广东深圳市宝安中学（集团）石岩外国语学校2025-2026学年高一下学期期中教学质量监测数学试题

2025-2026学年第二学期中段教学质量监测 高一数学 注意事项： 2026.4 1.在答题卡指定区域作答，否则一律无效。 2.本试卷共4页，19小题，满分为150分，考试时间120分钟。 第I卷选择题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数==(-2+i)i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是() A.2i B.-21 C.-2 D.2 【答案】C【详解】因为=（-2+i)i=-1-2i,则z的虚部是-2， 2.已知△ABC是等边三角形，边长为4，则AB.BC=() A.-8 B.8 C.-45 D.-V5 【答案】A【详解】因为△ABC是等边三角形，边长为4，所以 AB.BC-AB-BCcos(180°-60)=4×4× -8故选：A 2 3.己知圆锥的底面半径为√，侧面展开图的圆心角 2 3, 则圆锥的表面积是() A.2√3m B.6√3元 C.8π D.12π 【答案】D【详解】圆锥的底面半径为r=√3，侧面展开图的弧长为2√3π， 又侧面展开图的圆心角为 3，得圆锥母线长1=23匹=33 2π ,则圆锥的表面积 3 S=1+π2=12元.故选：D 4.已知单位向量a,6满足a1(a+2b),则a-=() A.2 B.5 C.2 D.1 【答案】B【详解】由题意可知aa+2b)=0→+2ab=0→2ab=-=1, 所以a-=a-=V冠-2āb+B=√（4)H=3.故选：B, 高一数学解析第1页共11页 5.在△ABC,若acosB=bcosA,且a=bsinC,则△ABC的形状是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 因为acosB=bcosA,由正弦定理可得sinAcosB=cosAsinB,则tanA=tanB,A=B.所 以a=b,又因为a=bsinC,所以sinC=1,又C∈(O,D,可得C=2故△ABC的形状 是等腰直角三角形.故选：C 6.对于直线m,n和平面u,下面命题中的真命题是() A,如果mCa,直线n不在平面a内，m,n是异面直线，那么n∥a B.如果mCa,n与相交，那么m,n是异面直线 C.如果mca,n∥a,m,n共面，那么m∥n D.如果m∥o,n∥a,m,n共面，那么m∥n 【答案】C【解析】对于A,如果mCa,nda,m,n是异面直线，则n∥ca或n与a相交， 故A错：对于B,如果mCa,n与a相交，则m,n相交或是异面直线，故B错；对于C, 如果mca,n∥a,m,n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n,故C对对于D,如 果m∥c,n∥a,m,n共面，则m∥n或m,n相交，故D错. 7.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现 在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=120m,∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°， ∠ACB=120°，则A、B两点的距离为() A.603m B.120W2m C.120W3m D.120√5m 【答案】D【详解】如图，在△BCD中，CD=120m,∠BDC=15°， BD120 ∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°，所以∠CBD=30°，由正弦定理得 sinl35°sin30°， 解得BD=120√2m,在△ACD中，CD=120Im,∠DCA=15°∠ADC=∠ADB+∠BDC=135+15°=150°， 所以∠CAD=15°，故AD=CD=120m,所以在△ABD中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD.BD.coS∠ADB=1202+120V2)2-2×120x1202×c0s135° =1202×5,则AB=120W5,即A,B两点间的距离为120W5.故选：D. 高一数学解析第2页共11页 8.若一个正四棱台的高为号，上下底面的边长分别为5和2√5的正方形，则该台体的外接 3 2 球的表面积() 4.105 9 9 B. C.05 D. 4 16 16 【答案】A【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示， D D 则其外接球球心在直线OO2上， B 9=25,4B=3,0O所以BQ=)，B0,=V6,由0B=0B,设0O 可得VB+x=VB+x+ 3 ,所以外接球半径即 解得x=3 OB=VOO+BO=105,所以其外接球表面积为4rX W105 105π 故选：A 4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数=行2=(1+303-)，则() A.z1的共轭复数的虚部为 B.|z2|=10 C.z2-12z1为纯虚数 D.在复平面内，复数20z1+z2所对应的点位于第一象限 【答案】A8c【解析】易知21=侣号-。- 22=8i+6, 对于A,易知云=+i,其虚部为故A正确：对于B,22=V⑧+6-10，故B正确： 对于C,22-12红1=6+8i-12(G-习=14i,为纯虚数，故C正确： 对于D,20z1+2=20(传-判)+6+8i=16-2i,对应的点为16-2)位于第四象限， 故D错误 故选：ABC 高一数学解析第3页共11页 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,如下命题正确的是() A.若c=V3,b=1,B=30,则△ABC的面积为5 B.若a2+b2<c2,则∠C为钝角 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB. D.若B=号a=2W3,且△ABC有两解，则b的取值范围是(3,2V3 【答案】BCD(解析】对于A在△ABC中，若c=V3,b=1,B=30°，则由正弦定理得= sin B sinc 解得sinC=5,因为C∈(0°，180，所以∠C=60°或120，故∠A=90°或30， 所以△ABC的面积S=bcsinA=或华故A错误， 2 对于B在△ABC中，若a2+b2<2,则cosC=+2C<0,因为CE(0,D,所以∠C为钝 2ab 角，故B正确 对于C因为△ABC是锐角三角形，所以∠C<故A+B=I-C>因为A,BE(O,) 所以0<；-B<A<2又因为y=sinx在(o,)上单调递增，所以sinA>sin(G-B)=cosB, 故C正确。 对于D如图所示， 若△ABC有两解，则asinB<b<a,解得3<b<2√3，故 D正确故选：BCD. 11.如图，正方体ABCD-AB,C1D的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1,BB的中点，则下 列说法正确的有() D A,三棱锥CAEF的体积为号 A B.直线AG与平面AEF平行 G D C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】BC 高一数学解析第4页共11页 D H 【详解】 D B 0 对于A,三棱锥CAEF的体积为4A错误： 对于B:取BC中点H,连接AH,因为H,E,G分别为B,C,BC,BB中点，所以GH∥EF, AH∥AE,可得GH∥平面AEF,AH∥平面AEF,可得平面AGH∥平面AEF,因为 AGC平面AGH,所以AG∥平面AEF,故B正确： 对于C:连接AD,DF,因为E,F为BC,CC1的中点，所以EF∥AD,所以平面AEF截正 √2+ √23W2 方体的截面为AEFD1, 2 49 8 故C正确： 对于D:连接CG交EF于点M,延长FE交BB的延长线于点Q, 因为，F为BC,CC的中点，所以BQ=RC,G0=2FC,又FMCQMG,所以C- GM 2 即M为CG的三等分点，M不是CG的中点，所以点C和点G到平面AEF的距离不相等， 故D错.故选：BC 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） i 12.若复数：12，则日 【省】原【样n”列号所以4层石9 ii0+21)-2+i2,1: 13.如图，一个水平放置的△ABC的斜二测直观图是△AB'C,若OA=1,OB=OC=2, A少 则△ABC的周长为 B C” 高一数学解析第5页共11页 【答案】4+4√2【详解】依题意，在△ABC中，O是边BC的中点，OA=2,OB=OC=2, ∠AOC-90°，因此AB=AC=√2+2F=2V5,所以ABC的周长为AB+BC+AC=4+4V2. 14.已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2， 圆O的直径MN∥CD,点P在正六边形的边上运动，则PM·PN的最小值为 E【答案】8【详解】B E如图所示，由正 D 六边形的几何性质可知，△OAB,△OBC,△OCD,△ODE,△OEF,△OFA均是边长为4的等边三角形， PM.PN=(PO+OM)(PO+ON)=(PO+OM).(PO-OM)=PO OM, 又|OM=2,PM.PN=POP-4,当点P位于正六边形ABCDEF各边的中点时，|PO1取最 小值，如图H为4P中点，连接oH,则OH=4im=25, 3 此时PM·PN=POP-4=8,即PM.PV的最小值为8.故答案为：8. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知向量a、b满足a=(1,2),b=(-3,-1) (1)求a与b的夹角： (2)求2a-36: (3)求向量ā在向量6上的投影向量的坐标. 【详解】(1)因为向量a、万满足a=(1,2),6=-(-3,-1),则a.五=-3-2=-5，园=5， 风.所a动= 5 因为0≤位s元，放(a.列=行，即云与方的夹角为头 5分 (2)因为2a-36=(2,4)-(-9,-3)=11,7),故2a-30l=112+7=70…9分 (3)向量a在向量b上的投影向量 骨〔岛品-层司 13分 高一数学解析第6页共11页 16.(15分)在△ABC中，a=7,asin B-√3 bcos4=0. (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 △ABC的面积. 条件①：b=10:条件②：G=8；条件国：ccs8=号 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分： 如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】(1)因为asnB-√5 cA=0,由正弦定理a,=b sinA sinB,得 sin Asin B-V3 sin BcosA=0.因为在△ABC中，sinB≠0，所以sinA-√3cosA=0. 所以tanA=V3.因为0<∠A<元，所以∠A= 3 6分 107 2)选条件回：b=10,则0，即m8店，解得如B-551,故5无解， sin B sin A 7 2 所以△ABC不存在：如果只选了条件①给0分，不选条件①不扣分 继续选条件②：c=8,由余弦定理a2=b2+c2-2 be cosA,得b2-8b+15=0. 解得b=3或b=59分 当b=3时，SAmc=-be simA=X3x8x，6622分 1 2 2 当b=5时， Sue =bcsimA=x5xx10 15分 2 2 2 (或者选条件O:c0sB=)因为c0sB=号，所以∠B为纯角，所以 sin B=h-cosB=43 7…7分 百ab,得b=ang=7×号228工0分 sin A 7X5 因为sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cos Asin B=V5x 145_35,3分 ×(-+× 2714 所以c-nc-78-65…15分 1 2 14 高一数学解析第7页共11页 17.(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,BC= AD,E是PD 的中点.(1)求证：BC∥AD: (2)求证：CE∥平面PAB; (3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB？说明理由， E M A B 【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,BCC平面ABCD,ADC平面PAD, 平面ABCD平面PAD=AD,所以BC∥AD:4分 (2)如下图，取F为AP中点，连接EF,BF,由E是PD的中点， 所以EP∥AD且BF-4D,由(1)知BC/AD,又BC-号AD, 所以EF∥BC且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形，故CE∥BF, 而CEC平面PAB,BF丈平面PAB,则CE∥平面PAB9分 D B (3)取AD中点N,连接CN,EN,因为E,N分别为PD,AD的中点，所以EN∥PA, 因为ENC平面PAB,PAC平面PAB,所以EN∥平面PAB, 线段AD存在点N,使得MN∥平面PAB,理由如下： 由(2)知：CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CEc平面CEN,ENC平面CEN, 所以平面CEN∥平面PAB,又M是CE上的动点，MNc平面CEN, 所以N∥平面PAB,所以线段AD存在点N,使得MN∥平面PAB15分 高一数学解析第8页共11页 18.(17分)在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acosA.. (I)求角A的大小： (2)若b=2,S△4Bc=3V5,求a: (3)若△ABC为锐角三角形，a=V3,求b+c的取值范围. 【解析】(1)因为bcosC+ccosB=2 acosA, 由正弦定理得sin BcosC+sin Ccos B=2 sin AcosA,即sin(B+C)=2 sin A cosA, 因为在△ABC中，sin(B+G)=sinA>0,所以cosA= 又0<A<π，所以A=牙4分 (2)因为A-,b=2,SA4Bc=3V3,所以bcsinA=3V3,解得c=6. 由余弦定理得a=Vb2+c2-2 bccosA= 4+36-2×2×6×=2W78分 (3)因为A=于a=5, 结合正弦定理，得，品-总-是-2，所b=2sinB,c=2sinC 在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sin(B+) 所以b+c=2sinB+2simc=2sinB+2sin(B+)-2sinB+2 sinBeos写+2 cosBsin5 -3sinB+V3cosB=2sin 0<B<号 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<C=要-8<所以<B<受…4分 则<B+<,所以sim(B+)∈(，小 所以b+c∈(3,2V3…17分 19.（17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-AB,CD,下部是正 四棱柱ABCD-ABC1D(如图所示)，AP=6,PO=2且正四棱柱的高OO是正四棱锥的高 PO的4倍. 高一数学解析第9页共11页 (1)求该几何体的表面积： 2)若E,F,G分别为棱A4,C1D,BC的中点，求四面体B-EFG的体积： (3)若2，N分别是线段AB,PB上的动点，求AQ+OW+NC1的最小值. 【详解】(1)连接AQ,则P014Q,因为P4=6,P0=2,所以40=V6-2=4v5, 所以正方形AB,CD中，可得AB=4V2xV2=8,又因为OO=4PO=8,在△ABB中， 4P=6=BP=6,4B=8,故四棱锥的侧面积为S=4××8x6-4=325,又由正方体5 个面的面积为S2=5×82-320,所以多面体的表面积为S=S+S2=320+32W5.…4分 (2)解法1：在直角△ABE中，可得B,E=√AE2+AB2=4N5,则BE=B,F=BG, 又由EF=√AF+4E=√42+4W5=4W6,同理可得：G=G=4V6=Er, 所以三棱锥B,-EFG为底面边长为4v6,侧棱长为4√5正三棱锥， 如图所示，过点B作底面的高，垂足为H, 因为底面是正三角形EFG,故H是正三角形EFG的重心，可得EH=4√2， 所以B,H=√B,E2-E=V80-32=4V5,即三棱锥B-EFG的高为h=4√2， 所以e-H8e-号5可5=6.0分 高一数学解析第10页共11页 B E G 解法2：如图所示，作H⊥CD于点H,GK⊥B,C1于点K. V3-G=VABGH-ABKE-VG-BKE-V3-AB-V-PHG-V3-AHGB-V3-BG, 其中=a=心写8西M-4 1 3’ 所以e=-ma=320-64128224123128-96 33333 (3)如图所示， B 将长方形ABBA,△PAB,和△PB,C1展开在一个平面， 可得PA=PB=PC1=6,4月=BC=8,设∠AP=a,cos∠A8P=co8∠PRC=cosa=4-2, 63 A8=1=8A8=8万∠AAA=年，所以smu-5,所以m2a-2mxc-25,245 3 3×39 cos2a=1-2sin a=1-2x 3 √2+40 cos∠AB,C1=cos 2acoso2a-sm isin2a-- 18 当A,O,N,C1四点共线时，AQ+QN+NC1最短， 所以4G=VAg+AC-2A-o0s∠ACV29+8W. 所以40+ON+C,的最小值为8V29+8W5.7分 高一数学解析第11页共11页2025-2026学年第二学期中段教学质量监测 高一数学 注意事项： 2026.4 1.在答题卡指定区域作答，否则一律无效。 2.本试卷共4页，19小题，满分为150分，考试时间120分钟。 第丨卷选择题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数二=(-2+i)i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是() A.2i B.-2i C.-2 D.2 2.已知△ABC是等边三角形，边长为4，则AB.BC=() A.-8 B.8 C.-4v5 D.-V5 3。己知圆锥的底面半径为5，侧面展开图的圆心角为”， 则圆锥的表面积是() A.2√3π B.6√5元 C.8π D.12元 4.已知单位向量a,b满足a1(a+2b),则a-=() A.2 B.5 C.√2 D.1 5.在△ABC,若acosB=bcosA,且a=bsinC,则△ABC的形状是() A,等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 6.对于直线m,n和平面a,下面命题中的真命题是() A,如果mCa,直线n不在平面a内，m,n是异面直线，那么n∥a B.如果Ca,n与c相交，那么，n是异面直线 C.如果Ca,n∥a,m,n共面，那么m∥n D.如果m∥a,n∥a,,n共面，那么n 7.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如 图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现 在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=120m, ∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°， ∠ACB=120°，则A、B两点的距离为() A.603m B.120W2m C.120W3m D.120W5m 8。若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为5和2的正方形，则该台体的外接 球的表面积() A.105 B.9 C. 9 D.16 高一数学第1页共4页 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数4=行2=(1+303-0，则（) A.z1的共轭复数的虚部为B.l2=10 C.22-12z1为纯虚数 D.在复平面内，复数20z1+Z2所对应的点位于第一象限 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如下命题正确的是() A.若c=V3,b=1,B=30°，则△ABC的面积为 B.若a2+b2<c2,则∠C为钝角 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB D.若B=于a=2V3,且△ABC有两解，则b的取值范围是(3,2V③) 11.如图，正方体ABCD-AB,C1D的棱长为1，E,F,G分 D 别为BC,CC,BB1的中点，则下列说法正确的有() A.三楼维CAEF的体积为始 B.直线AG与平面ABF平行 C.平面ABP截正方体所得的截面面积为 G D D.点C与点G到平面AEF的距离相等 第川卷非选择题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若复数：方则日 13.如图，一个水平放置的△ABC的斜二测直观图是 △AB'C',若OA=l,OB=OC=2,则△ABC的周长为 1 14.已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2， 圆O的直径MN∥CD,点P在正六边形的边上运动，则PM.PV的最小值为 A D 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知向量a、b满足a=(1,2),b=(-3,-1), (1)求a与b的夹角： 2)求2a-36: (3)求向量a在向量五上的投影向量的坐标. 高一数学第2页共4页 16.(15分)在△ABC中，a=7,asin B-V3 b cos4=0 (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 △ABC的面积. 条件①：b=10;条件②：c=8:条件③：cosB=-1 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分： 如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 17.(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,BC=AD,B是PD 的中点 (1)求证：BC∥AD: (2)求证：CE∥平面PAB: (3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?说明理由. P E M A B 高一数学第3页共4页 18.(17分)在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acosA. (1)求角A的大小： (2)若b=2,S△4Bc=3V3,求a: (3)若△ABC为锐角三角形，a=V5,求b+c的取值范围. 19.(17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-A,B,CD,下部是正 四棱柱ABCD-ABGD(如图所示)，AP=6,PO=2且正四棱柱的高QO是正四棱锥的高 PO的4倍. B D C A B (1)求该几何体的表面积： (2)若E,F,G分别为棱A4,CD,BC的中点，求四面体B-EFG的体积： (3)若O,N分别是线段AB,PB上的动点，求AQ+ON+NC1的最小值. 高一数学第4页共4页