第七章相交线与平行线--平行的性质与判定综合运用专题训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦平行线性质与判定的综合应用，通过分层题型构建“性质-判定-转化”的解题方法体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础证明|1,17题|依据填写（垂直定义、等量代换）|从定义到判定的推理链条| |性质判定综合|2-7,9-16题|角转化（角平分线、对顶角）|性质与判定的双向应用| |拓展探究|8,18-20题|数量关系探究（同旁内角互补）|平行线与三角形内角的综合|

人教版第七章相交线与平行线--平行的性质与判定综合运用专题训练 1．请补全下面的证明过程． 已知：如图，，垂足为F，，垂足为D，．求证： ． 证明： ∵（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴∠ （ ）． ∴（ ）． 2．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 3．如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 4．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 5．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．如图，，与交于点P． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 7．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 9．如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 10．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 11．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 12．已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 13．已知：如图，是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系． 15．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 16．如图，， (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 17．如图，已知于点 ，，，求证：． （把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：∵， ∴，（______）， ∴． ∵， ∴，（______）． ∴____________（______）． ∴______（______）， ∵， ∴______． ∴____________． ∴． 18．如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 19．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 20．如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教版第七章相交线与平行线--平行的性质与判定综合运用专题训练》参考答案 1．证明： ∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【分析】因为两条直线垂直于同一条直线，所以先根据垂直的定义得到两个直角相等，以此填写第一个空缺依据．因为同位角相等，所以可判断两条直线平行，以此填写第二个空缺的平行线判定依据．因为，所以根据平行线的同位角相等性质，确定与相等的角，填写第三个空缺的角．因为，所以根据平行线的内错角相等性质，确定与相等的角，填写第四个空缺的角和对应的性质依据．最后因为两组角分别等于同一个角，所以根据等量代换得到，填写最后一个空缺依据． 【详解】略 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据，得出，再根据平分，得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由，推出，进而推出，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴． 6．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到，求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 8．(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质等知识， （1）根据题意易得，根据“同位角相等，两直线平行”可得，进而可得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 9．(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 11．(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．(1)见解析； (2)，． 【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质． （1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ， ∴． ∵， ∴． 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由，，可得，即可证明； （）由平行线的性质可得，又由平分，得，再根据平行线的性质可得到的度数； 本题考查了平行线的判定和性质，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行． （2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）证明：、平分、， ，； ， ； 同旁内角互补，两直线平行 （2）解：， ， 平分， ， ． ． 15．(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 16．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由于，可判断，则，由得出，可判断出； （2）根据平行线的性质得出，根据垂线的定义和角的和差关系求出，则可得到的度数，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．垂直的定义；同角的余角相等；；；；两直线平行，同旁内角互补；；；； 【分析】根据题意得到（垂直的定义），得到，（同角的余角相等），可证明 （内错角相等，两直线平行），得到（两直线平行，同旁内角互补），即可得到结论． 【详解】略． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】（1）证明：如图所示， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 19．(1) 证明： ； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：平分 、 ． 20．(1) (2) 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $