精品解析：江苏南京市中华中学2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

中华集团校考 南京市中华中学2025—2026学年第二学期期末考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 某区，，，4所学校共有2000名学生，且4所学校的学生人数之比为．若用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，则学校应抽取的人数为（ ） A. 60 B. 56 C. 44 D. 40 4. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 某5个数据的样本平均数为3，方差为2．现增加一个数据3，则这6个数的方差为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. ∥平面 B. 平面平面 C. 与平面所成角为 D. 若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据，，，，，则这组数据的极差为______，百分位数为______． 13. 已知，，则______． 14. 在中，，．若，，且，交于点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）当时，求； （2）证明：，． 16. 已知内角所对的边分别为，，，且． （1）求的面积； （2）若，求． 17. 为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． （1）求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； （2）求该样本数据的中位数； （3）若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 18. 在中，试解决以下问题： （1）若，求的值； （2）若，求： ①； ②的最大值． 19. 如图，在圆柱中，，分别是下底面和上底面的圆心，截面过圆柱的轴．为底面圆的直径，为底面圆周上异于，的一点，是圆柱的母线，为中点，且． （1）证明：平面； （2）若，二面角的平面角的正弦值为， ①求与平面所成角的正弦值； ②点为面内一动点，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华集团校考 南京市中华中学2025—2026学年第二学期期末考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，则， 则的实部为1. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解. 【详解】由，，得. 因为，所以，整理得，解得. 3. 某区，，，4所学校共有2000名学生，且4所学校的学生人数之比为．若用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，则学校应抽取的人数为（ ） A. 60 B. 56 C. 44 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】应用分层抽样计算求解. 【详解】因为某区，，，4所学校共有2000名学生，且4所学校的学生人数之比为． 所以用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，则学校应抽取的人数为. 4. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出角C，再结合两角和的正弦公式计算，最后利用正弦定理求得边的值. 【详解】由三角形内角和为，得 . 则 . 由正弦定理，得. 5. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在正三棱柱  中，， 所以异面直线  与  所成的角即为直线  与  所成的角. 连接 ，在  中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 . 在  中，. 同理，在  中，. 由余弦定理可得： . 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线  与  所成角的余弦值为 . 6. 某5个数据的样本平均数为3，方差为2．现增加一个数据3，则这6个数的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据原样本的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特征，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 已知原平均数，原方差，根据方差公式：，可得：， 增加数据3后，6个数据的总和为，新平均数：，平均数与原数据相同， 新数据的离均差平方和为原平方和加上新增数据的离均差平方，即总和仍为10， 新方差：. 7. 已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，由，，分析得关于原点对称，因此有，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】因为复数对应的点为， 且，所以点在以O为圆心，1为半径的圆上， 又，所以为圆的直径，即关于原点对称， 所以. 因为， 所以 . 又，，， 则， 所以. 即的最小值为，所以的最小值为. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用余弦的倍角公式及齐次式，即可求解. 【详解】因为，则，所以，则， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用复数的运算和模的运算求解，逐项判断. 【详解】解：设，则， 所以，，则，故A错误； ， ，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以， 而，所以，故D正确 故选：BCD 10. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件求得，从而求得，判断A；根据正弦定理对进行边角互化得，从而求得，判断B；求出的值，判断C；求出的面积，判断D. 【详解】选项A：由余弦定理得， 所以， 化简得，即， 又，故，故A正确. 选项B，由题意得， 由正弦定理得，所以，故B正确. 选项C，由，得， 所以，所以，故C错误. 选项D，由题意得的面积为，故D正确. 11. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. ∥平面 B. 平面平面 C. 与平面所成角为 D. 若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用二面角的定义判断B；利用定义求出线面角判断C；求正八面体的内切球的半径，即正四面体的外接球半径，进而求正四面体的棱长，即可判断D. 【详解】对于A，由正八面体，得四边形为正方形，， 而平面，平面，因此∥平面，故A正确； 对于B，由，平面平面， 得平面，而平面，令平面平面， 因此，取的中点，连接， 由都是正三角形，得， 则，因此是二面角的平面角， 又，是锐角， 因此平面与平面不垂直，故B错误； 对于C，由四棱锥为正四棱锥，取的中点为，连接， 则平面，所以为与平面所成角， 由四边形是边长为2的正方形，所以， 又为正三角形，所以， 所以，所以， 所以与平面所成角为，故C正确； 对于D，由正四面体可在内任意转动， 得棱长最大的四面体外接球是正八面体的内切球，设该球半径为， 而， 又，则， 设正四面体的棱长为，则其高， 由正四面体外接球半径为，得， 即，解得 ，因此该正四面体棱长的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据，，，，，则这组数据的极差为______，百分位数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】数据从小到大为，所以这组数据的极差为， 又，所以百分位数为. 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知式两边平方，并求和，结合同角三角关系式及两角差的余弦公式可得. 【详解】由，， 得，且. 两式相加得， 即，所以. 14. 在中，，．若，，且，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】选择互相垂直的为基底，根据分点关系表示相关向量，结合交点的共线性质列方程求出参数后代入数量积运算即可. 【详解】由题设得，，，以为平面一组基底进行运算， 由，得 ， 由，得为中点，故. 因在上，设， 又在上， 设， 根据基底表示的唯一性，对应系数相等得，解得. 又，且， 故.  代入，得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）当时，求； （2）证明：，． 【答案】（1） （2）由，所以 ； 由 . 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据复数的乘法运算计算即可； （2）根据复数的乘法运算结合三角恒等变换即可得证. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 由，所以 ； 由 . 16. 已知内角所对的边分别为，，，且． （1）求的面积； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理与已知边的等量关系求边长，再用面积公式计算； （2）利用中线的向量性质求解长度. 【小问1详解】 由，，得， 根据余弦定理，将，， 代入得：  ，化简得，解得， 则，又， 故面积：  ； 【小问2详解】 由得为中点，故， 两边平方得：  ， 代入，，， 得：  ， 故. 17. 为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． （1）求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； （2）求该样本数据的中位数； （3）若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出，进而求出频率. （2）利用频率分布直方图估计中位数. （3）利用频率及频数的关系求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 所以该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率为. 【小问2详解】 由（1）知该样本数据的中位数，则， 解得，所以该样本数据的中位数为. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，该企业管理层中35岁以下的频率约为， 所以该企业管理层中35岁以下的人数约为. 18. 在中，试解决以下问题： （1）若，求的值； （2）若，求： ①； ②的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正切公式计算得解. （2）①利用和角的正切公式求解；②由给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由，得， . 【小问2详解】 ①在中，由，得， 因此，而， 所以. ②由①知，则， ，得，则， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. 19. 如图，在圆柱中，，分别是下底面和上底面的圆心，截面过圆柱的轴．为底面圆的直径，为底面圆周上异于，的一点，是圆柱的母线，为中点，且． （1）证明：平面； （2）若，二面角的平面角的正弦值为， ①求与平面所成角的正弦值； ②点为面内一动点，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 【答案】（1）因为为底面圆的直径，为底面圆周上异于，的一点， 所以，又为中点，所以，所以. 又是圆柱的母线，所以底面，平面， 所以，又平面， 所以平面. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合圆柱的性质证明； （2）①根据二面角平面角的正弦值为，计算出的长度，作出与平面所成的角，通过解三角形求解； ②根据三棱锥的体积为，求出点到平面的距离，判断出点的轨迹求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为平面平面，因为平面平面， 作于，则平面， 过点作于，连， 因为平面，所以，又， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，且为锐角，如图（1）. 如图（2），设，则， 因为，所以，得， . 在中，， 又，所以，得， 因为，可得， ， 解得，所以. 由（1）知平面，平面， 所以平面平面，如图，作， 则平面，连，则为与平面所成的角. 在中，， 由，得. 在中，. ②设到平面的距离为，， ，所以. 因为平面与平面不平行，而平面， 所以点的轨迹为平面内与平行的线段，长度等于的长度， 故点的轨迹长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $