暑假巩固培优：找次品应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦找次品问题，通过44道阶梯式应用题系统构建"三分法"解题体系，融合逻辑推理与策略优化，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-10题|物品分组（3份最优）、天平平衡判断|从简单数量（4-15个）到明确次品轻重，建立"称-分-判"基础流程| |进阶拓展|11-25题|轻重未知处理、多步推理|引入次品轻重不明情境（如第5题金币），强化分类讨论与步骤可逆性| |规律探究|26-44题|3ⁿ数量范围公式（如第36题3次最多27个）|从具体操作上升到数学模型，推导称量次数与物品数量的指数关系|

暑假巩固培优：找次品应用题 1．有7个零件，其中有1个是次品（偏重一些），想借助天平确保称2次找出。请你把称的过程表述出来。 2．学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 3．6个零件里有1个是次品（轻一些），假如用天平秤，至少称几次才能保证找出次品？ 4．15盒巧克力派，其中1盒中少3块。请用一架不带砝码的天平，设法把它找出来。请写出过程。 5．一个古玩店老板不小心将一枚假金币掉入了10枚真金币中。这10枚真金币外形、质量完全相同，假金币外形与真金币一样，只是质量不一样，而且不知道它比真金币轻还是重。刚大学毕业的小红去古玩店应聘，老板给小红一个天平，让他从这11枚金币中找出假金币，请你用画图和文字写出方法，然后告诉小红。 6．技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 7．王老师买了9盒巧克力为学生补充体能，其中有一盒被儿子偷吃了一些，如果给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一盒？请用图示表示称的过程。 8．质检员要在15个乒乓球中，找出一个较轻的次品，如果用天平称，至少称几次保证找出次品？（简单写出称的过程） 9．有一盒乒乓球，其中有1个较重的是次品，用天平称，至少称3次就能保证找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能是多少个？ 10．有14瓶酸奶，其中13瓶质量相同，另有1瓶轻一些，是次品．如果用天平称，至少称几次可以保证把次品酸奶找出来？ 11．有10个同样的乒乓球，其中有一个次品较轻。用天平称一称，至少称几次就一定能找出这个次品？ 12．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 13．有12袋瓜子，其中11袋同样重，有1袋质量轻一些，用天平称，至少称几次能保证找出这袋轻的瓜子？ 14．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 15．有15瓶水，其中14瓶质量相同，另有一瓶是盐水，比其他的水略重一些． （1）如果用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水来？ （2）称一次有可能找出这瓶盐水吗？为什么？ 16．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 17．中药学是中国的瑰宝!奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 18．有3袋药品，其中2袋每袋20g，另1袋不是20g，但不知道比20g重还是轻，你能用天平找出来吗？试一试，用合适的方法表示称的过程．至少要称几次才能保证找出来？ 19．有7个零件，其中有一个零件是次品（次品重一些），用天平称，至少需要称多少次就保证一次能找出次品？ 20．有4个零件，其中3个质量都是30g，另外一个质量不是30g，但不知道比30g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以保证找出这个不合格的零件？ 21．李师傅生产了80个合格的零件，徒弟不小心把一个较重但外形相同的零件混在了80个零件中了，如果用天平称，保证找出这个较重的零件最少需要称多少次？ 22．一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？ 23．工厂生产了27个羽毛球，其中一个比较重，这样的球会影响运动员的正常发挥，你能利用天平尽快把这个次品的羽毛球找出来吗？试一试。 24．有5袋盐，其中4袋每袋500g，另一袋不是500g，但不知道是比500g重还是轻．如果用天平称，至少称几次可以保证找出这袋盐？ 25．在27件产品中混进了一件不合格产品（不合格产品重一些）。用天平称，至少称几次就一定能找出这件不合格产品？ 26．有16瓶同样的水，小明往其中1瓶加了一些盐．如果用天平称，那么至少称几次才能保证找出加盐的那瓶水？ 27．有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等．如果用天平称4次就能保证找到那瓶被吃了几颗的，那么这些糖果最多有几瓶？ 28．有12袋盐，其中1袋不合格（质量轻一些），至少称多少次能保证找出这袋盐？ 29．有14枚外观一样的硬币，其中有一枚假硬币比真硬币要重。用天平称，至少要称几次才能把假硬币找出来？请写出简单的过程。 30．有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。 31．41个玻璃球中有一个稍重一些。要找出这个球，如果用天平称，至少称几次才能保证找到这个玻璃球？（写出简要过程） 32．（1）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）．至少称几次能保证将这盒不合格的产品找出来？ （2）如果在天平的两端各放4盒产品，称一次有可能称出来吗？为什么？ 33．现有5g和35g的砝码各一个，要把300g的白糖三等分，则至少需要用天平称几次？ 34．1箱牛奶有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量不足，小东说他用天平称2次就能保证找出质量不足的牛奶，他说得对吗？为什么？ 35．技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求．在抽检的11个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重． （1）如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （2）如果天平两边各放5个，称一次有可能称出来吗？ 36．用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。 37．有7盒奶粉，其中6盒每盒1000g，另1盒（次品）不是1000g，但不知道是比1000g重还是轻．你能用天平找出来吗？ 38．有13袋薯片，其中的12袋质量相同，另有一袋质量不足为次品。至少称几次可以保证找出这袋薯片？ 39．有4个奥运会纪念章，其中3个一样重，1个稍微重一些，至少称几次保证能找出那个重点的纪念章？ 40．袋子里一共有17个球，其中16个球的质量相同，另外1个球的质量重一些。如果用天平称，那么至少称几次才能保证找出这个球？ 41．有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 42．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 43．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 44．有32盒外包装一样的茶叶，其中31盒质量相同，另有一盒稍轻一些。用天平称，至少称几次能保证找出这盒茶叶？（请写出简要过程） 参考答案 1．【答案】把7个零件分成3、3、1三组，先把3、3分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的1个是次品，若不平衡，则较重的一边有次品， 再把下降的一边3个分成1、1、1三组，把其中2个分别放在天平的两边，若平衡，剩下的是次品，若不平衡，较重的是次品，所以至少需要2次一定可以找到次品。 所以至少需要称2次能保证找出次品。 【解答】解：把7个零件分成3、3、1三组，先把3、3分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的1个是次品，若不平衡，则较重的一边有次品， 再把下降的一边3个分成1、1、1三组，把其中2个分别放在天平的两边，若平衡，剩下的是次品，若不平衡，较重的是次品，所以至少需要2次一定可以找到次品。 所以至少需要称2次能保证找出次品。 2．【答案】2 【解答】解：将8袋盐分成3 份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋。 手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 3．【答案】2次。 【解答】解：第一次称量：把6个零件分成2份，3、3，先把天平两边分别放3个，会有1种情况出现： 左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品。 答：综上所述，至少需要称2次，才能找到次品。 4．【答案】将15盒巧克力派分成（5，5，5）3份； 第一次称重：在天平两边各放5盒，如果天平平衡，则少3块的那盒未称，如果天平不平衡，则少3块的那盒在升起的天平托盘中， 第二次称重：将5盒巧克力派分成（2，2，1）3份，在天平两边各放2盒，手里留1盒，如果天平不平衡，则少3块的那盒在升起的天平托盘中，如果平衡，则少3块的那盒是手里留的； 第三次称重：将2盒分别放在天平的两边，少3块的那盒在升起的天平托盘中； 所以至少称3次能保证找到这盒巧克力派。 【解答】解：将15盒巧克力派分成（5，5，5）3份； 第一次称重：在天平两边各放5盒，如果天平平衡，则少3块的那盒未称，如果天平不平衡，则少3块的那盒在升起的天平托盘中， 第二次称重：将5盒巧克力派分成（2，2，1）3份，在天平两边各放2盒，手里留1盒，如果天平不平衡，则少3块的那盒在升起的天平托盘中，如果平衡，则少3块的那盒是手里留的； 第三次称重：将2盒分别放在天平的两边，少3块的那盒在升起的天平托盘中； 所以至少称3次能保证找到这盒巧克力派。 5．【答案】 把11枚金币分成3份（4枚、4枚、3枚），第一次取4枚的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币在3枚的一组，若不平衡，取较轻的4枚平均分成2份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币较重，若不平衡，取较轻的2枚，再称一次即可找到较轻的假币； 若假币在3枚的一份中，则最少2次一定可以找到这枚金币； 若假币在较重的4枚金币中，则最少2次一定可以找到这枚金币。 至少4次可保证找到这枚金币。 【解答】解：如图： 把11枚金币分成3份（4枚、4枚、3枚），第一次取4枚的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币在3枚的一组，若不平衡，取较轻的4枚平均分成2份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币较重，若不平衡，取较轻的2枚，再称一次即可找到较轻的假币； 若假币在3枚的一份中，则最少2次一定可以找到这枚金币； 若假币在较重的4枚金币中，则最少2次一定可以找到这枚金币。 至此，至少4次可保证找到这枚金币。 6．【答案】3次。 【解答】解：2次可以找出32＝9（个）待测物品的一个较重次品； 3次可以找出33＝27（个）待测物品的一个较重次品； 因此3次可以找出10～27个待测物品中的一个较重次品； 15个网球中，有1个较重，至少称3才可以保证找出这个网球。 答：用天平称，至少称3次能保证将这个较重的网球找出来。 7．【答案】2次。 【解答】解：如图： 答：至少2次能保证找出被偷吃的那一盒。 8．【答案】3次。 【解答】解：第一次：每边放5个，则可以找出较轻的5个； 第二次：每边放2个，可以找出较轻的那2个； 第三次：每边放1个即可； 这样只需3次即可保证找出那件次品。 答：至少称3次保证找出次品。 9．【答案】乒乓球的个数可能是10～27这几个数。 【解答】解：根据天平平衡原理，（1）如果有3个乒乓球，最少需要1次能够找出次品：把3分成1、1、1，在天平两边各放1个，平衡，剩下的是次品，不平衡，下降的一方是次品；如果此时再多出1个乒乓球则最少需要2次才能找出次品； （2）若有3×3＝9个乒乓球，则最少需要2次找出次品：把9分成3、3、3，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（1）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个乒乓球则最少需要3次才能找出次品； （3）若有3×3×3＝27个乒乓球，则最少需要3次找出次品：把27分成9、9、9，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（2）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个乒乓球则最少需要4次才能找出次品； 据上述推算可得：当乒乓球个数多于9个，少于28个时，至少需要称量3次找出次品，所以乒乓球的个数可能是10～27这几个数。 10．【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一次把14瓶酸奶分成3份：5瓶、5瓶、4瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻的一份（5瓶或4瓶），分成3份：2瓶、2瓶、1瓶，取2瓶的分别放在天平的两侧，若天平平衡，则未取的为较轻的次品，若天平不平衡，取较轻的继续； 第三次，把含有较轻的一份（2个）分别放在天平两侧，即可找到较轻的次品． 答：至少称3次可以保证把次品酸奶找出来． 故答案为：3． 11．【答案】3次。 【解答】解：经分析得：将10个同样的乒乓球分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为2份：2，2，在天平两边各放2个，次品在上升的天平托盘中。接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的3个中，从这3个中取出2个，在天平两边各放1个，若平衡，则没称的那个是次品；若不平衡，则上升的那个是次品。 故至少称3次能保证找出次品。 答：至少称3次能保证找出次品。 12．【答案】3次。 【解答】解：把11个机器零件分成三份（4，4，3）； 第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况： ①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品； ②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品； 第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中； 第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。 答：最少称3次能保证找出这个次品。 13．【答案】至少称3次可以找出这盒巧克力。 【解答】解：第一次：把12袋瓜子平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则质量轻一些的那袋即在没称的4袋中；若不平衡，则质量轻一些的那袋即在天平秤较高端的4袋中； 第二次：把天平秤较高端的4袋或者没称的4袋，平均分成2份，每份2袋，分别放在天平秤两端，天平不平衡，则质量轻一些的那袋即在天平秤较高端的2袋中； 第三次：把在较高端2袋分别放在天平秤两端，较高端的那袋即为质量轻一些的那袋。 答：至少称3次可以找出这盒巧克力。 14．【答案】把12袋奶粉平均分成3份，每份4袋。 先把12袋奶粉平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平两端称重： 若天平不平衡：把天平较高一端的1份4袋再分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重；再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋； 若天平平衡：把第3份的4袋分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重，再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋。 【解答】解：先把12袋奶粉平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平两端称重： 若天平不平衡：把天平较高一端的1份4袋再分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重；再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋； 若天平平衡：把第3份的4袋分成2份，每份2袋，分别放在天平的两端称重，再把天平较高一端的2袋分成2份，每份1袋，分别放在天平的两端称重，此时天平较高的那一端的就是质量轻的那一袋。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 15．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取较重的一份继续； 第二次，把含有较重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的为未取的一瓶，若天平不平衡，则取较重的继续；第三次，取含有较重的一份（2瓶），分别放在天平两侧，即可找到较重的一瓶． 答：至少称3次能保证找出这瓶盐水来． （2）答：因为这瓶较重的盐水在这些水中，所以，有可能称一次就找到． 16．【答案】4次，见详解。 【解答】解：称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的那盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的那盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 17．【答案】2次。 【解答】解：可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端； （1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作； （2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端； 若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副； 若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。 答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 18．【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一次：从3袋药品中任取2袋标为①②，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋药品③即是重量不同的那袋． 第二次：若天平秤不平衡，把在天平秤两端的药品，取一袋①，与未取那袋③，分别放在天平秤两端， 若天平秤平衡，则第一次称量时的另一袋②即为重量不一样的药品； 若不平衡，从天平秤拿出再称量的那袋①即为重量不一样的药品． 19．【答案】2次。 【解答】解：把7个零件分成（3，3，1）三组， 第一次称：把3个一组的零件分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的1个是次品，若不平衡，则下降的一端有次品； 第二次称：把下降的一边3个分成（1，1，1）三组，把其中2个分别放在天平的两边，若平衡，剩下的是次品，若不平衡，下降的一端是次品； 所以至少需要2次。 答：至少需要称2次就保证一次能找出次品。 20．【答案】2次。 【解答】解：将4个零件编号为①、②、③、④；第一次称其中两个①、②；如果天平平衡，说明①、②都是正品，第二次拿①与③称，如果平衡则④是次品，如果不平衡则③是次品（如果第一次称①、②时不平衡，则③、④都是正品，第二次拿①与③称，如果平衡则②是次品，不平衡则①是次品）。所以只要称2次就能保证能找到这个次品， 答：至少称2次可以保证找出这个不合格的零件。 21．【答案】见试题解答内容 【解答】解：33＜80＜34 答：用天平称，保证找出这个较重的零件最少需要称4次． 22．【答案】3次。 【解答】解：把15这盒分成5盒，5盒，5盒三份。 第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第二次：把在天平秤较高端5盒，任取4盒，平均分成两份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那盒即为质量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第三次：把天平秤较高端的两盒，分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为质量不足的。 答：至少称3次能保证找出那盒质量不足的。 23．【答案】3次。 【解答】解：第一次：先把27个羽毛球分成（9，9，9）三份，把任意两份放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平下沉端； 第二次再把9分成（3，3，3）三份，把任意两份放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平下沉端； 第三次：再把3分成（1，1，1）三份，把任意两个放在天平上称，如平衡，则次品是没称的那个，如不平衡，次品在下沉端； 所以至少称3次才能保证找出这个次品球。 答：至少称3次能保证找出这个次品球。 24．【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图： 答：至少称3次可以保证找出这袋盐． 25．【答案】3次。 【解答】解：（1）将27件产品分成3组，每组9件，取其中两组分别放在天平的左右两端称重，如果天平平衡，则不合格产品在第三组中，如果天平不平衡，则不合格产品则在较重的那一组中； （2）将含有不合格产品的9件产品，继续平分成3组，每组3件，取其中两组分别放在天平的左右两端称重，如果天平平衡，则不合格产品在第三组中，如果天平不平衡，则不合格产品则在较重的那一组中并找出较重的那一组（3件产品）； （3）将含有次品的那一组（3件产品），平均分成3组，每组1件，取其中两件分别放在天平的左右两端称重，最终找出不合格的产品。 答：至少称3次就一定能找出这件不合格产品。 26．【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据生活常识可知，盐水要比普通的水重一些． 第一次先把16瓶水分成3份：5瓶、5瓶、6瓶，然后，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则盐水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续称量； 第二次，把含有盐水的一份分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则盐水在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有盐水的一份分别放在天平两侧，即可找到较重的盐水． 答：至少称3次才能保证找出加盐的那瓶水． 27．【答案】见试题解答内容 【解答】解：先把这几瓶分成三份，如果瓶子数量是三的倍数的话，则三分瓶子数量相同，如果不是三的倍数，则分成两份相同和一份不同的情况，拿两份相同放到天平上，若两份质量不相同，则那瓶再较轻的一份，若质量相同，则在另外没称的一份．接下来步骤同上．所以要看糖果的瓶数是多少瓶，这个数在3n﹣1和3n之间，则需要称的最少次数是n次．所以如果瓶数小于81瓶则可4次称出，如果大于81瓶，则4次不能称出． 答：这些糖果最多有81瓶． 28．【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据以上分析可知：第一次分成每6袋一组，用天平称，因有一袋质量不足，所以找出上升的一组， 第二次再把上升的一组任意3袋分成一组，用天平称，再找出上升的一组， 第三次上升的一组的3袋中再任取2袋用天平称， 若天平平衡，则没称的1袋是质量较轻的一袋， 若不平衡则上升一端的是较轻的一袋． 答：至少要称3次才能保证找出这袋盐来． 29．【答案】3次。 【解答】解：把14枚外观一样的硬币分成（7，7）两份， 第一次：把两份分别放在天平秤两端，假硬币在天平下降的一端； 第二次：把7枚硬币分成（3，3，1）三份，把其中两份3枚的，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假硬币是未取的1枚，若天平秤不平衡，假硬币在天平下降的一端； 第三次：把3枚硬币分成（1，1，1）三份，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假硬币是未取的1枚，若天平秤不平衡，假硬币在天平下降的一端； 所以用天平称，至少要称3次才能把假硬币找出来。 答：至少要称3次才能把假硬币找出来。 30．【答案】3次，方案：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。 【解答】解：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。 31．【答案】4次。 【解答】解：将41个分成3份：14、14、13。 第一次称重，在天平两边各放14个，手里留13个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的13个分为4、4、5，在天平两边各放4个，手里留5个， a.如果天平平衡，则次品在手里5个中，接下来，将其中5个分成2、2、1，把2个的分别放在天平的两边称重， ①如果天平平衡，就可以找到次品； ②如果天平不平衡，取较重的2个分别放在天平两侧，则可找到次品。 （2）.如果天平不平衡，则次品在较重的14个中，把14个分成5、5、4个， 如果天平平衡，则次品在4个的里面，再2次一定可以找到次品； 若不平衡，则次品在较重的5个中，再称2次一定可以找到次品。 故至少称4能就能保证可以找出这一个。 答：最少要称4次才能保证找到这个玻璃球。 32．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一次把9盒产品平均分成3份，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻产品的一份中的3个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为不合格产品，若天平不平衡，较轻的为不合格产品． 答：至少称2次能保证将这盒不合格的产品找出来． （2）答：所以称一次有可能找到不合格产品，因为如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品． 33．【答案】3次。 【解答】解：第1次：天平左盘放35克砝码，右盘放5克砝码并加白糖，直至平衡，右盘称出30克白糖。 第2次：天平左盘放两个砝码（35克+5克＝40克）和30克白糖，右盘加白糖至平衡，右盘称出70克白糖。 第3次：将30克白糖和70克白糖一起（30克+70克＝100克）放在左盘，右盘加白糖至平衡，此时两边各100克白糖，剩余的也是100克白糖。 答：至少需要用天平称3次。 34．【答案】见试题解答内容 【解答】解：32＜12＜33 答：小冬的说法不对，因为至少需要3次才可保证一定找到质量不足的牛奶． 35．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一次，把11个网球分成3份：4个、4个、3个；取4个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取含有次品的一份（4个或3个）取其中的两个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，则较重的一个是次品； 第三次，取含有次品的一份（2个），分别放在天平两侧，即可找到次品． 答：至少3次能保证找到次品． （2）答：如果天平两边各放5个，天平平衡，则未取的一个为次品，所以有可能一次能称出次品． 36．【答案】10；27。 （1）10个零件中找一个次品，分成三组（3，3，4），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 （2）27个零件中找一个次品，分成三组（9，9，9），称量一次确定次品在哪9个中，再把9个分成三组（3，3，3），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 【解答】解：至少可以从10个零件中找出次品，最多可以从27个零件中找出次品。 （1）10个零件中找一个次品，分成三组（3，3，4），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 （2）27个零件中找一个次品，分成三组（9，9，9），称量一次确定次品在哪9个中，再把9个分成三组（3，3，3），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 37．【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一次把7盒奶粉分成3份：2盒、2盒、3盒，取2盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则这4盒中有次品； 第二次，若次品在剩余的3盒中，将每1盒与称量的4盒中的一盒进行称量，至少2次即可找到次品； 若次品在称量的4盒中，则取2盒与3盒中的两盒进行称量，若天平平衡，则次品在4盒中另外2盒中，若不平衡，则次品在4盒中的另2盒中，然后将这2盒分别放在天平两侧，即可找到次品． 答：能用天平找出来． 38．【答案】3次。 【解答】解：有13袋薯片，其中的12袋质量相同，另有一袋质量不足为次品。将13袋分成3份：4，4，5。 第一次称重，在天平两边各放4袋，手里留5袋； ①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5袋分为2，2，1，在天平两边各放2袋，手里留1袋。 a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2袋中。 接下来，将这两袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4袋中，将这4袋中的2袋在天平两边各放1袋，手里留2袋。 a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2袋中。 接下来，将这两袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 答：至少称3次可以保证找出这袋薯片。 39．【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一次，天平两边分别放2个纪念章，取较重的一段继续； 第二次，取含有较重的2个，分别放在天平两侧，即可找到较重的一个． 答：至少称2次保证能找出那个重点的纪念章． 40．【答案】3。 【解答】解：（1）把17个球分成（6，6，5）三组，把其中的两组6个的放在天平上称，如平衡，则重的在没称的一组，再把它分成（2，2，1），再把2个一组的放在天平上称，一边2个，如平衡，则重的就是没称的，如不平衡，则把重的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的。 （2）如不平衡，则把重的一组分成（2，2，2），再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则重的就在剩下2个没称的里，把重的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的；如不平衡，则把重的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的。所以如果用天平称，那么至少称3次才能保证找出这个球。 故答案为：3。 41．【答案】见试题解答内容 【解答】解：34＝81（个） 81+1＝82（个） 35＝243（个） 即：81＜乒乓球的个数≤243 答：这个箱子中最少有82个乒乓球，最多243个． 42．【答案】2次。 【解答】解：（1）第一次把9盒产品平均分成3份，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻产品的一份中的3个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为不合格产品，若天平不平衡，较轻的为不合格产品。 所以至少称2次能保证找出次品。 故答案为：2次。 43．【答案】2次。 【解答】解：第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 答：至少称2次能找出次品。 44．【答案】4次。 【解答】解：第一次，把32盒茶叶分成3份：11，11，10，取11盒茶叶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那盒茶叶在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取较轻的一份11或12盒平均分成3份，4，4，3（4），取4盒茶叶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那盒茶叶在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第三次，取较轻的一份4盒或3盒，平均分成2份2，2，或1，1，1，分别放在天平两侧，天平不平衡，较，轻一端是略轻的那盒茶叶； 第四次，取较轻的一份两盒，分成1，1，分别放在天平两侧，较轻一端是略轻的那盒茶叶。 所以至少称4次能保证找出这盒茶叶。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $