2025-2026学年高一下学期期末复习

**基本信息** 聚焦三角函数、平面向量、解三角形核心模块，通过区域期末真题构建从概念应用到综合探究的训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数定义及公式|4题（含3选择1解答）|终边坐标求三角函数值、公式应用|从定义到同角关系、诱导公式的递进| |三角函数图象与性质|2解答题|周期单调性、图象变换与奇偶性|性质探究→图象变换→综合应用的逻辑链| |平面向量|3解答题|坐标运算、几何表示、夹角问题|代数运算与几何意义的融合，体现数形结合| |解三角形|4解答题|正余弦定理、面积公式、综合证明|从基本定理应用到多三角形综合问题，强化推理能力|

期末复习1（三角函数、解三角形、平面向量） 三角函数定义及相关公式 1．（25-26高一上·福建福州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.81 【知识点】二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义得出的值，再利用二倍角的余弦公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故. 故选：B. 2.（25-26高一上·四川成都·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式化简并求值即可． 【详解】因为角的终边经过点，所以， ． 故选：A． 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】对于A，将两边平方，利用平方关系求解后即可判断；对于B，结合A可得，从而得，，进一步求得，开方后得，即可判断；对于C，结合A，B可得，代入求解后即可判断；对于D，结合B即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 解得，故A正确； 对于B，由A可知， 又因为， 所以，， 所以， 又因为， 解得，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由B的分析可知，故D错误. 故选：D. 4.（25-26高一上·河北邢台·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、用和、差角的正切公式化简、求值、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得结果. （2）易知，再根据两角差的正切公式计算即可； （3）利用诱导公式将表达式化简，再由同角关系利用齐次式计算得出结果. 【详解】（1）由可得 （2）由可得； （3）易知 三角函数的图象与性质： 1.（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量，，. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)将图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值. 【答案】(1)，单调递减区间为； (2). 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、数量积的坐标表示、辅助角公式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计算公式以及单调区间的求法即可求解； （2）先根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到，再根据正弦函数的奇偶性，求出，从而可得答案. 【详解】（1）已知， 可得：， 化简得： ，最小正周期， 令，可得， 所以的单调递减区间是. （2）的图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，得到的图象. 再向左平移个单位， 得到的图象， 因为为偶函数，所以， 移项可得，则， 因为，当时，取得最小值为. 2.（25-26高一上·江苏常州·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. (1)求函数的解析式以及对称中心； (2)当时，求的值域； (3)若，，求的值. 【答案】(1)，对称中心为，； (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、给值求值型问题 【分析】（1）根据图象求函数的解析式，结合函数图象变换可得函数的解析式，再根据余弦函数的性质求函数的对称中心. （2）结合余弦函数的图象求函数的值域. （3）先根据的取值范围，判断的符号，再根据二倍角公式求的值. 【详解】（1）由的图象得，，，， 由， 又，，，而，. ， 把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得， 再向上平移一个单位，得. 令，，解得，，则的对称中心为，. （2）∵，， ， 则的值域为； （3），，，所以. ∵，即， 解得：. 平面向量 1.（24-25高一下·河南商丘·期末）已知平面向量． (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据线性向量的坐标表示列出关于的方程组，然后求解即可. （2）先根据向量的垂直坐标表示求出的值，然后根据向量的模的计算公式进行求解即可. （3）根据向量的数量积和向量的夹角计算公式可列出不等式方程组，从而求出的范围. 【详解】（1）因为， 所以解得． （2）若，则，解得， 所以，，. （3）因为与的夹角为锐角，所以且不同向，即 解得且，即的取值范围是． 2.（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，点满足，为的中点.记，. (1)用，表示，； (2)设，求的值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.68 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则和向量数乘即可得到答案； （2）利用向量数量积公式即可计算. 【详解】（1）； . （2） ， ， ， 所以. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、已知模求参数 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. （2）， 故当时，最小. 解三角形 1.（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.57 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 2.（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可. （2）根据，得到，结合诱导公式得到，在中，得到，在中，根据余弦定理列方程求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以，，所以， 故. （2）设，则， 因为，所以，则. 在中，，即. 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍去）. 当时，，，，能构成三角形，满足条件. 故. 3.（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【详解】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 4.（2026·湖南长沙·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.51 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求； （2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． （2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 课后作业： 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为， 所以， 所以. 2.（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【详解】设，则， . 3.（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知，，，为坐标原点． (1)若，求的值； (2)若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、由向量共线（平行）求参数、求投影向量 【分析】（1）由向量平行坐标关系得方程，可求得的值； （2）利用模长条件得，化简求​，结合象限得，再代入投影向量公式计算． 【详解】（1）因为，，， 所以，  ， 又，所以，则，即． （2）因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以，   因为，，所以， 所以． 4.（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【难度】0.57 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得； （2）利用以及余弦定理可得； （3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 5.（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又，所以， 所以，所以或， 所以或（舍去）所以； （2）由，所以，又，所以， 又，所以，又由为的平分线，所以， 所以，所以， 又由余弦定理得：，所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得：， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 6.在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由，为，边上的中线即可得出答案 （2）由，两边平方，设，化简计算后即可得出答案 （3）由是重心，得出，再由（2）即可得出答案 【小问1详解】 因为为边上的中线，所以 因为为边上的中线，所以 【小问2详解】 因为 所以 因为 所以设 所以 所以 又因为 所以 【小问3详解】 已知，设，结合， ，代入得： 解得 则 因为是重心,则 所以，同理 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习1（三角函数、解三角形） 三角函数定义及相关公式 1．（25-26高一上·福建福州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·四川成都·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·河北邢台·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 三角函数的图象与性质： 1.（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量，，. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)将图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值. 2.（25-26高一上·江苏常州·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. (1) 求函数的解析式以及对称中心；(2)当时，求的值域； (3)若，，求的值. 平面向量 1.（24-25高一下·河南商丘·期末）已知平面向量． (1)若，且，求和的值；(2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 2.（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，点满足，为的中点.记，. (1)用，表示，； (2)设，求的值. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 解三角形 1.（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 2.（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 3.（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 4.（2026·湖南长沙·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 课后作业： 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知，，，为坐标原点． (1)若，求的值； (2)若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 4.（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 5.（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 6.在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $