努利试验中成功次数。概率公式 ，期望 ，方差 。适用条件：① 各次试验独立；② 每次试验结果只有两种；③ 成功概率 恒定。解题时先确认独立性，再确定 和 ，最后根据问题求概率、期望或方差。 【典例1】（24-25高二下·北京东城·期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出的分布列，进而计算期望即可. 【详解】根据已知条件有的可能取值为，，，； ，， ，， 所以的分布列为： 所以. 故选：C 【典例2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 (3) 【分析】（1）借助独立事件概率乘法公式计算即可得； （2）利用互斥事件的概率加法公式可得一局比赛中甲得0分的概率，再求出的所有可能取值及其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布期望公式即可得其期望； （3）列出甲最终获胜的所有可能情况及其对应概率即可得. 【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 【变式1】（24-25高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 【答案】/ 【分析】由题设，应用独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)； (2)①；②或或． 【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论； ②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求. 【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. （2）①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 题型三 超几何分布 解｜题｜技｜巧 超几何分布描述从有限总体中不放回抽样，成功次数的分布。设总体含 件，其中 件为成功品，抽取 件，则成功次数 服从超几何分布，，期望 ，方差 。适用条件：不放回抽样，总体有限。当 很大时，可近似为二项分布。 【典例1】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 【变式1】（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数，结合古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数， 所以. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由结合期望的性质求得. 【详解】（1）依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P （2）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9， ，， ，， 有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为13分. 题型四 正态分布 解｜题｜技｜巧 正态分布 ，概率密度曲线关于 对称。解题核心：利用 原则（，，）；标准化为 ，查标准正态分布表。常见题型：求某区间概率、给定概率求临界值、混合正态分布问题。 【典例1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（   ） A．6895 B．8400 C．9545 D．9973 【答案】B 【分析】先由题设求出，从而得到，再求出即可得解. 【详解】由题可得， 则，所以. 所以则的估计值为. 故选：B 【典例2】（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 【变式2】（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)少于40件 【分析】 （1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求；设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得； （2）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数. 【详解】（1）由题设，，， 所以； 由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （2）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件少于40件. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·河北衡水·期末）（多选）为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】若已知，则，，， 但根据已知条件无法确定方差的情况. 故选：ACD. 3．（24-25高二下·河南商丘·阶段检测）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）．若，则__________． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 故. 5．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（2025·山东泰安·模拟预测）随机变量，相互独立，且，，则________. 【答案】/ 【分析】先根据正态分布的性质得出，再利用二项分布的概率公式求出，最后利用概率的乘法公式即可. 【详解】由题意可得，， ， 因随机变量，相互独立，则. 故答案为：. 7．（24-25高二下·福建福州·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【分析】先由对称性得，故，得到关于点成中心对称，C正确，AD错误；同理可得不关于直线对称，B错误. 【详解】服从正态分布，故 由对称性可知， 又，， 故，关于点成中心对称，C正确，AD错误； 又， 故， 不关于直线对称，B错误. 故选：C 8．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    【答案】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 9．（24-25高二下·河南南阳·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从两点分布，且，则 B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从二项分布，且，则， 【答案】ABD 【分析】根据两点分布定义及期望即可判断选项A，由超几何分布可判断选项B，由二项分布可判断选项C，根据二项分布的期望和方差，及期望和方差的性质可判断选项D. 【详解】对于A，因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，所以A正确； 对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为，所以B正确； 对于C，因为随机变量服从二项分布，则，，所以，所以C错误； 对于D，因为随机变量服从二项分布，则，，又，所以,，所以D正确. 故选：ABD 10．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 11．（24-25高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二项分布的定义可判断A选项；求出的表达式，结合可判断C选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B选项；利用的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，依题意易得，A正确， 对于C选项，， 所以， 显然，C错误； 对于B选项，，B正确； 对于D选项，因为，所以． 因为， 所以，所以，D正确． 故选：ABD. 12．（24-25高二下·江西抚州·期末）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 【答案】(1). (2)（i）；（ii），发现：当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. (3). 【分析】（1）先由题意得，再由正态分布的对称性性质结合原则即可求解； （2）（i）先由题得，利用求出概率； （ii）先求出，再由结合泊松分布概率公式即可计算求解并得到相关结论； （3）先由结合泊松分布概率公式求得，构造，求导得到其单调性，得的，通过构造函数，得到和，从而得到答案. 【详解】（1）由题意可得， 所以. （2）（i）由题， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 ； （ii）由题，所以， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 . 根据计算结果发现当较大次品率p较小时， 二项分布和泊松分布计算出的“至少有2个次品的概率”非常接近， 所以当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. （3）若，则， 故， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 又由， 所以若，则， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以； 设， 则， 因为，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以， 即， 综上，当时，有，当时，有， 所以的最大值为 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $