精品解析：江苏南京师范大学附属实验学校2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 若点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，，，那么角等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 在中，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，，符合条件的有两个，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 12. 已知向量，，若，则_________. 13. 已知，则________. 14. 小明同学在广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为15米，，在点C测得A的仰角为，在点D测得A的仰角为．根据以上测量数据，纪念碑的高度为______米． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，求： （1）的值； （2）. 16. 已知向量，，. （1）当，求x，y； （2），且，求向量与的夹角. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 18. 已知， （1）若，求与夹角的余弦值； （2）若，求的值. 19. 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，，点为矩形内一点，且，设. （1）当时，求的值. （2）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 若点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标表示求解． 【详解】因为，所以， 故选:B. 2. 已知中，，，那么角等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减法和数量积的坐标表示和运算求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，即，则. 故选:B. 4. 已知，，，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】投影向量的定义计算. 【详解】设的夹角为θ，根据投影向量的定义，可得向量在向量上的投影向量是 . 故选：A. 5. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设旋转后的角为，则，再根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】设旋转后的角为，则，， 所以. 故选：A. 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算与基本定理即可得. 【详解】由，则，则， ， 故、，故. 故选：A. 7. 定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】设与互为“等模整向量”的向量，根据定义求解即可. 【详解】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或， 令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个. 故选：B. 8. 在中，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案． 【详解】因为， ， 所以，，即， 因为，所以 所以，即为等腰三角形. 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A选项正确. ，所以B选项错误. ， 所以，所以C选项正确. ，所以D选项错误. 故选：AC 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化简计算即可. 【详解】对于A项，，故A项成立； 对于B项，，故B项不成立； 对于C项，，故C项不成立； 对于D项，，故D项成立. 故选：AD. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，，符合条件的有两个，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，：表示角平分线的单位向量，由此判断三角形；B，C利用正弦定理判断即可；D利用三角形的边与高线的关系判断即可． 【详解】A项：表示角平分线的单位向量，由已知可得的角平分线与直线垂直， 则为等腰三角形，则，A正确； B项：中，，又，，所以或， 即或，可得的形状为等腰三角形或直角三角形．故B错误； C项，因为，由正弦定理，得，所以，C正确； D项，符合条件的有两个，，且，则由正弦定理得，故，所以，D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用两角和的正弦公式展开，再平方，即可化简求值. 【详解】，两边平方后得 ， 解得：. 故答案为： 14. 小明同学在广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为15米，，在点C测得A的仰角为，在点D测得A的仰角为．根据以上测量数据，纪念碑的高度为______米． 【答案】15 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义结合余弦定理即可求解. 【详解】设米，在中，，，得， 在中，，，得， 在中，，，则由余弦定理得， ，解得，即 所以纪念碑高度为15米． 故答案为：15． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，求： （1）的值； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，， 所以， 则； 【小问2详解】 由，，可得 则. 16. 已知向量，，. （1）当，求x，y； （2），且，求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量相等构造方程求得； （2）先利用平面向量共线的坐标表示求解向量，再利用向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 依题意， 即，解得 所以. 【小问2详解】 由向量，，，所以 由，得，解得， 所以， 所以， 所以，又，所以. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求C的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以， 所以，解得， 所以 18. 已知， （1）若，求与夹角的余弦值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出坐标，由，求得，根据向量夹角公式求解； （2）由两向量平行的坐标关系求得，又，结合诱导公式和二倍角余弦公式求解. 【小问1详解】 由题：， 所以 ，解得， 所以， 所以. 【小问2详解】 ，解得， ， 故. 19. 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，，点为矩形内一点，且，设. （1）当时，求的值. （2）求的最大值. 【答案】（1）5 （2）6 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解； （2）设，求出对应向量的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则, 当时，，则， 所以； 【小问2详解】 由三角函数的定义可设， 则，， 所以 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $