精品解析：江苏盐城市大丰区2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试卷

2025/2026学年度第二学期高一年级期终考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，即， 又， 所以. 2. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 3. 某高中调研学生对苏超的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是（ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质列方程求解. 【详解】设高一应抽取的人数为，则， 所以， 所以高一应抽取的人数是. 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】首先可以判断出，，. 又因为，， 所以. 5. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出底面圆的半径，再利用圆锥侧面积的公式求解. 【详解】由题得底面圆的半径为2， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B 6. 已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：若，，则与可能平行，也可能相交，故A错误； 选项B：若，，则与可能平行，也可能相交，当平行于与的交线时，可满足同时平行于两个相交平面，故B错误； 选项C：若，，则与的位置关系为平行或异面，故C错误； 选项D：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条不重合直线互相平行，可知若，，是两条不重合的直线，则，故D正确. 7. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 为第二象限角，， 可知，将等式两边同时除以： ， ，. 由同角三角函数基本关系可得， ，. 将代入得： ， C正确. 8. 已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件可得函数为周期函数，从而可得，，再代入所给函数解析式即可求解. 【详解】因为为定义在上的偶函数，， 所以，. 令，则 因为. 所以是以4为周期的周期函数. 所以. 所以.则，. 又因为当时，， 所以 解得，则，解得. 所以，得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知一组数据分别为-1，1，2，2，3，按照规则生成一组新数据-1，5，8，8，11，则（ ） A. 新数据的极差与原数据的极差相等 B. 新数据的中位数比原数据的中位数大 C. 新数据的平均数与原数据的平均数相等 D. 新数据的标准差是原数据的标准差的3倍 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A，新数据极差为，原数据极差为，错误. 选项B，新数据中位数为，原数据中位数为，正确. 选项C，新数据平均数为，原数据平均数为，错误. 选项D，由数据可知该规则为，通过标准差的性质可知新数据标准差是原数据的倍，正确. 10. 已知函数，则下列命题正确的有（ ） A. B. 当时， C. D. 若，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入法求出判断选项A；利用特殊值法判断选项B；代入法判断选项C；分析函数单调性，结合函数的性质得出关联，进而利用基本不等式求最小值． 【详解】函数定义域为， ，故A正确； 当时，，取，则 ， ， 不满足，故B错误； ，故C正确； ，均在单调递增， 故在上单调递增， 若，则， 由于， 则，即， ，当且仅当时等号成立，故D正确． 11. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D. 若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线线平行证明线面平行即可判断；对于B，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断；对于C，根据点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小，进而根据线面角的余弦值即可求解；对于D，先根据直角三角形的性质确定的外接圆的圆心为，再求，从而确定外接球的球心及半径，进而利用球的表面积求解即可判断． 【详解】对于A，连接， 由，分别为棱，的中点，则， 又在正方体中，有，且， 则四边形是平行四边形，则，所以， 又平面，而平面，所以平面，故A正确； 对于B，将平面和平面沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，连接，， 由在平面内的投影为，在平面内的投影为， 又，，则，， 又，平面，则平面， 则当点与点重合时，平面，此时直线与平面所成角的余弦值为0； 点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小， 当点与点重合时，直线与平面所成角最小，为的余角， 又 ，所以是直角三角形， 所以当点与点重合时，直线与平面所成角与相等， 又，， 此时直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围为，故C错误； 对于D，连接，交于，则是线段的中点， 又是直角三角形，且， 则的外接圆的圆心为， 所以， 又为的中点，则， 即到三棱锥各顶点的距离相等， 所以三棱锥外接球的球心为，半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 13. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【解析】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 14. 已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换和正弦定理，由推出角的关系，再结合外接圆半径，用正弦定理和三角形面积公式将面积表示为，最后根据角的范围即可求出面积的最大值. 【详解】因为， 由积化和差：， 又，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，即， 所以. 由正弦定理：， 所以， 所以， 由，得，即，所以， 所以当，即时，取到最大值为1，此时. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数（为正实数），且满足． （1）求正实数的值； （2）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数模的公式列方程求解正实数； （2）先化简复数，再结合第四象限点的坐标特征列不等式组求的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，故， 所以， 复数在复平面内对应的点为，因为该点在第四象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知，，且． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，， . 函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）得. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， . ，. ； ，即. 函数的值域为. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若的面积为5，点在边上，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及换元法求解即可； （2）根据面积公式及（1），可求得，进而得，在中，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 由余弦定理可得， 即， 令， 则有， 所以，解得（负值舍去）， 即； 【小问2详解】 因为， 所以，且． 又因为， 即，解得， 由（1）可知， 所以， 所以， 又因为， 所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以. 18. 如图，等腰梯形中，，且，，为的中点，为的中点，将沿着翻折到． （1）若平面平面． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）（ⅰ）取中点，连接，根据翻折性质，为边长是2的等边三角形， 故， 平面平面，交线为，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面， 又平面，故， 等腰梯形中，， 故四边形为平行四边形， 又， 故四边形为菱形，则其对角线互相垂直，即， 分别是中点，故是的中位线，， 故， 又，且平面， 故平面， 又平面， 故． （ⅱ）1 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据等腰梯形翻折前后的性质，利用面面垂直推出线线垂直； （ⅱ）利用等体积法结合三棱锥的体积公式计算求解； （2）利用四棱锥的几何性质，找出二面角的平面角，进而求出，结合余弦定理求出，进而求出直线与平面所成角的正切值． 【小问1详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）由（ⅰ）知平面， 故到平面的距离为等边的高，， 在菱形中，，与菱形同底、等高， 故； 则． 【小问2详解】 取中点，连接，由等边三角形的性质知， 在平面内，， 则为二面角的平面角，即， 过点作平面，垂足为，则位于上， 则， 故投影到的距离， 在平面中，是的中位线，故， ，故是等边三角形，， 在中，由余弦定理： ， 故， 直线与平面所成角为， ． 19. 设，，定义，．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）已知函数，，若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，求证：． 【答案】（1）具有性质，理由见解析 （2） （3）证明：由题意知，在区间上单调递增， 由题可知，的增区间为和， 当时，，则， 因为，所以，即， 又，所以，则， 所以， 所以； ②当时，， 所以， 因为，所以， 因为，所以，则， 所以， 所以， 综上，得证． 【解析】 【分析】（1）根据定义得出，再判断恒成立即可； （2）先根据定义求出，结合指数函数性质即可求解的取值范围； （3）分两种情况，结合恒成立求解的范围，即可证明． 【小问1详解】 具有性质，理由如下， 由已知得，， 当时，，所以， 当时，，所以， 因此，在上恒成立， 所以具有性质． 【小问2详解】 函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数具有性质，则在区间上单调递增， 所以，即， 又，所以，即， 所以 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第二学期高一年级期终考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某高中调研学生对苏超的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是（ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 36 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知一组数据分别为-1，1，2，2，3，按照规则生成一组新数据-1，5，8，8，11，则（ ） A. 新数据的极差与原数据的极差相等 B. 新数据的中位数比原数据的中位数大 C. 新数据的平均数与原数据的平均数相等 D. 新数据的标准差是原数据的标准差的3倍 10. 已知函数，则下列命题正确的有（ ） A. B. 当时， C. D. 若，则的最小值为2 11. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D. 若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知为函数的一个零点，则_________． 13. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 14. 已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数（为正实数），且满足． （1）求正实数的值； （2）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 已知，，且． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若的面积为5，点在边上，且，求． 18. 如图，等腰梯形中，，且，，为的中点，为的中点，将沿着翻折到． （1）若平面平面． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 19. 设，，定义，．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）已知函数，，若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $