2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟练习四（人教A版）

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，通过复数、立体几何、向量、解三角形及统计问题，综合考查空间观念、数据意识与推理能力，适配期末复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数几何意义、线面关系、向量投影|第2题以空间直线与平面命题，强化空间观念| |填空题|3题15分|向量模的最值、频率分布直方图百分位数|第13题结合直方图求百分位数，体现数据意识| |解答题|5题77分|复数方程、解三角形、平行六面体证明与计算、独立性检验|19题通过跳水队训练前后成绩分析，用数学语言表达现实问题，培养应用意识|

2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟练习四 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 5.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若 ，则（    ） A． B．3 C． D．6 6.在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 8．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．当//时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 10．某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（ ） A. B. 样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C. 样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D. 用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 11.在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若平面向量满足，则的最大值为________． 13.某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为 . 14. 在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值；（Imz:表示复数的虚部） (2)若，求的值. 16.(15分)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若D为BC的中点，，的面积为，求a. 17.(15分)在平行六面体中，，，则（ ） （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成角； （3）求点到平面距离. 18．（17分）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 19．（17分）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，估计强化训练前的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；并求强化训练后的成绩的60%分位数. (2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟练习四 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，所以，所以， 其在复平面内的对应点为，位于第一象限． 故选：A． 2.已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂直. 【解析】A选项，如图1，满足，，但不垂直，A错误； B选项，如图2，因为， 所以作平面，使得，且， 则， 因为，则，又，故，B正确； C选项，如图3，满足，，但不平行，C错误； D选项，如图4，满足，，，但不平行，D错误. 故选：B 3. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据投影向量的定义可列出等式，再求出向量与的夹角即可. 【解析】设向量与的夹角为， 则由题意结合投影向量的定义可知， 解得， 因为向量的夹角，所以. 故选：C. 4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可. 【解析】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示： 则， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 5.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若 ，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解析】依题意，， ， 则， 则， 故. 故选：C. 6.在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 7．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【解析】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 故选：B. 8．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【解析】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．当//时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【解析】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 故选：AD. 10．某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（ ） A. B. 样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C. 样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D. 用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样的比例确定男生女生的样本数，然后利用频率分布直方图的性质即可判断. 【解析】对于A，由于频率分布直方图中，所有矩形的面积为， 即，解得，故A正确； 对于B，男生前两组的频率为，前三组的频率为， 因此，男生阅读时间的中位数位于第三组，设中位数为，则有，解得， 即男生阅读时间的中位数为分钟，高于分钟，故B错误； 对于C，由于总人数人，其中男生人，女生人，抽样人按比例分配，其中男生人，女生人， 男生阅读时间在分钟以下的人数为人，女生阅读时间在分钟以下的人数为人， 因此阅读时间在分钟以下的人数中，男生人数比女生人数多，故C正确； 对于D，男生阅读时间在分钟以上的人数为人， 女生阅读时间在分钟以上的人数为人，因此样本中阅读时间在分钟以上的人数为人， 全校估计阅读时间在分钟以上的人数为人，故D正确. 故选：ACD. 11.在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【解析】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若平面向量满足，则的最大值为________． 【答案】2 【分析】先通过模长相等推导得两向量垂直，再将所求模长平方后结合已知条件转化为关于的表达式，即可求得最大值． 【解析】由，得， 即，化简得，即， 由，得， 所以，又，， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 故答案：2. 13.某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为 . 【答案】86 【解析】由，解得：， 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则， 解得：， 故答案：86. 14. 在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 【答案】 【分析】过作于，利用已知可得，过作于，进而可得，过作于，为二面角的平面角，计算可求得最大值. 【解析】过作于，因为，， 所以四边形是矩形，所以， 所以，所以， 又因为，，，所以， 又因为，所以， 所以，过作于， 则， 所以，过作于， 因为，又，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 因为，又，所以， 又因为，所以， 由正弦定理可得，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值；（Imz:表示复数的虚部） (2)若，求的值. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 可得，即， 设，由，解得， 所以，； （2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为， ①若方程有两个实根，则，可得，且， 则，解得； ②若方程有两个虚根，则，可得， 设，不妨设，可得， 解得，所以. 综上可得，实数的值为或. 16.(15分)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若D为BC的中点，，的面积为，求a. 【答案】（1） ;（2） 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【解析】(1)因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； (2)若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 17.(15分)在平行六面体中，，，则（ ） （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成角； （3）求点到平面距离. 【答案】（1）略 ;（2）；（3）. 【解析】因为，， 所以. （1）因为， 所以平行六面体的底面是菱形，因此， 因为， 所以平面， 所以平面； （2）因为，所以是异面直线与直线所成的角（或补角）， 由上可知：平行六面体的底面是菱形，且， 所以，显然的补角为， 所以直线与直线所成角为； （3）由上可知：平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面作，平面平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为的长度， 因为，所以， 因为， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以点到平面的距离为. 18．（17分）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1);(2) 【分析】(1)结合商数关系化简以及和角公式可得，分和两种情况讨论即可求解； (2) 结合(1)可得,分别求出,利用求出， 结合正弦定理和面积公式求解即可. 【解析】（1）由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， （2）， 可得，， ， ，， ． 19．（17分）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，估计强化训练前的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；并求强化训练后的成绩的60%分位数. (2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)平均数为，分位数为； (2)表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关. 【分析】（1）根据题意求各组的频率，结合平均数和分位数的定义运算求解即可； （2）完善列联表，求值，结合独立性检验思想分析判断. 【解析】（1）因为强化训练前的各组频率分别为，，，，，； 强化训练前的成绩的平均数， 强化训练后的各组频率分别为，，，，， 又因为前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 可知分位数在内，设分位数为， 则，解得， 所以分位数约为； （2）零假设为：跳水运动员是否优秀与强化训练无关， 补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $