2025-2026学年高二下学期期末复习综合训练（范围：人教A版，选择性必修第二、三册，一轮复习集合、不等式、函数）

**基本信息** 以六大模块知识整合为核心，通过基础-应用-创新三级题型梯度，构建从概念理解到综合实践的逻辑训练体系，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4/填空12|集合运算、数列性质、概率分布、不等式最值|从集合工具性知识到数列代数规律，构建数学抽象基础| |核心应用|选择5-7/填空13-14/解答15-16|函数单调性、导数极值、统计回归、数列求和|函数与导数为纽带，联结代数变形与分析推理，体现数学思维严谨性| |综合创新|选择8/多选9-11/解答17-19|机器人移动概率、独立性检验、导数证明|概率统计结合现实情境，导数综合题融合逻辑推理与模型建构，培养数学语言表达能力|

2025-2026学年高二数学期末模拟卷 测试范围：人教A版 数列、函数与导数、概率统计、集合、常用逻辑用语与不等式、函数 适合地区：广东 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列满足，则（    ） A．41 B．82 C．83 D．84 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 4.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 5．已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6.（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 7．已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（    ） 4 6 8 10 12 2 6 A．变量与的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，的预测值为11.3 10．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 11．已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 13．若随机变量，且，则______． 14．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是_______；若，则实数m的值是_______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 16.（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间及极小值点； (2)若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围. 17.（本小题满分15分）（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 18.（24-25高二下·广东茂名·期末）某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据： 单位：人 性别 商场购物意愿 合计 喜欢在商场购物 不喜欢商场购物 男性 60 30 90 女性 90 20 110 合计 150 50 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联. (2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望. (3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为，求当取最大值时n的值. 附：，. 临界值表： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19.（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 测试范围：人教A版 数列、函数与导数、概率统计、集合、常用逻辑用语与不等式、函数 适合地区：广东 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，集合，所以.故选C 2．已知等差数列满足，则（    ） A．41 B．82 C．83 D．84 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 得，即. 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 所以， 则. 4.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 5．已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】研究对数函数的单调性、复合函数的单调性、比较函数值的大小关系 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，所以，即． 6.（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 7．已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，整理得. 不等式在上有解，等价于，其中. . 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，最小值为. 由，所以的取值范围是. 8．年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）点”，事件“水平方向移动次”，按移动到需要步还是步分类讨论， 记为向左，为向右，为向上，为向下， ①若第步到为事件，则移动次满足要求的是（或或），（或或），（或或），（或或）， 所以； ②若第步到为事件，则移动次满足要求的是，所以． 因为，且互斥，所以． 满足的情况有：，所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（    ） 4 6 8 10 12 2 6 A．变量与的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，的预测值为11.3 【答案】ABC 【详解】由于经验回归方程为是递增的一次函数， 所以两个变量是正相关，则样本相关系数，故正确； 由表格中的数据可计算平均数： ， ， 又因为，，成等差数列， 所以，则， 根据经验回归方程为必过点， 则，解得，故B正确； 当时，， 所以残差为，故C正确； 当时，， 所以的预测值为，故D错误， 故选：ABC. 10．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 【答案】AC 【详解】因， 对于A，B，， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小， 在上是减函数，B错误； 对于，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即。 关于（）对称，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 【答案】20 【详解】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 13．若随机变量，且，则______． 【答案】 【详解】由，得，所以． 14．（新题型）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是_______；若，则实数m的值是_______. 【答案】 ； 【详解】，，由条件可知，有2个变号零点， 设，，在单调递减， 当时，恒成立，单调递增，不会有2个零点，不成立， 当时，得，当时，，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 当时，，当，， 若有2个变号零点，所以，解得：； 由条件可知，，两式相减得， 设，且，得，，所以，（1） 且，即， 得，得，（2） 满足方程（2），代入方程（1）得 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【解】（1）由题可得，所以. 当时，.                                    ………………………………1分 当时，. ………………………………3分 因为不满足上式，. ………………………………4分 （2）由（1）知，. ………………………………5分 当时，. ………………………………6分 当时，，        ………………………………8分 所以 …………………10分 .                                   ………………………………12分 又满足上式，. ………………………………13分 16.（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间及极小值点； (2)若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为；的极小值点为1. (2).【难度】0.72 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数、根据极值求参数、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极小值点； （2）根据极大值求出，并求出的解，结合函数单调性得到答案 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 在处取得极小值，故极小值点为1. （2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为3， 则，解得，故， 由（1）知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 令，即，， 解得或2， 函数在上有最大值3，故的取值范围为. 17.（本小题满分15分）（24-25高二下·山东济南·期末）甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【解】（1）根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙， 甲丙，乙丙，对应事件设为，， …………………………1分 设甲获得第二局比赛胜利为事件， 若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜， 若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可， 所以， ………………………………3分 甲获得第二局比赛胜利的概率. ………………………………4分 （2）由题知， ………………………………5分 ， ………………………………7分 所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为 …………8分 （3）由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4 时，丙分别在第2局和第4局输了比赛， 所以， ………………………………10分 时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛， 所以， ………………………………11分 所以， ………………………………12分 则分布列为： 2 3 4 ……………………………13分. ………………………………15分 18.（24-25高二下·广东茂名·期末）某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据： 单位：人 性别 商场购物意愿 合计 喜欢在商场购物 不喜欢商场购物 男性 60 30 90 女性 90 20 110 合计 150 50 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联. (2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望. (3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为，求当取最大值时n的值. 附：，. 临界值表： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)性别与商场购物意愿有关 (2)分布列见解析， (3)5 【难度】0.4 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）计算卡方，与临界值比较，根据独立性检验思想得解； （2）根据分层抽样，这5人中2人是男性，3人是女性，X的可能取值为0，1，2，依次求出X每个取值对应的概率，列出分布列得解； （3）根据题意，甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，求出的表达式，判断的单调性，得解. 【详解】（1）零假设为：性别与商场购物意愿无关，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别与商场购物意愿有关. （2）调查中喜欢商场购物的市民共有150人，男性人数:女性人数， 所以分层随机抽样抽取的5人中2人是男性，3人是女性， 则X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以2人中男性人数的数学期望. （3）因为n局获奖励30元，说明甲在抽奖的过程中共抽中3次红球， 由于红球的个数比黄球个数多1时结束抽奖，说明第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球， 且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种， 则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率，， 于是， 因为，所以上式小于0，故， 即单调递减，则当时，取最大值. 另解：， 因为，所以上式小于1，所以. 19.（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数．(2)；(3)证明见解析． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $