江苏省锡山高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

**基本信息** 以直播电商收入分析、建筑物高度测量等真实情境为载体，覆盖复数、概率、立体几何、统计等高一核心知识，通过基础题（如复数虚部）、综合题（如分层抽样方差计算）、创新题（如四棱锥截面体积）梯度设计，考查数学眼光（空间观念、数据意识）、思维（推理能力）与语言（模型观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、概率、统计图表|第7题直播电商收入图表分析，体现数据意识| |多选题|3/18|复数性质、事件概率|第11题正三棱柱内切球与截面，考查空间观念| |填空题|3/15|独立事件概率、圆台体积|第13题圆台侧面展开图求体积，需空间想象| |解答题|5/77|向量运算、立体几何、解三角形、统计|17题分层抽样与方差计算，综合考查数据处理；19题四棱锥截面与二面角，体现推理能力|

江苏省锡山高级中学2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题人 胡敏洁 审核人 陈小娴 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数满足，则的虚部为 A． B． C．1 D．2 2．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 3．众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则 A． B． C． D．（第3题图） 4．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是    A． B． C． D． 5．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（第4题图） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．向量,在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为 A． B． C． D． （第6题图） 7． “直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2025年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则 A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍 B．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍 C．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍 D．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和（第7题图） 8．现有三个建筑物，其中、、是 在同一水平面的投影，小明想测量建筑物的高度，已知建筑物高10m，站在顶部处观察建筑物的顶部，发现仰角为，站在处观察建筑物的顶部，发现仰角为，且满足，，，则建筑物的高度为 A． B． C． D． 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设为复数，.下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知事件，且，则下列结论正确的是 A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与B相互独立，那么 11．已知正三棱柱的高为 ，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则 A． B．平面平面 C．截面的面积为 D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为 ▲ ． 13. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是 ▲ ． 14．在△ABC中，是边上的三等分点，，则的最大值为 ▲ ．（第13题图） 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分13分) 已知向量满足 , 与的夹角为. (1)求； (2)若，求的值. 16．(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱中，，是棱BC上一点，且. (1)证明：； (2)当时，求AC与平面所成角的正弦值． 17．(本小题满分15分) 我校有1000名学生参加某次测评，根据男女生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…,，并整理得到如下频率分布直方图： (1)已知样本中分数在的学生有5人，试估计出总体中分数小于40的人数； (2)若测评成绩前25%的学生可以获奖，试估计出获奖分数线； (3)已知样本中男生与女生的比例是4：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请估计出总体的方差. 18. (本小题满分17分) △ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，△ABC的面积为，求b，c； (3)若是边上的高，且，求的最小值. 19. (本小题满分17分) 如图，在四棱锥中，，，,，为中点． (1)证明：//平面； (2)若平面，过点作出平行于平面的截面（写出作法，不要求证 明），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积； (3)若，求二面角的余弦的最小值. 试卷第1页，共3页 高一数学期末试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $