精品解析：浙江省宁波市鄞州区第二实验中学2022-2023学年九年级上学期数学学科线上测试（1）

鄞州第二实验中学初三年级数学学科线上测试（1） 一、填空题（共100分，每题5分） 1. 计算：cos45°·tan45°＋·tan30°－2cos60°·sin45°=__________ 2. 如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是________块． 3. 如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__． 4. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα等于_____． 5. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6 （1）雕塑高OA的值是____m； （2）落水点C，D之间的距离是____m． 6. 为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位（） 7. 从，，，，这五个数中，随机抽取一个数作为的值，则使函数的图象经过第一、三象限，且使关于的一元二次方程有实数根的概率是______． 8. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为_____． 9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，点与下列格点（不包括边界点）的连线中，能够与该圆弧相切的是________． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 11. 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______． 12. 设二次函数是常数，，如表列出了的部分对应值 x ... ... y ... m n ... 则方程的解是__________方程的解是__________ 13. 将抛物线向上平移（）个单位长度，＜k＜，平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n），则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ① 0＜p＜1－； ② 1－＜p＜1； ③ q＜n； ④ q＞2k－k． 14. 如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____． 15. 如图，在中，，点C在上，，的圆心P在线段上，且与边都相切．若反比例函数的图象经过圆心P，则________. 16. 如图，的直径长为16，点是半径的中点，过点作交于点，．点在上运动，点在线段上，且．则的最大能是_____________． 17. 如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____． 18. 如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为___________． 19. 如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为______. 20. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 _____cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 _____cm． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州第二实验中学初三年级数学学科线上测试（1） 一、填空题（共100分，每题5分） 1. 计算：cos45°·tan45°＋·tan30°－2cos60°·sin45°=__________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后求得计算结果． 【详解】cos45°·tan45°＋·tan30°－2cos60°·sin45° =， =， =1. 【点睛】解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 2. 如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是________块． 【答案】9 【解析】 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数. 【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，可得： 底层有6个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体， 所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是6+2+1=9， 故答案为：9. 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体. 3. 如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__． 【答案】3.6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， 即， ∴DE＝3.6， 故答案为：3.6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键． 4. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则cosα等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】要求cosα的值，想到把锐角α放在直角三角形中，设AB与CD相交于点E，过点C作CF//AB,则∠AEC=∠DCF,再连接DF,最后在Rt△DCF中即可解答． 【详解】解：如图，设AB与CD相相交于E，过点C作CF∥AB，连接DF， ∵AB∥CF ∴∠AEC=∠DCF由勾股定理得： ， ， ∴，且CF=DF ∴△DCF是等腰直角三角形 ∴∠DCF=45° ∴α=45° ∴cosα= 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解的关键． 5. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6 （1）雕塑高OA的值是____m； （2）落水点C，D之间的距离是____m． 【答案】 ①. ##1 ②. 22 【解析】 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； 【详解】解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6， ∴点A的坐标为（0，）， ∴雕塑高m． 故答案为：． （2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；． 6. 为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位（） 【答案】17 【解析】 【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， CE=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米， BC=（5-CE×）×≈1.98米， BE=BC+CE≈5.08， EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米， （56-3.1-1.98）÷3.1+1 =50.92÷3.1+1 ≈17（个）． 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位． 故答案为：17． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 7. 从，，，，这五个数中，随机抽取一个数作为的值，则使函数的图象经过第一、三象限，且使关于的一元二次方程有实数根的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，关于的一元二次方程有实数根，解得的取值范围，即可得到符合题意的数值，再利用概率公式求即可． 【详解】解：∵所得函数的图象经过第一、三象限， ， ， 不符合题意， 关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 符合条件的的值有，，共个， ∴满足题意的m的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了正比例函数的性质，根的判别式． 8. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为_____． 【答案】122° 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中，∵∠CBD=32°， ∵∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠CAD =64°， ∴∠EBC+∠ECB==58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故答案为：122°． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，点与下列格点（不包括边界点）的连线中，能够与该圆弧相切的是________． 【答案】点， 【解析】 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可． 【详解】如图所示： ∵过格点A，B，C作一圆弧， ∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0）， ∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切， ∴当△BOD≌△FBE时， ∴EF=BD=2， F点的坐标为：（5，1）或（1，3）， ∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）． 故选答案是：（1，3）或（5，1）． 【点睛】考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 【答案】####0.25 【解析】 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如图，连接EG交BD于点P， ∵平分， ∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形 ∴∠MED＝90°， ∴∠AED＝180°－∠MED＝90° ∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ∴△ADE≌△MDE（ASA） ∴AE＝ME 同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADM＝45° ∴∠ADE＝∠MDE＝22.5° ∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45° ∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5° ∴∠EMD＝∠MPE ∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x 在Rt△EFG中，∠EFG＝45°， ∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中， ∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键． 11. 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解． 【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示： 由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+ S2=π-1， ∵BC为直径， ∴∠CDB=90°，即CD⊥AB， 故CD=DB=DA， ∴D点为 中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等． 设AC=BC=x， 则， 其中 ，， 故：， 求解得：（舍去） 故答案：2． 【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 12. 设二次函数是常数，，如表列出了的部分对应值 x ... ... y ... m n ... 则方程的解是__________方程的解是__________ 【答案】 ①. ， ②. ， 【解析】 【分析】由抛物线经过，可得抛物线对称轴，再根据抛物线的对称性及表格可得及时的值． 【详解】解：由表格可得抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过，设点关于直线的对称点为， ， 解得： 抛物线经过， 方程的解是：，， 抛物线经过，对称轴为，设点关于直线的对称点为， ， 解得： 抛物线经过， 的解是：，， 故答案为：，；， 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 13. 将抛物线向上平移（）个单位长度，＜k＜，平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n），则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ① 0＜p＜1－； ② 1－＜p＜1； ③ q＜n； ④ q＞2k－k． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】先画出函数图像，判断出当时抛物线和反比例函数图象上的点的纵坐标的关系，确定抛物线右支与反比例函数图象的交点个数，再利用抛物线的对称性与反比例函数的图象与性质直接判断即可． 【详解】解: ∵抛物线, ∴该抛物线对称轴为，顶点坐标为(1，)， 将该抛物线向上平移（）个单位长度， 则顶点坐标为(1，)， 当时，反比例函数图象上点的坐标为(1，)， 如图所示，抛物线平移后的顶点纵坐标即为m，反比例函数上横坐标为1的点的纵坐标即为s， ∴m-s=， ∵＜k＜， ∴ ∴抛物线的右支与反比例函数图象只有一个交点，且该交点横坐标大于1； ∵平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n）， ∴点M为抛物线右支与反比例函数图象的交点， ∴点P为抛物线左支与反比例函数图象的交点， 由于反比例函数的图像在第一象限内y随x的增大而减小，且抛物线关于直线对称 ∴1－＜p＜1；q＞2k－k． ∴②④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了抛物线与反比例函数的图像与性质，解题关键是弄清楚这两个交点分别位于抛物线的左支和右支上，再利用抛物线的轴对称性和反比例函数图像的增减性进行判断． 14. 如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分， 则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于3π， 故答案为：3π． 15. 如图，在中，，点C在上，，的圆心P在线段上，且与边都相切．若反比例函数的图象经过圆心P，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设与边分别相切于点E、D，连接，用面积法可求出的半径，然后通过三角形相似可求出，从而得到点P的坐标，就可求出k的值． 【详解】解：设与边分别相切于点E、D，连接，如图所示． 则有，． 设的半径为r， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点P的坐标为． ∵反比例函数的图象经过圆心P， ∴． 16. 如图，的直径长为16，点是半径的中点，过点作交于点，．点在上运动，点在线段上，且．则的最大能是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到 ，使得 ，连接 ， ， ， ．首先证明 ，解直角三角形求出 ，求出 的最大值即可解决问题． 【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ， ， ． ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴∽ 则 又∵，， ∴ 在中 ， ∴ ∵ ∴ 则的最大值为 ∴的最大值为 故答案为 【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 17. 如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接，如图， 设， ， ，， 点为弧的中点， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和△中 ， △， ，， ， ，解得， ． 故答案为4． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 18. 如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为___________． 【答案】8或2 【解析】 【详解】试题分析：因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论，设BE长为x． ①如图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB=tan∠BEM，AB：AD=DF：FE=AB：（BE﹣AD）．即2：4=2：（x﹣4）．解得x=8．即BE=8． ②如图2，当∠ADB=∠BME，而∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠BME，∵∠E是公共角， ∴△BED∽△MEB，∴，BE2=DE•EM=DE2=（DF2+EF2）， ∴BE2= [22+（4﹣x）2]，∴x1=2，x2=﹣10（舍去），∴BE=2． 综上所述线段BE为8或2， 故答案为8或2． 考点：相似三角形的判定与性质． 19. 如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图作于，连接，，交于．解直角三角形求出，利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理求出即可． 【详解】如图，作于，连接，，交于． 是直径， ，， ， 点是的中点， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ，设，则， ， ， （负根已经舍弃）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 _____cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 _____cm． 【答案】 ①. 130 ②. 77 【解析】 【分析】连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G，先证明，根据勾股定理可得DC长，再根据勾股定理即可解出AD长，②过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K，根据勾股定理可得FK长，关于 的三角函数可求，再根据三角函数可求出、的值，即可求解． 【详解】① 如图，连接BD，过D点作DG⊥AB交AB于点G， ∵N为AB重点，且TN⊥AD， ∴AN=DN，， ∵BN为△ABN与△DBN共边， ∴， ∴BD=AB=169 cm， ∵，BC⊥AB， ∴， ∴cm， ∵BC⊥AB，DG⊥AB， ∴， ∴四边形DGBC为矩形， ∴BG=DC=119 cm，DG=BC=120 cm， ∴AG=AB-BG=169-119=50 cm， ∴cm． 故答案为130． ② 如图，过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AK⊥FC于点K， 则AK=BC=120 cm，， ∵cm， ∴cm， ∴，，， 在中，cm ， ∴cm ， 在中，cm ， 在中， cm， cm ， ∴cm， ∵轮胎半径为30 cm， ∴点P'到地面的离为47+30=77 cm． 故答案为77． 【点睛】本题考查了三角形全等、平行线的性质、三角函数及勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $