期末复习：条件概率复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

期末复习：条件概率复习讲义 期末复习：条件概率复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 定义 设 、 为随机事件，，在事件 已经发生的前提下，事件 发生的概率叫作条件概率，记作 。 核心公式： · ： 与 同时发生的联合概率；：前提事件 自身发生概率。 1. 缩小样本空间思想 条件 发生，整体样本空间直接收缩为 包含的基本事件，只在 内部统计 所占比例，这是几何计数、古典概型快速口算的底层逻辑。 1. 变形乘法公式 · 多步先后事件、分步抽取问题常用。 1. 独立事件特殊判定 若 、 相互独立，则 、；联合概率 。 二、标准通用解题步骤 步骤 1：区分条件事件与所求事件 看清句式：“在……前提下/已知……/若……，求……” 后半句限定条件为 ，前半句要求的是 ；锁定 形式。 步骤 2：两条计算路径任选其一 路径 1：公式代数计算（通用） 1. 分别算出 （条件事件整体概率）； 1. 算出 （两件同时发生的概率）； 1. 代入 约分求值。 路径 2：缩小样本空间计数法（古典概型首选） 1. 只保留满足条件 的所有基本事件，统计总数 ； 1. 在这 个里面，数同时满足 的事件数量 ； 1. ，不用算总样本量，计算更简单。 步骤 3：检验独立关系（可选） 若题目告知独立，直接 简化运算；无说明必须严格套条件公式，不能默认独立。 步骤 4：作答化简分数 结果化为最简分数，不保留小数。 三、典型场景简化逻辑 1. 不放回抽取、先后试验：优先乘法公式搭配条件概率； 1. 表格频数统计（频率近似概率）：用对应格子频数比值 ； 1. 几何概型条件概率：条件区域面积/长度/体积作分母，交集区域作分子。 易错约束 1. 分母永远是条件事件 的概率，不可颠倒写成 ； 1. 时条件概率无意义； 1. “”和”“完全不是同一个值，数值一般不相等； 1. 有先后顺序的事件不能直接当作独立事件处理。 例题分析 例1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北邯郸·三模·多选）一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品.现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·四川宜宾·期末·多选）已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·辽宁·三模）一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________． 例6．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知事件A和B满足，，，则__________． 例7．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. (1)求事件“取出的3个小球中，标号的最大数字是5”的概率； (2)已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 例8．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机． (1)求该无人机作业成功的概率； (2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率． 变式训练 变式1．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若，，，则事件A与B满足（   ） A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥 变式3．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·江苏·阶段检测·多选）某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（    ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 变式5．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______. 变式6．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知，则_____________. 变式7．（25-26高二下·天津西青·期中）箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球． (1)设“摸到两球编号均为奇数”为事件，求事件概率； (2)设“摸到1号球”为事件，“摸到两球编号的和为奇数”为事件，求在摸到1号球的条件下，两球编号的和为奇数的概率． 变式8．（25-26高二下·山西临汾·期中）五一期间，甲、乙、丙、丁、戊五人前往邯郸旅游，他们准备在“邯郸道”“广府古城”“京娘湖”这三个景点中选择游玩，因时间关系每人只能选择其中一个景点． (1)若甲和乙去同一个景点，丙和丁不能去同一个景点，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） (2)若要求每个景点都有人去，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） (3)已知每个景点都有人去，求甲和乙去同一个景点的概率． 实战演练 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若事件M，N满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南郑州·期中·多选）对于随机事件，，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东广州·期中·多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与相互独立，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果，那么 5．（25-26高二下·上海松江·期中）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在A，B，C，D，E，F共6所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择A学校开展讲座的概率为_______． 6．（25-26高二下·宁夏银川·期中）设，为两个事件，且，，则________． 7．（25-26高二下·广东肇庆·期中）袋中装有5个红球，4个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 8．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个.每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回. (1)求第次摸到红球的概率； (2)设第次都摸到红球的概率为，第次摸到红球的概率为，在第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，在第次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：条件概率复习讲义 期末复习：条件概率复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 定义 设 、 为随机事件，，在事件 已经发生的前提下，事件 发生的概率叫作条件概率，记作 。 核心公式： · ： 与 同时发生的联合概率；：前提事件 自身发生概率。 1. 缩小样本空间思想 条件 发生，整体样本空间直接收缩为 包含的基本事件，只在 内部统计 所占比例，这是几何计数、古典概型快速口算的底层逻辑。 1. 变形乘法公式 · 多步先后事件、分步抽取问题常用。 1. 独立事件特殊判定 若 、 相互独立，则 、；联合概率 。 二、标准通用解题步骤 步骤 1：区分条件事件与所求事件 看清句式：“在……前提下/已知……/若……，求……” 后半句限定条件为 ，前半句要求的是 ；锁定 形式。 步骤 2：两条计算路径任选其一 路径 1：公式代数计算（通用） 1. 分别算出 （条件事件整体概率）； 1. 算出 （两件同时发生的概率）； 1. 代入 约分求值。 路径 2：缩小样本空间计数法（古典概型首选） 1. 只保留满足条件 的所有基本事件，统计总数 ； 1. 在这 个里面，数同时满足 的事件数量 ； 1. ，不用算总样本量，计算更简单。 步骤 3：检验独立关系（可选） 若题目告知独立，直接 简化运算；无说明必须严格套条件公式，不能默认独立。 步骤 4：作答化简分数 结果化为最简分数，不保留小数。 三、典型场景简化逻辑 1. 不放回抽取、先后试验：优先乘法公式搭配条件概率； 1. 表格频数统计（频率近似概率）：用对应格子频数比值 ； 1. 几何概型条件概率：条件区域面积/长度/体积作分母，交集区域作分子。 易错约束 1. 分母永远是条件事件 的概率，不可颠倒写成 ； 1. 时条件概率无意义； 1. “”和”“完全不是同一个值，数值一般不相等； 1. 有先后顺序的事件不能直接当作独立事件处理。 例题分析 例1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 例2．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 例3．（2026·河北邯郸·三模·多选）一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品.现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】依题意：：第一次取乙类品， ：第二次取乙类品（抽签原理，不放回先后概率相等）， ：两件中至少1件乙类品，对立事件全是甲类， ：两次都取乙类品，逐个判断选项. 【详解】选项A，，二者相等A错误； 选项B，左边：右边：， ，不等式成立B正确； 选项C，条件概率公式：， 发生则一定发生，故；同理， ， 又，所以二者条件概率相等C正确； 选项D，事件就是（至少一次抽到乙类），根据概率加法公式： ， 代入验证：，D正确. 例4．（25-26高二下·四川宜宾·期末·多选）已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件概率公式，求出判断B选项；由求出判断A选项；由求出，结合条件概率公式计算判断C选项；由，求出判断D选项 【详解】已知，因此， 根据条件概率公式，得，因此选项B正确； 对任意事件，有，代入得： ，因此选项A正确； 验证选项D： 根据条件概率公式： ，因此D正确； 验证选项C： 先计算，， 因此 ，选项C错误. 例5．（2026·辽宁·三模）一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________． 【答案】 【分析】通过已知条件缩小样本空间，直接计算对应事件的条件概率. 【详解】第一次取出红球为已知条件，该条件成立后， 盒内剩余个红球、个白球，共个等可能抽取的球. 因此，第二次取出白球的概率为. 例6．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知事件A和B满足，，，则__________． 【答案】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由，得 . 所以. 例7．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. (1)求事件“取出的3个小球中，标号的最大数字是5”的概率； (2)已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定随机变量值为，然后求出对应的概率值. （2）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）记事件为“取出的3个小球中，标号的最大数字是5” 则. （2）记事件为“取出的3个球的标号和为偶数”，事件为“”. 由题意得， . 由条件概率公式，得. 例8．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机． (1)求该无人机作业成功的概率； (2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率． 【答案】(1)0.95 (2)0.2． 【分析】（1）先设事件，再由全概率公式求出无人机作业成功的概率. （2）由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“选到甲品牌无人机”，事件表示“选到乙品牌无人机”， 事件表示“选到丙品牌无人机”，事件表示“无人机作业成功”． 根据全概率公式得 ． 故该无人机作业成功的概率为0.95． （2）由题意得． 故该无人机是丙品牌的概率为0.2． 变式训练 变式1．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”， 则，且， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若，，，则事件A与B满足（   ） A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥 【答案】C 【分析】根据对立事件、互斥事件判断AD，利用概率加法公式判断B，根据条件概率公式判断C. 【详解】对于A，，因为，所以A与B不是对立事件，A错误. 对于B，，B错误. 对于C，，C正确. 对于D，互斥事件要求，而，故D错误. 变式3．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A通过固定丙的位置，转化为剩余元素的全排列问题求解；选项B利用容斥原理，从总排列中扣除甲第一个或乙最后一个的情况，并补回重叠部分；选项C在条件概率下，将问题简化为乙不在最后一个位置的排列计数；选项D结合条件概率公式，通过计算事件交集与事件的概率比值进行推理. 【详解】总共有名同学，全排列总数为： 选项A：事件为丙第一个出场，丙固定第一个后，剩余人全排列，共种， 因此：，A正确； 选项B：用容斥原理计算的排列数：总排列甲第一排列乙最后排列甲第一且乙最后排列， 即， 因此：，B正确； 选项C：由条件概率公式： 发生时丙已经第一个出场，自然满足“甲不是第一个”，因此只需满足“乙不是最后一个”， ，：乙不能在最后，乙有个位置可选，剩余人全排列， 即，因此：，C错误； 选项D：根据条件概率公式，已知，， 因此：，D正确. 变式4．（25-26高二下·江苏·阶段检测·多选）某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（    ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用互斥事件的定义判断；对于B，分别计算试验与事件包含的方法数，利用古典概型概率公式计算判断；对于C，利用独立事件的乘法公式计算判断；对于D，利用条件概率计算公式判断. 【详解】对于A，甲可以同时选打球和唱歌，，故与不互斥，故A错误， 对于B，先从4个项目中选择个项目有种选法，再将其与另外两个项目对甲、乙、丙3名学生进行全排，有种排法， 则总的样本数为种， 若甲只选唱歌一项，此时从剩下个项目给乙、丙，有种； 若甲选唱歌和另外一个项目有种，剩下个项目给乙、丙每人一个，则共有 种， 则“甲选唱歌”的方法数有种，故，故B正确， 对于C，若乙只选跳舞，此时从剩下个项目给甲、丙，有种； 若乙选跳舞和另外一个项目有种，剩下个项目给甲、丙每人一个，有种，故， 甲选唱歌且乙选跳舞，此时有种情况，， ，故与不相互独立，故C错误， 对于D，，故D正确. 变式5．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______. 【答案】 【详解】设“一个这种电器使用寿命超过10年”为事件，“一个这种电器使用寿命超过15年”为事件，则， 所以在这个电器使用了10年时还能使用的前提下，这个电器使用寿命超过15年的概率为. 变式6．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知，则_____________. 【答案】0.08 【分析】先根据对立事件的概率公式求出，再结合条件概率的性质和公式计算. 【详解】由题意可知：， 根据对立事件概率公式，得. 求条件概率. . 变式7．（25-26高二下·天津西青·期中）箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球． (1)设“摸到两球编号均为奇数”为事件，求事件概率； (2)设“摸到1号球”为事件，“摸到两球编号的和为奇数”为事件，求在摸到1号球的条件下，两球编号的和为奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）， 事件和事件同时发生，即为摸到1、2号球或1、4号球， 所以， 因此. 变式8．（25-26高二下·山西临汾·期中）五一期间，甲、乙、丙、丁、戊五人前往邯郸旅游，他们准备在“邯郸道”“广府古城”“京娘湖”这三个景点中选择游玩，因时间关系每人只能选择其中一个景点． (1)若甲和乙去同一个景点，丙和丁不能去同一个景点，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） (2)若要求每个景点都有人去，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） (3)已知每个景点都有人去，求甲和乙去同一个景点的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先排甲、乙去同一个景点，再排丙、丁分别去两个景点，最后排戊去任意景点即可求解； （2）依题意将五人分成三组，则分组方式有两种：1，1，3和2，2，1，进而求解即可； （3）结合（2）知甲和乙可能在1，1，3分组中的3人组或在2，2，1分组中其中一个2人组，进而求解即可． 【详解】（1）第一步：先排甲、乙去同一个景点，将甲、乙看作整体，即在3个景区中选择1个，有种； 第二步：再排丙、丁分别去两个景点，即在3个景区中选择2个排列，有种； 第三步：最后排戊去任意景点，即在3个景区中选择1个，有种， 所以不同的安排方案有种． （2）由每个景点都有人去，即将五人分成三组， 则分组方式有两种：1，1，3和2，2，1， 所以不同的安排方案有种． （3）设事件A：每个景点都有人去，事件B：甲和乙去同一个景点． 若每个景点必须有人去，且甲和乙去同一个景点， 则甲和乙可能在1，1，3分组中的3人组或在2，2，1分组中其中一个2人组， 则不同的安排方案有种， 结合（2）得，每个景点都有人去的不同的安排方案共有种， 所以甲和乙去同一个景点的概率为． 实战演练 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若事件M，N满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及条件概率公式求解. 【详解】由，得， 由，得， 因此. 2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率公式，分别计算事件和事件的概率后代入求解即可. 【详解】由题意得，事件的对立事件为“两个班级都不选择鼋头渚”，因此 ， 事件即“恰好一个班级选择鼋头渚，另一个选择其余个景点之一”，因此 ， 代入条件概率公式得 ，故D正确. 3．（25-26高二下·河南郑州·期中·多选）对于随机事件，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】因为对于随机事件，，，且，， 所以，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 4．（25-26高二下·广东广州·期中·多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与相互独立，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果，那么 【答案】BCD 【详解】已知事件满足，， 若，则， ，故A错误； 若与相互独立，则也互相独立， ，故B正确； 若与互斥，则， 则，故C正确； 已知，则， 则，故D正确． 5．（25-26高二下·上海松江·期中）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在A，B，C，D，E，F共6所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择A学校开展讲座的概率为_______． 【答案】 【分析】应用排列、组合数求出甲、乙分别选择了2所不同的学校，恰有一位老师选择学校开展讲座的选法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题意，甲、乙分别选择了2所不同的学校有种， 恰有一位老师选择学校开展讲座，甲或乙选学校有种， 另一位老师在其它5所学校中任选一种有种， 所以在甲、乙分别选2所不同的学校条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为. 6．（25-26高二下·宁夏银川·期中）设，为两个事件，且，，则________． 【答案】 【详解】由题知，，解得， 则 7．（25-26高二下·广东肇庆·期中）袋中装有5个红球，4个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设为“第一次取出红球”， 为“第二次取出红球”， 则. （2）设为“第二次才取到红球”，. 8．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个.每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回. (1)求第次摸到红球的概率； (2)设第次都摸到红球的概率为，第次摸到红球的概率为，在第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，在第次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据概率的乘法公式以及条件概率公式求解. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第次摸到红球的事件为， ， 由全概率公式，得. （2）由已知得表示事件发生的概率，这是一个连续不放回抽取的过程， 第次摸到红球的概率是，第次摸到红球后第次摸到红球的概率是，前次都摸到红球后第次摸到红球的概率是， 因此， 表示事件发生的概率，因此， 表示在事件下，发生的概率，而，因此， 表示在事件和下，发生的概率，因此. 2 学科网（北京）股份有限公司 $