期末复习：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面、面面平行条件补充的立体几何专项训练，通过多几何体情境构建判定定理应用逻辑链，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |补全线面平行的条件|3例+3变式|构造中位线/比例线段证线线平行，确定动点位置|线面平行判定定理为核心，关联棱柱、棱锥、棱台结构特征| |补全面面平行的条件|3例+3变式|双直线平行推面面平行，探究多棱上点位置|以线面平行为基础，递进至面面平行判定，体现定理推导关系|

期末复习：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件专项训练 期末复习：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件专项训练 考点目录 补全线面平行的条件 补全面面平行的条件 考点一 补全线面平行的条件 例1．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 【分析】（1）求出台体的高，根据台体体积公式进行求解； （2）将两梯形折到同一平面内，结合余弦定理进行求解； （3）在上取点，使得，证出四边形为平行四边形，即可得出平面. 【详解】（1），故，正方形的面积为， 正方形的面积为， 连接，则， 过点作⊥平面于点，则点在上， 且， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为； （2）将梯形与梯形沿着折到同一平面内，如图所示， 在上取点，使得，又，故， 连接，则， 其中，所以，同理可得，， 连接，交于点，此时取得最小值，最小值为， 由余弦定理得， 所以，的最小值为； （3）略 例2．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在，当是棱中点时，平面，证明如下： 取中点，连接，，则， 因为平面，平面，所以平面， 在中，为中点，为中点，， 平面，平面，所以平面；， 所以平面平面，因为平面，所以平面. 【分析】（1）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （2）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）取的中点，因为为中点，所以在 中， 为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）略. 例3．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)为边上满足的点，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【详解】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 变式1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)点为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）点为的中点，连接中点与点，则为中位线，则，根据线面平行判定即可求解； （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解. 【详解】（1） 点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 变式2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，． (1)当点M在何位置时，平面? (2)若平面，求与所成的角的余弦值． 【答案】(1)点为的中点 (2) 【分析】（1）分别取的中点为，连接．可推得四边形为平行四边形，．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行； （2）由（1）知，与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.然后构造直角三角形，可推得，，，进而得出，在中，即可得出答案. 【详解】（1） 如图1所示，分别取的中点为，连接． 因为分别是的中点， 所以，且. 又因为， 所以，所以. 又，所以. 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面. 所以，当点为的中点时，有平面. （2）由（1）知，点为的中点，且与异面. 因为， 所以与所成的角（或其补角），即等于与所成的角. 由已知可得，，， 所以. 如图2，取中点为，连接，易知， 则，， 所以，， 所以. 因为是的中点，所以， 所以，， 所以，在中，有， 所以与所成的角的余弦值为． 变式3．（25-26高一下·山东聊城·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可； （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点， . 为的中点，， 即四边形为平行四边形，. 平面平面平面. （2）设，取中点，连接，则在中， 分别是的中点， 平面平面， 平面. 与相似，且相似比为， 为的三等分点. 在点位置时满足平面. 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 考点二 补全面面平行的条件 例1．（25-26高一下·云南楚雄·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. (2)取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，利用正方体的结构特征及平行公理推理得证. （2）连接分别交于点，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可. （3）根据题意可得,即有，由此结合面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，      由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 例3．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 变式1．（25-26高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.    (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面； (2)在（1）的条件下，求几何体的体积. 【答案】(1)与的中点，可以使得平面平面， 证明：在三棱柱中， ∵与为与的中点， ∴与平行且相等， 故四边形为平行四边形，∴， ∵与平行且相等，∴四边形为平行四边形  故， 因为，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 而，  平面，平面， ∴平面平面； (2)2 【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用几何体之间的体积关系，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）∵， ， . 变式2．（25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点的位置，即可证明. 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，且平面，平面， 所以平面； （2）存在，点是的中点，此时，连结    因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 由（1）可知，平面，且，且平面， 所以平面平面， 所以上存在中点，使平面平面. 变式3．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【分析】（1）由平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论； （2）当时，由线面平行的判定可分别证得平面，平面，由面面平行的判定可知平面平面. 【详解】（1），，即，， 又，， 平面，平面，平面. （2）存在点，，使得平面平面，证明如下： 当时，连接， ，，， 平面，平面，平面， 由（1）知：，又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 存在点，当时，平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件专项训练 期末复习：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件专项训练 考点目录 补全线面平行的条件 补全面面平行的条件 考点一 补全线面平行的条件 例1．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 例2．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论． 例3．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 变式1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 变式2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，． (1)当点M在何位置时，平面? (2)若平面，求与所成的角的余弦值． 变式3．（25-26高一下·山东聊城·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 考点二 补全面面平行的条件 例1．（25-26高一下·云南楚雄·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 变式1．（25-26高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.    (1)在棱，上是否存在点，使得平面平面？如果存在，在此条件下证明平面平面； (2)在（1）的条件下，求几何体的体积. 变式2．（25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $