25.2.2　公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式与求根公式，通过“用配方法推导一般形式方程解”的问题情境导入，衔接配方法知识，逐步推导公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以探究式学习发展数学思维，通过配方法推导判别式和求根公式培养推理能力，例题强调化为一般形式、确定系数等规范步骤，渗透模型意识和应用意识。学生能理解知识形成过程，教师可借助清晰例题和检测提升教学效率。

25.2.2　 公式法 第二十五章　一元二次方程 25.2 探究与应用 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否用配方法得出它的解呢? 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题: 活动 探究一元二次方程的根的判别式和求根公式 问题情境 解:移项,得ax2+bx=-c. 二次项系数化为1,得x2+x=-. 配方,得x2+x+()2=-+()2, 即(x+)2=.① ∵a≠0,∴4a2>0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况: (1)当b2-4ac>0时,>0, 由①得x+=±. 方程有两个不相等的实数根 x1=,x2=. (2)当b2-4ac=0时,=0, 由①可知,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-. (3)当b2-4ac<0时,(𝑏^2 "−" 4𝑎𝑐)/(4𝑎^2 )<0, 由①可知(x+𝑏/2𝑎)2<0,而x取任何实数都不能使(x+𝑏/2𝑎)2<0 成立,因此方程无实数根. 1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=　　　　.  2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式与其根的情况的关系: 当Δ>0时,方程有两个　　　　的实数根;  当Δ=0时,方程有两个　　　　的实数根;  当Δ<0时,方程　　　　实数根.  概括新知 3.公式法:当Δ　　　　时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=　　　　 　的形式,这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.解一个具体的一元二次方程时,把各系数代入求根公式,可以直接得出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作　　　　.  (教材补充例题)利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况: (1)x2-5x=-7;　　 理解应用 例 1 解:(1)方程化为x2-5x+7=0. ∵a=1,b=-5,c=7, ∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0, 故方程无实数根. (2)x2+5=2x;　　 解: (2)方程化为x2-2x+5=0. ∵a=1,b=-2,c=5, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×5=0, 故方程有两个相等的实数根. (3)(x-1)(2x+3)=x. 解: (3)方程化为2x2-3=0. ∵a=2,b=0,c=-3, ∴Δ=b2-4ac=02-4×2×(-3)=24>0, 故方程有两个不相等的实数根. 拓展 当m为何值时,关于x的一元二次方程mx2-(4m+1)x+4m-1=0: (1)有两个相等的实数根? (2)有两个不相等的实数根? (3)无实数根? 解:由题意,知m≠0,Δ=b2-4ac=[-(4m+1)]2-4m(4m-1)=12m+1. (1)∵方程有两个相等的实数根, ∴Δ=12m+1=0,解得m=-. (2)∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=12m+1>0,解得m>-. 又∵m≠0, ∴m>-且m≠0. (3)∵方程无实数根, ∴Δ=12m+1<0,∴m<-. (教材典题)用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; 　　 例 2 解:(1)∵a=1,b=-4,c=-7, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x===2±, 即x1=2+,x2=2-. (2)2x2-2x+1=0; 解: (2)∵a=2,b=-2,c=1, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-=-=. (3)5x2-3x=x+1; 　　 解: (3)方程化为5x2-4x-1=0, 此时a=5,b=-4,c=-1, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 x===, 即x1=1,x2=-. (4)x2+17=8x. 解: (4)方程化为x2-8x+17=0, 此时a=1,b=-8,c=17, ∴Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0. 方程无实数根. 1.应用“Δ”求字母的值或取值范围的步骤 首先要根据方程的根的情况判断b2-4ac与0的大小关系,列出关于待定字母的不等式(组)或方程,然后再求解,得到字母的值或取值范围. 懂 步骤 2.用公式法求解一元二次方程的步骤 应用 请用公式法解本章引言中列出的一元二次方程x2+5x-25=0. 解:用公式法解这个方程,得 x==, 即x1=-+,x2=--. 如果结果保留小数点后两位,那么x1≈3.09,x2≈-8.09. 关于这两个根,只有x1≈3.09符合问题的实际意义,因此雕像腰部以下身长约为3.09 m. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是 (　　) A.b2-4ac≥0 B.b2-4ac≤0 C.b2-4ac>0 D.b2-4ac<0 | 课堂检测 | A 2.用公式法解一元二次方程3x2=2x-3时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是 (　　) A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3 D 3.若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k的值为　　　　.  2 4.用公式法解下列方程: (1)x2+x-1=0;　　　 解:(1)∵a=1,b=1,c=-1, ∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5>0. 方程有两个不相等的实数根 x===, 即x1=,x2=. (2)x2+3x=-6; 解: (2)方程化为x2+3x+6=0, 此时a=1,b=3,c=6, ∴Δ=b2-4ac=32-4×1×6=9-24=-15<0. 方程无实数根. (3)2x(x+2)+2=0. 解: (3)方程化为2x2+4x+2=0, 此时a=2,b=4,c=2, ∴Δ=b2-4ac=42-4×2×2=16-16=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-=-=-1. $