26.2.2 二次函数图像的性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过“操作尝试”活动引导学生列表、描点、连线绘制函数图象，结合y=ax²的已有知识，构建从具体操作到抽象性质的学习支架，衔接前后知识点。 其亮点在于以动手实践培养几何直观，通过对比y=1/2x²+2、y=1/2x²-2与y=1/2x²的图象发展推理意识，用“上加下减”口诀体现数学语言的简洁性。学生能提升空间观念和探究能力，教师可借助系统例题与检测高效开展教学。

第二十六章　二次函数 26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 26.2 探究与应用 画出二次函数y=-(x+1)2-1的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 活动1　理解并掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 操作尝试 解:二次函数y=-(x+1)2-1的图象如图所示. 二次函数y=-(x+1)2-1的图象开口向下,对称轴是直线x=-1,顶点是(-1,-1). 图26-2-10 画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的关键是先确定顶点坐标,再列表取值. 记 关键 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质: 上 概括新知 下 　直线x=h　 函数 y=a(x-h)2+k a的取值 a>0 a<0 开口方向 向　　　  向　　　  对称轴 　　 　  顶点坐标 　　　  增减性 当x<h时,y随x的增大而　　　　;当x>h时,y随x的增大而　　　　  当x<h时,y随x的增大而　　　　;  当x>h时,y随x的增大而　　　  最值 当x=　　时,y有最小值,y最小值=　　  当x=　　时,y有最大值,y最大值=　　  　 (h,k)　 减小 　增大　 增大 　减小　 h k　 h k　 (教材补充例题)二次函数y=-(x-1)2+2的图象的对称轴是 　　　　,顶点坐标是　　　　.  直线x=1　 理解应用 (1,2)　 C 例 1 (教材补充例题)关于二次函数y=-2(x-1)2+2,下列说法正确的是 (　　) A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(-1,2) C.当x>1时,y随x的增大而减小 D.图象与y轴的交点坐标为(0,2) 例 2 (教材补充例题) (1)已知二次函数y=2(x-1)2+3,当x　　　时,y随x的增大而减小;当x　 　时,y随x的增大而增大;当x=　 　时,函数有最　　　　值(填“大”或“小”),为　　　　.  (2)当x=　　　　时,二次函数y=- (x+)2-2有最　　　　值(填“大”或“小”),为　　　　.  <1　 >1 例 3 1　 小　 3 -　 大 　-2 通过作图分析怎样平移抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1,你有几种平移方法? 活动2　理解抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2之间的位置关系 操作尝试 解:如图所示. 方法一:把抛物线y=-x2先向下平移1个单位长度,得到抛物线y=-x2-1,再把抛物线y=-x2-1向左平移1个单位长度,得到抛物线y=-(x+1)2-1. 方法二:把抛物线y=-x2先向左平移1个单位 长度,得到抛物线y=-(x+1)2,再把抛物线y= -(x+1)2向下平移1个单位长度,得到抛物线 y=-(x+1)2-1. 写 规律 抛物线左右平移时,只有常数h发生变化;上下平移时,只有常数k发生变化.反之,根据h的值可以确定左右平移的方向和距离;根据k的值可以确定上下平移的方向和距离. 记 方法 (教材补充例题)将抛物线y=3x2向右平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线的解析式为　　　　　　.    理解应用 　y=3(x-5)2+1 例 4 活动3　能用二次函数y=a(x-h)2+k解决实际问题 解:如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地处所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. (教材典题)要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3.6 m,水管的长应为多少? 例 5 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y=a(x-1.6)2+3(0≤x≤3.6). 由这段抛物线经过点(3.6,0),可得 0=a(3.6-1.6)2+3, 解得a=-. 因此y=-(x-1.6)2+3(0≤x≤3.6). 当x=0时,y=1.08,也就是说,水管的长应为1.08 m. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是 (　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 2.二次函数y=2(x+2)2-1的大致图象是 (　　) | 课堂检测 | D C 图26-2-11 3.将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　.  (1,2) 4.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象. (1)直接写出a,h,k的值; (2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点. 解:(1)a=,h=1,k=-5. (2)二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口向上,对称轴是直线x=1,顶点是(1,-5). $ 第二十六章　二次函数 26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 26.2 探究与应用 (1)在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=-(x+1)2,y=-(x-1)2的图象; 活动1　理解并掌握二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 操作尝试 解:(1)如图所示: 图26-2-7   开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 y=(x+1)2         y=-(x-1)2         向下 图26-2-7 (2)观察图象,然后填表: 直线x=-1　 (-1,0)　 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小 向下 　直线x=1　 (1,0)　 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小 画二次函数y=a(x-h)2的图象时,x的取值一般为h和h左右两侧的值,先取对称轴一侧的点,然后利用对称性取另一侧的点. 学 方法 函数 a的取值 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 y= a(x-h)2 a>0 向　   　   　  当x<h时,y随x的增大而　　　　;  当x>h时,y随x的增大而　　 　  a<0 向　   　  　   当x<h时,y随x的增大而　　　　;  当x>h时,y随x的增大而　 　　  二次函数y=a(x-h)2的图象和性质: 上 概括新知 直线x=h　 　 (h,0)　 减小 　增大 下 直线x=h 　　(h,0)　 　　增大　 减小 (教材补充例题)在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-2)2的图象可能是 (　　) 理解应用 　D 例 1 图26-2-8 (教材补充例题)关于二次函数y=-2(x+3)2,下列说法正确的是 (　　) A.图象的开口向上 B.图象的对称轴是直线x=3 C.当x>-4时,y随x的增大而减小 D.图象的顶点坐标为(-3,0) 　D 例 2 已知抛物线y=-(x-3)2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2).如果x1<x2<3,那么下列结论成立的是 (　　) A.y1<y2<0 B.0<y1<y2 C.0<y2<y1 D.y2<y1<0 　A 变式 在活动1所画函数图象的基础上,再画出函数y=-x2的图象. 活动2　理解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2之间的位置关系 操作尝试 解:图象如图所示. 问题1　抛物线y=-(x+1)2, y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系? 解:抛物线y=-(x+1)2,y=-(x-1)2与y=-x2的开口方向相同,形状相同.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2;把抛物线y=-x2向右平移1个单位长度得到抛物线y=-(x-1)2. 引发思考 问题2　抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系? 解:抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的开口方向相同,形状相同.当h>0时,抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2向右平移h个单位长度得到的;当h<0时,抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度得到的.  抛物线y=ax2与y=a(x±h)2(h>0)之间的位置关系 y=ax2 y=a(x-h)2(h>0); y=ax2 y=a(x+h)2(h>0). 口诀:左加右减. 找 规律 一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下特点: (1)对称轴是直线x=h; (2)顶点是(h,0); (3)抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|个单位长度得到.当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移. 概括新知 抛物线左右平移中的“变”与“不变” 抛物线的左右平移不改变a的值,改变的是对称轴的位置和顶点坐标. 得 锦囊 (教材补充例题)将抛物线y=x2向右平移1个单位长度,所得到的抛物线的解析式是 (　　) A.y=x2-1 　　B.y=x2+1　　C.y=(x-1)2　　D.y=(x+1)2   理解应用 C 例 3 抛物线y=-2(x-4)2是由抛物线y=-2x2向　　　　平移 　　　　个单位长度得到的.  变式 右 4 已知抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后得到的抛物线的解析式. 拓展 解:抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=a(x-3)2. 把(-1,4)代入,得4=a(-1-3)2, 解得a=, ∴平移后得到的抛物线的解析式为y=(x-3)2. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.二次函数y=2(x+1)2的大致图象是 (　　) | 课堂检测 | B B 2.将抛物线y=x2向左平移1个单位长度,所得抛物线的解析式为 (　　) A.y=(x-1)2 B.y=(x+1)2 C.y=x2+1 D.y=x2-1 图26-2-9 3.抛物线y=7(x+3)2的开口向　　　　,对称轴是直线x=　　　　,顶点坐标是　　　　,它可以看作是由抛物线y=7x2向　　　　平移　　　　个单位长度得到的.  4.对于函数y=-3(x+)2,当x　　　　时,函数y随x的增大而减小;当x= 　　　　时,函数y有最　　　　值,最　　　　值为　　　　.  上 -3 (-3,0)　 左　 3 >-　 -　 大　 大　 　0 $ 第二十六章　二次函数 26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 26.2 探究与应用 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2+2,y=x2-2的图象. (1)列表:选取适当的x值,并计算相应的y值,完成下表: 活动1　理解二次函数y=ax2+k的图象和性质 操作尝试 6.5 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2+2 … 10               10 … y=x2-2 … 6               6 … 4 2.5 2 2.5 4 6.5 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 (2)描点,根据上表中x,y的值在如图26-2-5所示的平面直角坐标系中描点(x,y); (3)连线,用平滑曲线顺次连接图中描出的各点,得到二次函数y=x2+2,y=x2-2的图象. 图26-2-5 6.5 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2+2 … 10               10 … y=x2-2 … 6               6 … 4 2.5 2 2.5 4 6.5 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 解:(2)(3)如图所示. 根据二次函数y=x2+2,y=x2-2的图象回答下列问题: (1)它们的开口方向都向　　　　;  (2)对称轴都是　　　　;  (3)顶点坐标分别为　　　　,　　　　;  (4)最小值分别为　　　　,　　　　. 上 引发思考 y轴　 (0,2)　 (0,-2)　 2 -2 二次函数y=ax2+k的图象和性质: 上 概括新知 　下 函数 y=ax2+k a的取值 a>0 a<0 图象     开口方向 向　　　  向　　　  (续表) y轴　 (0,k)　 减小　 增大 　增大　 减小 对称轴 　　　  顶点坐标 　　　  增减性 当x<0时,y随x的增大而　　　　;  当x>0时,y随x的增大而　　　  当x<0时,y随x的增大而　　　　;  当x>0时,y随x的增大而　　　  最值 当x=0时,y有最小值,y最小值=　　　  当x=0时,y有最大值,y最大值=　　　  k 　　k (教材补充例题)(1)二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是 　　　　,顶点坐标是　　　　,当x　　　　时,y随x的增大而增大,当x=　　　　时,y有最大值,最大值是　　　　;  (2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在抛物线y=-x2+3上,且x1<x2<0,则y1 　　　　y2 (填“>”“=”或“<”).  y轴　 理解应用 (0,6)　 <0　 0　 例 1 6 < 利用函数图象比较大小的方法 根据条件画出二次函数的图象(简图),根据横(纵)坐标在函数图象上描点,然后根据点的相对位置,得出纵(横)坐标的大小. 学 方法 若点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在抛物线y=x2-1上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 　D 10 变式1 当-2≤x≤3时,二次函数y=x2+1的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  变式2 1 在活动1所画函数图象的基础上,再画出函数y=x2的图象,如图26-2-6. 观察画出的图象,填写下表 活动2　理解二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的位置关系 操作尝试 直线x=0 图26-2-6 抛物线 对称轴 顶点坐标 y=x2     y=x2+2     y=x2-2     (0,0) 直线x=0 (0,2) 直线x=0 (0,-2) 二次函数y=ax2与y=ax2±k(k>0)的图象的位置关系 y=ax2 y=ax2+k(k>0); y=ax2 y=ax2-k(k>0). 口诀:上加下减. 找 规律 问题1　抛物线y=x2+2,y=x2-2与抛物线y=x2有什么关系? 问题2　抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系? 解:抛物线y=x2+2,y=x2-2与y=x2的开口方向相同,形状相同.把抛物线y=x2向上平移2个单位长度,就得到抛物线y=x2+2;把抛物线y=x2向下平移2个单位长度,就得到抛物线y=x2-2. 引发思考 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2开口方向相同,形状相同,位置不同.抛物线y=ax2+k可以看作是把抛物线y=ax2　　　　(k>0)或 　　　　(k<0)平移|k|个单位长度得到的.  概括新知 向上 　向下 抛物线上下平移中的“变”与“不变” 抛物线的上下平移不改变a的值及对称轴的位置,改变的是顶点坐标. 得 锦囊 (教材补充例题) (1)抛物线y=-3x2+1可由抛物线y=-3x2(　　) A.向左平移3个单位长度得到 B.向左平移1个单位长度得到 C.向下平移1个单位长度得到 D.向上平移1个单位长度得到 (2)将抛物线y=2x2向下平移4个单位长度,就得到抛物线 　　　　　　.    理解应用 D 例 2 y=2x2-4 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.抛物线y=x2+1的对称轴是 (　　) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.y轴 D.直线y=1 2.抛物线y=-x2+3的顶点坐标是 (　　) A.(0,3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(2,-3) | 课堂检测 | C A 3.把抛物线y=x2向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为 (　　) A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=x2±2 D.以上均不正确 4.已知抛物线y=(a-2)x2+a2-2的最高点的坐标为(0,2),则a= 　　　　.  A -2 $