第七章相交线与平行线--拐点问题压轴题 期末专题训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线拐点问题，以“作平行线构造三线八角”为核心方法，系统整合静态模型、动态变换与新定义问题，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型构建|题1-4（含“猪蹄模型”）|过拐点作平行线，转化角的和差关系|以平行线性质为基础，通过辅助线将拐点角分解为已知角| |综合应用|题5-7（坐标、角平分线）|结合坐标系参数计算，动态点分类讨论|融合代数计算与几何推理，体现数形结合思想| |创新拓展|题8-10（旋转、新定义“k系补周角”）|动态问题中抓不变量，新定义问题转化为基本模型|从静态到动态，从具象到抽象，提升数学抽象与应用意识|

人教版第七章相交线与平行线--拐点问题压轴题专题训练 1．如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、、．且满足：．点从点出发，沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动．点从点出发．沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)直接写出点的坐标_____；点的坐标_____；点的坐标_____． (2)当、分别在线段、上运动时，连接、，当时，求出点的坐标； (3)在运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 3．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 4．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 5．综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．   解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    6．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 7．已知，点M，N分别为和上两点，点E在直线和之间． (1)点G为延长线上一点，平分平分． ①如图1，当点E在线段上时，试判断与的位置关系，并说明理由； ②当点E不在线段上时，直线，交于点P．直接写出与的数量关系为 ； (2)如图2，以每秒30°的速度绕E点逆时针方向旋转到，同时以每秒20°的速度绕N点顺时针方向旋转到，经过多少秒，？（旋转360°时，和同时停止） 8．问题情境： （1）如图①，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得______；    问题迁移： （2）图②，图③均是由一块三角尺和一把直尺拼成的图形，三角尺的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．    ①如图②，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如图③，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 拓展延伸： （3）当点在，两点之间运动时，若，的平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 9．（1）引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图所示，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE． 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证： 证明：如图，过点E作EFAB． （2）思考：当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由． （3）应用：如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数． （4）提升：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数． 10．已知：如图1，，C在D的右侧， 平分平分所在直线交于点E．    （1）若，则________（度）; （2）若，求的度数（用含m，n的式子表示）． （3）将图1中的线段沿所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若，其他条件不变，得到图2，请你求出的度数（用含m，n的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教版第七章相交线与平行线--拐点问题压轴题专题训练》参考答案 1．(1)4 (2)45度 (3)存在，或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，角平分线的定义，也考查了平行线的性质和三角形面积公式． （1）根据题意，解得，，则，，然后根据三角形面积公式计算； （2）作，如图②，则，根据平行线的性质得，，则，而，，所以，于是，则； （3）根据面积之间关系列代数式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ，， ，， 又∵， ∴，， ，， 轴， ，， ， 故答案为：4； （2）作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ； （3）存在．当点在轴正半轴上时，如图所示， 设点的坐标为，分别过，，作轴，轴，轴，交于点，， 由（1）知， ，易知，，，， ， 解得， 当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，， 设点的坐标为， ，，，，， ， 解得， 综上所述，点的坐标为或． 2．(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出的值，从而得到点的坐标； （2）作于点，设点的运动时间为秒，求出，得到，即可得到点的坐标为； （3）作，交直线于点，得到，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时；根据平行线的性质分别计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， 点、、坐标分别为， 故答案为：； （2）解：如图，作于点， ，， ， ， 设点的运动时间为秒，则， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：作，交直线于点， ， ， ， 如图，当点在点的下方时， ，， ， ； 如图，当点在点的上方时， ，， ， ； 综上所述， 和的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、非负数的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是能利用非负数的性质确定点的坐标，并灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 3．(1)60 (2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可； ②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解． 【详解】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360， 解得，x=60， ∠H的4系补周角的度数为60°， 故答案为：60； （2）解：①过E作EF∥AB，如图1， ∴∠B=∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，∠D=60°， ∴∠D=∠DEF=60°， ∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF， 即∠B+60°=∠BED， ∵∠B是∠BED的3系补周角， ∴∠BED=360°-3∠B， ∴∠B+60°=360°-3∠B， ∴∠B=75°； ②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 4．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与，之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴，， ∴；即 （3）解：如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵ ∴，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在射线上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 5．（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图2，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； （3）过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． 6．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 7．(1)①，理由见详解；② (2)；； 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质与判定，平行线探究角的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义、即可作答． （2）先由角平分线的定义得，结合平行线的性质，得，结合三角形的外角性质，得，再进行角的等量代换，即可作答． （3）先表示，，再分别作图，运用数形结合思想，结合平行线的性质，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图： ∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∴ ∴； ②如图：过点作直线 ∵平分平分 ∴ ∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴ 则 （2）解：过点E作 ∵ ∴ ∵ ∴ 如图：设时间为，则， 当时，如图 ∴ 即 解得； 如图：∵， ∴ 解得 如图：∵， ∴ 解得 如图：∵， ∴ 解得，故舍去 综上：；； 8．（1）；（2）①，②，理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，则，由平行线的性质可得，进而可得的度数； （2）①过点P作，依据平行线的性质可得，进而可得与，之间的数量关系； ②过P作，依据平行线的性质可得，，即可得到； （3）过P和N分别作的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到与∠α，∠β之间的数量关系为． 【详解】（1）如图1，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①，理由： 如图②，作过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由：如图，过点作，    则， ∵， ∴， ∴， ∴． （3），理由： 如图，    理由：由（2）①可得，， ∵，的平分线，相交于点， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论． 9．（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得证； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论； （3）先根据（2）的结论求出的度数，再根据邻补角的定义即可得； （4）过点作，从而可得，先根据（2）的结论可得，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）如图，过点作， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （3）由（2）已得：， ， ， ； （4）如图，过点作，则， 由（2）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、邻补角等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 10．（1）55°；（2）；（3）180°-m°+n° 【分析】（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； （2）过点E作EF∥AB，参照（1）的方法求解； （3）过点E作EF∥AB，参照（1）（2）的方法求解． 【详解】解：（1）如图，过点E作EF∥AB，    则有∠BEF=∠EBA， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD． ∴∠FED=∠EDC， ∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC， 即∠BED=∠EBA+∠EDC， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠EBA=∠ABC=20°，∠EDC=∠ADC=35°， ∴∠BED=∠EBA+∠EDC=55°， 答：∠BED的度数为55°； （2）过点E作EF∥AB，    则有∠BEF=∠EBA， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD． ∴∠FED=∠EDC， ∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC， 即∠BED=∠EBA+∠EDC， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠EBA=∠ABC=m°，∠EDC=∠ADC=n°， ∴∠BED=∠EBA+∠EDC=， 答：∠BED的度数为； （3）过点E作EF∥AB，    有∠BEF+∠EBA=180°． ∴∠BEF=180°-∠EBA， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD． ∴∠FED=∠EDC． ∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC． 即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠EBA=∠ABC=m°，∠EDC=∠ADC=n°， ∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-m°+n°， 答：∠BED的度数为180°-m°+n°． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $