精品解析：广东省深圳市新安中学(集团)高中部2024-2025学年高一下学期期中数学试题

深圳市新安中学2024-2025学年第二学期期中考试 数学试题 2025.4.27 本试卷分第Ⅰ卷（选填题）和第Ⅱ卷（非选填题）两部分，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选填题，共73分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 6. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______． 13. 三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为___________. 14. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 四、解答题：（本题共5小題，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 16. 已知平面向量，，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． （3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围． 17. 如图，在中，，，点D在线段BC上. （1）若∠ADC=，求AD的长； （2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长. 18. 已知向量，设. （1）求单调增区间； （2）若，求的值； （3）令函数，求值域 19. 在锐角中，角所对边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市新安中学2024-2025学年第二学期期中考试 数学试题 2025.4.27 本试卷分第Ⅰ卷（选填题）和第Ⅱ卷（非选填题）两部分，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选填题，共73分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则，计算出，可得，所以的虚部为. 【详解】，， ， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 3. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算可求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，则，且，， 则，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：B. 4. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【详解】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 5. 为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断. 【详解】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可. 【详解】 从而 故选：D 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以A正确； 对于B，令，则，因为， ，所以B正确； 对于C，令，满足， 而，，所以C错误； 对于D，令，则， 而是实数，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D. 【详解】因为中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式和表面积公式列式即可求解. 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高均为， 由题意可得：，即，化简可得：. 故答案为： 13. 三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，两边平方，结合向量数量积运算法则得到答案. 【详解】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 14. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小題，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【小问1详解】 由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 16. 已知平面向量，，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． （3）若与的夹角是锐角，求x的取值范围． 【答案】（1）或3； （2）或5； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两向量垂直数量积列方程求解. （2）根据两平行向量坐标之间的关系列方程求解出x，代入得到的坐标，再代入向量模的公式进行求解. （3）与的夹角是锐角，则且两向量不共线. 【小问1详解】 若，则， 整理得，解得或． 所以的值为或3． 【小问2详解】 （2）若，则有，即，解得或， 当时，，，则，得； 当时，，，则，得． 所以，的值为或5． 【小问3详解】 （3）因与的夹角是锐角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为． 17. 如图，在中，，，点D在线段BC上. （1）若∠ADC=，求AD的长； （2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解； （2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，. 在中，由正弦定理得， 又， 【小问2详解】 . 又 ， 解得： 在中，由余弦定理得， 所以. 18. 已知向量，设. （1）求的单调增区间； （2）若，求的值； （3）令函数，求值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，然后利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）根据三角恒等变换的知识求得. （3）化简的解析式，进而求得的值域. 【小问1详解】 ， 由， 解得， 所以的单调增区间是. 【小问2详解】 ，所以. 因为，所以，在这个区间内. 所以. . 【小问3详解】 , ， 因为，所以， 则. 所以的值域是. 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【小问1详解】 证明：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$