25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，从求根公式观察入手，通过“观察特点-提出关系-代数验证”的问题链构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究式学习发展数学思维，通过因式分解验证结论培养推理能力，多样化例题强化模型意识与应用意识，课堂小结梳理认知逻辑，助力学生构建知识网络，为教师提供系统教学资源。

25.2.4　 一元二次方程的根与系数的关系 第二十五章　一元二次方程 25.2 探究与应用 问题1　观察求根公式x=,它有什么特点? 活动1 了解一元二次方程的根与系数的关系 观察思考 解:整体上看,两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式,而且式 子“n”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“n”,相乘 可以去掉“n”中的根号,从而使形式简洁. 问题2　一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中,它的两个根x1,x2的和、积与其系数有怎样的关系呢? 解:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与其系数a,b,c有如下 关系:x1+x2=-,x1x2=. 问题3　如何验证问题2的结论? 解:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2,那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), 即ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2. 由此可得-a(x1+x2)=b,ax1x2=c. 因此x1+x2=-,x1x2=. 若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,则x1+x2= _________,x1x2=　　　　.  概括新知 (教材典题)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2-6x-15=0;　　　 理解应用 例 1 解:(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15. (2)3x2+7x-9=0;　　　 (3)5x-1=4x2. 解: (2)x1+x2=-,x1x2==-3. 解: (3)方程化为4x2-5x+1=0, ∴x1+x2=-=,x1x2=. 写一元二次方程两个根的和、积与系数的关系时的注意点 (1)需先将方程化为一般形式,找对a,b,c的值; (2)x1+x2=-中的负号与方程中a,b的符号不要混淆; (3)根与系数的关系在方程有根的前提下才能使用. 防 易错 (教材补充例题)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+2m-2=0(m为常数). (1)若方程的一个根为0,求m的值和方程的另一个根; 解:(1)设方程的另一个根为t. 由一元二次方程的根与系数的关系知0+t=2m,0·t=2m-2, 解得m=1,t=2, ∴方程的另一个根是2. 活动2 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题 例 2 (2)求证:无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根. 解: (2)证明:Δ=b2-4ac=(-2m)2-4(2m-2)=4m2-8m+8=4(m-1)2+4. ∵无论m为何值,都有4(m-1)2≥0, ∴4(m-1)2+4>0,即Δ>0, ∴无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根. (教材补充例题)已知x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1)+; 　　　　 例 3 解:由一元二次方程的根与系数的关系知 x1+x2=,x1x2=-. (1)+===-. (2)+.　 解:(2)+=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×(-)=. 一元二次方程的根与系数的关系是联系根与系数的桥梁,在具体应用时,要善于将与根有关的代数式转化为含有两根和x1+x2与两根积x1x2的代数式.应用根与系数的关系时,注意应先判断Δ的符号. 学 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.设方程x2-3x+2=0的两个根分别是x1,x2,则x1+x2的值为(　　) A.3 B.- C. D.-2 | 课堂检测 | A 2.若x1,x2是一元二次方程2x2-7x=-4的两个根,则x1+x2与x1x2的值分别是 (　　) A.-,-2 B.-,2 C.,2 D.,-2 C 3.已知x1,x2是一元二次方程x2+mx+n=0的两个根,且x1+x2=3,x1x2=2,则m,n的值分别是 (　　) A.-3,2 B.3,2 C.3,-2 D.-2,3 A 4.已知m,n是方程2x2-4x-3=0的两个实数根,则m2n+mn2= 　　　　.  -3 5.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求m的取值范围; 解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根x1,x2, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4(m-2)>0, 解得m<3, ∴m的取值范围是m<3. (2)当x1=-1时,求另一个根x2的值. 解: (2)由一元二次方程的根与系数的关系知x1+x2=2. ∵x1=-1,∴x2=3. $