江苏徐州市第一中学2023-2024学年第二学期高一年级期中检测数学试卷

**基本信息** 徐州一中高一数学期中卷聚焦复数、解三角形、向量核心知识，融合欧拉公式文化素材与校园美化现实情境，通过分层设题考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数实部虚部、解三角形条件判断、向量投影|第7题结合欧拉公式考查复数几何意义，渗透数学文化| |多选题|3/18|复数运算、向量共线与平行四边形判定|第10题辨析向量性质，培养批判性思维| |填空题|3/15|三角形中线长、向量夹角、锐角三角形最值|第14题锐角三角形最值问题，考查转化思想| |解答题|5/77|复数纯虚数求解、矩形场地面积优化、解三角形综合|第16题校园美化面积优化，强化模型意识；第19题单位圆动点问题，提升逻辑推理能力|

徐州一中2023—2024学年度第二学期高一年级期中检测 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z的实部与虚部的和为（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】直接由实部虚部的定义计算即可. 【详解】由知实部为3，虚部为，故实部与虚部的和为. 故选：B. 2. 在中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理即可判定. 【详解】由二倍角公式可化简得：，而，故， 由正弦定理可得， 反之，也成立，即为充要条件. 故选：C． 3. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，求得，再结合齐次式的运算，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 又由. 故选：A. 5. 在中，点是边的中点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合图象可得，，.平方结合已知相加，整理化简，即可得出答案. 【详解】 由已知结合图象可得，，，， 所以，，. 由，可得，所以； 由，可得，所以. 两式相减，整理可得，所以. 故选：D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，整理可得：，由余弦定理可解得，结合为三角形内角即可解得的取值范围. 【详解】解：因为， 整理可得：， 由余弦定理可得：， 由为三角形内角，即，可得：. 故选：C． 7. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 最大值为2 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， ，当时取等号，B正确； 对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D错误. 故选：B 8. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，根据正弦定理求得，结合，即可求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得，可得， 过点作，可得 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列结论正确有（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A，由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B，由复数模的运算性质判断选项C，由复数的乘法运算及模的平方判断选项D. 【详解】设 对于A，， 故选项A正确； 对于B，因为， 则，则或， 所以中至少有一个0， 故选项B不正确； 对于C，由复数模的运算性质可知， ， = 故选项C正确； 对于D，当，则， ，所以 故选项D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则，且四点构成平行四边形. B. 若为非零实数，且，则与共线. C. 在中，若有，那么点一定在角的平分线所在直线上. D. 若向量，则与的方向相同或相反. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的定义、共线向量的概念判断ABD，利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如线段上，为线段的四等分点，满足，且， 但四点不能构成平行四边形，A错误； 对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确； 对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量， 所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合， 所以点一定在角的平分线所在直线上，C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量， D错误. 故选：AD 11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ） A. 的面积 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到，进而由数量积运算法则得到答案. 【详解】A选项，由正弦定理得，即， 的面积，A正确； B选项，因为，所以， 由正弦定理得，B错误； CD选项，因为，所以， 即， 故， 即， 所以，C错误，D正确， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为若，，，则中线AD的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，由余弦定理得， ，又， 两式相加得，即，化简得， 所以. 故答案为： 13. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量运算律求得及，然后利用数量积的夹角公式求解即可. 【详解】因为平面向量满足， 所以， 所以，即， 所以， 设与夹角为，则， 又，所以. 故答案为： 14. 在锐角三角形中，己知，则的最小值是______. 【解析】 【分析】先利用三角函数的和差公式，结合锐角三角形角的范围得到，再利用正切函数的诱导公式与和差公式转化，从而将所求转化为关于的表达式，进而利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，， 所以，则， 所以， 因为在锐角三角形中，，则， 所以，令，则，， 而， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于找到与的关系，从而将所求统一表示为，由此得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模； （2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ， 为纯虚数， ，解得， 故，则 【小问2详解】 ， ， 复数所对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 16. 在校园美化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地． （1）甲校决定在半径为30m的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地．如图所示，求出观赛场地的最大面积； （2）乙校决定在半径为30m、圆心角为扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，设中点为M，连接交于N，记，请你确定B点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1） （2）当时，矩形的面积最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）首先设，得到，，从而得到，再利用三角函数图象的性质即可得到面积的最大值. （2）首先，得到，，，，从而得到，再利用三角函数的图象性质即可得到面积的最大值. 【小问1详解】 如图所示： 设，则，且，， 易知为的中点，所以， 当，即时，. 故观赛场地的面积的最大值为. 【小问2详解】 如图所示： ，则，且，， ，， ， 当，即时，， 此时. 故当时，矩形的面积最大，最大值为 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 因为，即， 而，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有． 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 18.在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求角； （2）若，点满足， ①求证：： ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ② 【解析】 【分析】（1）根据二倍角余弦公式化简，再利用正弦定理，余弦定理运算求解； （2）由向量运算及正弦定理可得；由，可得，根据余弦定理和基本不等式可求得的范围，得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 因为，所以． 【小问2详解】 设， 则， 又因为， 所以，， 所以， 由正弦定理可知:, 两式相除可得， 所以，即， 因为，所以. 因为，且， 所以， 化简，得，解得， 由（1），得，即， 由，得， 解得（当且仅当时取等号）， 又，所以． 而，且是关于的增函数， 所以当时，． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可. （2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值. （3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ， 为锐角，， 解法一： . 取的中点为，， . 解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系， ， ， ，， ， . 故小问1答案为：. 小问2详解】 解法一：由题意知： ， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法三： 设， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故小问答案为： 【小问3详解】 解法一：由题意知： 令，则原式 当且仅当即，等号成立，的最小值为 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系 三点共线 ， ， ， ， ， . 解法三：由题意知： ， ， ， 下同解法二. 故小问答案为：. 【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2023—2024学年度第二学期高一年级期中检测 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z的实部与虚部的和为（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 2. 在中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点是边的中点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 最大值为2 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 8. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列结论正确有（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则，且四点构成平行四边形. B. 若为非零实数，且，则与共线. C. 在中，若有，那么点一定在角的平分线所在直线上. D. 若向量，则与的方向相同或相反. 11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ） A. 的面积 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为若，，，则中线AD的长为______. 13. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 14. 在锐角三角形中，己知，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 在校园美化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地． （1）甲校决定在半径为30m的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地．如图所示，求出观赛场地的最大面积； （2）乙校决定在半径为30m、圆心角为扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，设中点为M，连接交于N，记，请你确定B点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 18.在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求角； （2）若，点满足， ①求证：： ②求的最大值． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $