精品解析：安徽省宿州市第三初级中学2025-2026学年第二学期八年级期末测试卷 数学

宿州市第三初级中学2025-2026学年第二学期八年级期末测试卷 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题4分，满分40分） 1. 代数式：中，属于分式的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式定义逐个判断即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：∵ 的分母含有字母，∴ 是分式； ∵ 是单项式，属于整式，不是分式； ∵ 的分母是常数，属于整式，不是分式； ∵ 中是常数，不是字母，分母为常数，属于整式，不是分式； ∴所给代数式中，分式共有个． 2. 中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C， 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一． B. 在三角形中，角所对的边等于最长边的一半． C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． D. 两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形和等边三角形的性质，以及全等三角形的对称性；选项A错误，因为三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边；选项B错误，因为角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形；选项C正确，因为有一个角是的等腰三角形所有角均为60°；选项D错误，因为全等三角形不一定轴对称. 【详解】解：A、三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合，简称三线合一，故A不符合题意； B、角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形，即直角三角形中角所对边等于斜边的一半，故B不符合题意； C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故C符合题意； D、全等三角形不一定轴对称，故D不符合题意. 故选：C. 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出错误的判断即可． 【详解】解：A、由于，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， 则，选项正确，不符合题意； B、由于，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，则，选项正确，不符合题意； C、当时，则，选项错误，符合题意； D、由于，且，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，选项正确，不符合题意． 5. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：、选项中是整式乘法运算，结果是和的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项等式右边不是积的形式，是差的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中，将多项式化为两个整式的积，是因式分解，符合题意． 6. 如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点定义求得，又四边形是平行四边形，所以，即是的中点，因为点是的中点，所以是的中位线，然后通过中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长是． 7. 正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正边形的内角和为、外角和为是解题的关键． 由题意知，正六边形的一个内角为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正六边形的一个内角为， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 8. 如图是函数与的图象，下列结论正确的是（ ） A. 关于x的方程的解为 B. 关于x的方程组的解为 C. 关于x的不等式的解集为 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 9. 目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据“时间路程速度”的关系，分别表示出两种挖掘方式的用时，再结合用时差列出方程． 【详解】解：设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，硬岩掘进机挖掘速度是传统钻爆法的倍， 硬岩掘进机的挖掘速度为千米/月， 总长度为千米，且时间总路程速度， 传统钻爆法用时为个月，硬岩掘进机用时为个月， 硬岩掘进机用时缩短约个月，即传统钻爆法用时比硬岩掘进机多个月 可列方程 ． 10. 图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 二、填空题（每题5分，满分20分） 11. 点A(﹣2，3)与点B(a，b)关于坐标原点对称，则ab的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案． 【详解】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称， ∴a＝2，b＝﹣3， 则ab＝2﹣3＝， 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 12. 如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴当时，根据“”可判定. 13. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14. 已知，深入研究发现，如果将转化为，就会得到，整理得． 填空：（1）分解因式：________（2）若，则的值为________． 【答案】 ①. ②. 27 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键． （1）将8写成，应用立方和公式分解因式； （2）利用立方差公式和已知条件，将表达式化简后再分解因式，最后再代入求值即可． 【详解】解：（1）， 根据立方和公式，其中， 得； 故答案为； （2）由立方差公式， 得， 把代入得， 则原式 ， 把代入得， 的值为27． 故答案为：27． 三、解答题（满分90分） 15. 解不等式或不等式组: （1）解不等式： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】（1） （2）数轴见解析， 【解析】 【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【小问2详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示不等式的解集为： ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律． （1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点； （2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点． 【小问1详解】 解： 点关于原点对称的点的坐标为， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点． 顺次连接，得到，即为所求（见下图）． 【小问2详解】 解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点． 顺次连接，得到，即为所求（见上图）． 18. 已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程会产生增根； （2）当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【小问1详解】 解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． 【小问2详解】 解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 19. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 20. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为． 【小问2详解】 解：由图形可知，，， ∵， ∴， 整理得，，即， ∴， ∴． 21. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 22. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 （2）售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【解析】 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【小问1详解】 解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． 【小问2详解】 解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为．  中，，  随的增大而减小，  当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 23. 已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿州市第三初级中学2025-2026学年第二学期八年级期末测试卷 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题4分，满分40分） 1. 代数式：中，属于分式的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一． B. 在三角形中，角所对的边等于最长边的一半． C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． D. 两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形． 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 8. 如图是函数与的图象，下列结论正确的是（ ） A. 关于x的方程的解为 B. 关于x的方程组的解为 C. 关于x的不等式的解集为 D. 当时， 9. 目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每题5分，满分20分） 11. 点A(﹣2，3)与点B(a，b)关于坐标原点对称，则ab的值为__． 12. 如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 13. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 14. 已知，深入研究发现，如果将转化为，就会得到，整理得． 填空：（1）分解因式：________（2）若，则的值为________． 三、解答题（满分90分） 15. 解不等式或不等式组: （1）解不等式： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的． 18. 已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程会产生增根； （2）当此方程的解是正数时，求的取值范围． 19. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 21. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 22. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 23. 已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若的周长为，，求梯形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $